1.3 空间向量及其运算的坐标表示（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，系统梳理空间直角坐标系构建、点与向量坐标定义、坐标运算（加减、数乘、数量积）及平行垂直判定、距离与夹角计算等内容，作为连接空间向量基本定理与立体几何坐标法应用的学习支架。 资料通过课标要点与重难点分层设计，搭配即学即练及10类题型典例与变式，结合“堑堵”等传统文化素材培养数学眼光，通过参数转化解决最值问题发展数学思维。课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课标要点 1.掌握空间直角坐标系搭建规则，理解坐标向量、坐标平面、卦限等基础概念。 2.熟记空间点与空间向量坐标定义，分清坐标轴、坐标平面上点的坐标特征。 3.熟练掌握向量加减、数乘、数量积等坐标运算，会用坐标判定平行与垂直。 4.灵活运用向量坐标、两点距离、中点公式，计算线段长度与向量夹角。 学习重难点 重点： 1.空间直角坐标系概念，点与向量坐标的定义，特殊位置点的坐标书写规律。 2.空间向量各类坐标运算公式，利用坐标判断向量共线、垂直的判定条件。 3.空间两点距离公式、向量模长与夹角公式，能结合坐标完成计算题型。 难点： 1.区分点坐标与向量坐标，正确推导两点构成向量的坐标表达式。 2.向量夹角范围易混淆，计算异面直线夹角时不会对余弦值取绝对值转换。 3.结合坐标综合证明平行、垂直，综合运用多个公式解决几何计算问题。 知识点一 空间直角坐标系 在空间选定一点和________正交基底，以为原点，分别以的方向为正方向、模长为单位长度，建立轴、轴、轴三条坐标轴，记作空间直角坐标系。 ：坐标原点；：坐标向量； 坐标平面：两条坐标轴确定一个平面，分为________________三个坐标平面，将空间分为八个卦限； 画图规范：轴、轴夹角画________或________，轴竖直向上。 1.空间点的坐标 对空间任意一点，存在唯一有序实数组，满足，有序数组称为点的坐标，记作________。 ：横坐标，：纵坐标，：竖坐标。 坐标轴、坐标平面上点的坐标特征： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 ________ (0,y,0) ________ 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) ________ (x,0，z) 2.空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在________的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 即学即练 1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 2．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点二 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 ________ 减法 数乘 ________ 数量积 共线 垂直 ________ 向量长度 ________ 向量夹角公式 ________ 特别提醒 在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 即学即练 3．已知空间向量，向量，则__________． 4．已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 知识点三 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）________； （2）________； （3）若则________ 即学即练 5．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 题型01空间向量的坐标表示 典｜例｜精｜析 【例1】已知点，点，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知、、，若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点，点，则线段中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，，且，则点的坐标为______． 题型02空间向量的坐标运算 典｜例｜精｜析 【例3】已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2-2】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______. 题型03坐标形式解决空间向量的数量积 典｜例｜精｜析 【例5】《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【例6】如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，棱长为1的正方体中，（    ）    A．0 B．1 C． D．2 【变式3-2】已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式3-3】在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____. 题型04坐标形式解决空间向量数量积的最值范围问题 解题贴士 1.设参转化：向量含动点时，设动点参数，把全部用含坐标表示。 2.展开数量积：代入，整理为关于参数的一元二次函数。 3.定义域约束：结合动点位置确定参数取值范围，如线段上动点。 4.求最值：利用二次函数开口方向、对称轴，在定义域内求出最大值与最小值，得到数量积取值区间。 典｜例｜精｜析 【例7】已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是______. 【变式4-3】如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 题型05坐标形式解决空间向量的模（距离，长度） 典｜例｜精｜析 【例9】已知空间直角坐标系中的三点，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例10】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A． B．2.5 C． D．2.6 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】设，，，，且，，____ ． 【变式5-2】如图，在棱长为的正方体中，，分别在，上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（    ） A． B．130 C． D． 题型06坐标形式解决空间向量模的最值（范围）问题 典｜例｜精｜析 【例11】如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【例12】在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，P是直线上一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型07坐标形式解决空间向量的夹角问题 典｜例｜精｜析 【例13】在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例14】设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【变式7-2】已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 题型08坐标形式解决空间向量的投影向量 典｜例｜精｜析 【例15】在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 【例16】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【变式8-3】空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 题型09坐标形式解决空间向量的平行关系 典｜例｜精｜析 【例17】已知向量，,则___________． 【例18】已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】已知空间两点，向量满足，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 【变式9-2】正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为__________． 【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型10坐标形式解决空间向量的垂直关系 典｜例｜精｜析 【例19】已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【例20】已知空间三点，，．若，分别与，垂直，则向量______． 变｜式｜巩｜固 【变式10-1】已知点，向量与向量互相垂直，则实数的值为多少？ 【变式10-2】给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为___________． 【变式10-3】在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 基础通关 一、单选题 1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 3．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 4．已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 5．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 6．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 7．在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 三、填空题 8．已知向量，向量，若，则__________． 9．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 10．在正四棱台中，，，，_________． 四、解答题 11．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标； 12．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．    素养提升 1．已知，，若，以下向量中可以作为的是（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 3．如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.    (1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标； (2)在（1）的条件下，在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标. 4．已知空间三点，，． (1)求线段中点的坐标，和线段的长度； (2)求直线和直线夹角的余弦值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 5．已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 6．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 7．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．    (1)求证：； (2)若为线段上一动点，，求的最小值． 迁移创新 1．已知正方体的棱长为，点为棱的中点．若动点在正方体内部或表面上，且，则动点的轨迹所形成区域的体积为（     ） A． B． C． D． 2．对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，． (1)写出，写出（用含x的式子表示）； (2)当，写出的最小值及此时x的值． 3．设全体空间向量组成的集合为，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”；. (1)设，，若，求向量； (2)对于V中的任意单位向量，求的最大值. 4．如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课标要点 1.掌握空间直角坐标系搭建规则，理解坐标向量、坐标平面、卦限等基础概念。 2.熟记空间点与空间向量坐标定义，分清坐标轴、坐标平面上点的坐标特征。 3.熟练掌握向量加减、数乘、数量积等坐标运算，会用坐标判定平行与垂直。 4.灵活运用向量坐标、两点距离、中点公式，计算线段长度与向量夹角。 学习重难点 重点： 1.空间直角坐标系概念，点与向量坐标的定义，特殊位置点的坐标书写规律。 2.空间向量各类坐标运算公式，利用坐标判断向量共线、垂直的判定条件。 3.空间两点距离公式、向量模长与夹角公式，能结合坐标完成计算题型。 难点： 1.区分点坐标与向量坐标，正确推导两点构成向量的坐标表达式。 2.向量夹角范围易混淆，计算异面直线夹角时不会对余弦值取绝对值转换。 3.结合坐标综合证明平行、垂直，综合运用多个公式解决几何计算问题。 知识点一 空间直角坐标系 在空间选定一点和单位正交基底，以为原点，分别以的方向为正方向、模长为单位长度，建立轴、轴、轴三条坐标轴，记作空间直角坐标系。 ：坐标原点；：坐标向量； 坐标平面：两条坐标轴确定一个平面，分为三个坐标平面，将空间分为八个卦限； 画图规范：轴、轴夹角画或，轴竖直向上。 1.空间点的坐标 对空间任意一点，存在唯一有序实数组，满足，有序数组称为点的坐标，记作。 ：横坐标，：纵坐标，：竖坐标。 坐标轴、坐标平面上点的坐标特征： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 2.空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 即学即练 1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 2．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 知识点二 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 特别提醒 在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 即学即练 3．已知空间向量，向量，则__________． 【答案】 【详解】由题设. 4．已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，解得. 知识点三 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 即学即练 5．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 题型01空间向量的坐标表示 典｜例｜精｜析 【例1】已知点，点，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点，点，得. 故选：C 【例2】在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，， 因为， 所以，解得，则. 故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知、、，若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点坐标为，则， 因为、，所以，， 所以，，，，则点的坐标为． 故选：A． 【变式1-2】已知点，点，则线段中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，根据中点坐标公式可得：线段中点坐标为. 故选：B. 【变式1-3】已知，，且，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】因为，，设， 所以，， 因为，所以， 解得，得到. 故答案为： 题型02空间向量的坐标运算 典｜例｜精｜析 【例3】已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：，则， 又与垂直， 则，得. 【例4】已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 【变式2-2】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，. 故选：C. 【变式2-3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______. 【答案】 【详解】由已知与的夹角为锐角，则， 即，解得. 若与的夹角为0°，则存在，使. 所以，所以，. 综上，若与的夹角为锐角，则且. 故t的取值范围是. 故答案为：. 题型03坐标形式解决空间向量的数量积 典｜例｜精｜析 【例5】《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 【例6】如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个. 【答案】5 【详解】解：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 正方体中，棱长为分别为各棱的中点， ,,,, ,,, ,,,, , 则，，，，，，，， ，，，，， 故， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的值为共种不同的值. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，棱长为1的正方体中，（    ）    A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以. 故选：B    【变式3-2】已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】连接，交于点，连接，， 因为正四棱锥与正四棱锥， 所以平面，平面， 因为，， 所以，，， 以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以. 故选：D. 【变式3-3】在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____. 【答案】 【详解】因为点，，， 所以， 则. 故答案为：. 题型04坐标形式解决空间向量数量积的最值范围问题 解题贴士 1.设参转化：向量含动点时，设动点参数，把全部用含坐标表示。 2.展开数量积：代入，整理为关于参数的一元二次函数。 3.定义域约束：结合动点位置确定参数取值范围，如线段上动点。 4.求最值：利用二次函数开口方向、对称轴，在定义域内求出最大值与最小值，得到数量积取值区间。 典｜例｜精｜析 【例7】已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因点在直线OP上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得， 则当时，有最小值，此时，点． 故选：C 【例8】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______． 【答案】 【详解】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，， 因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直， 以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则，， 所以． 因为，，所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，令且，， 所以， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故选：B 【变式4-2】已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且，    由正六边形的性质可得，， 设，其中， 所以，， 所以，所以的取值范围. 故答案为：. 【变式4-3】如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 【答案】3 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 题型05坐标形式解决空间向量的模（距离，长度） 典｜例｜精｜析 【例9】已知空间直角坐标系中的三点，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】由题可得， 经计算，，所以是等边三角形． 故选：D. 【例10】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A． B．2.5 C． D．2.6 【答案】C 【详解】设三棱锥的侧棱长为， 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设单位向量是平面的一个法向量，由空间向量基本定理知， 存在唯一的有序实数组，使得， 依题意，在上的投影向量的长度为2，则， 即，即，解得， 同理得，因， 又因三点在平面的同一侧，于是或， 由，解得. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】设，，，，且，，____ ． 【答案】 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 【变式5-2】如图，在棱长为的正方体中，，分别在，上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 又，， 则，， 所以，， 即，， 故选：A. 【变式5-3】定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（    ） A． B．130 C． D． 【答案】B 【详解】 由在基底下的坐标为，则， 如图建立空间直角坐标系，由正六棱柱，其中，, 可得：， 则， 所以， 即 ， 故选：B 题型06坐标形式解决空间向量模的最值（范围）问题 典｜例｜精｜析 【例11】如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，在中，易得，． 以点为坐标原点，以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，． 设平面平面，因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面平面，所以， 当时，可得点在平面内，可得，， 又，所以，，所以即为平面与平面所成角的平面角， 又因为平面平面，所以，所以，． 又因为，，即．， 当时，，其中； 当时，，其中； 的取值范围为， 故选：A． 【例12】在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 【变式6-2】在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 将其看作关于的二次式，， 则当时最小值为， 则当时取得最小值，此时. 故选：A. 【变式6-3】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，P是直线上一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在长方体中，， 可得，则点关于点的对称点为， 所以，可得， 因为，所以. 故选：D. 题型07坐标形式解决空间向量的夹角问题 典｜例｜精｜析 【例13】在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 【例14】设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【详解】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 【变式7-2】已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 又直线的方向向量为， 所以直线与所成的角的余弦值为 . 故选：B. 【变式7-3】设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. 题型08坐标形式解决空间向量的投影向量 典｜例｜精｜析 【例15】在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【详解】因为向量在面上的投影向量为，则. 因为在向量上的投影向量为， 则，所以. 而，可得向量的夹角为. 故选：A. 【例16】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 【变式8-2】已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 【变式8-3】空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 【答案】 【详解】由向量，得，， 因此在上的投影向量，所以. 故答案为： 题型09坐标形式解决空间向量的平行关系 典｜例｜精｜析 【例17】已知向量，,则___________． 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 【例18】已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）设向量的夹角为，由空间三点， 可得， ， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为. （2）因为，所以，其中， 因为，可得， 所以， 于是或， 即点的坐标为或. 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】已知空间两点，向量满足，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 【答案】A 【详解】已知，则， 因为，，所以，解得. 故选：A 【变式9-2】正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】因为正四棱台，如图建立空间直角坐标系， 则. 因为，所以棱台的高为. 所以. 因为是的中点，所以. 设，因为. 所以. 因为三点共线，所以满足. 因为，， 则有，解得. 所以，所以. 故答案为：. 【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C 题型10坐标形式解决空间向量的垂直关系 典｜例｜精｜析 【例19】已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 【例20】已知空间三点，，．若，分别与，垂直，则向量______． 【答案】或 【详解】解：由题意，． 设向量，则有， 解得，，或，，， 则向量或． 故答案为：或． 变｜式｜巩｜固 【变式10-1】已知点，向量与向量互相垂直，则实数的值为多少？ 【答案】 【详解】∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了两个向量垂直则两个向量的数量积为，以及向量的坐标运算，解题的关键是熟练运用向量的坐标运算的公式． 【变式10-2】给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为___________． 【答案】或 【详解】因为，所以， 设，因为向量与向量都垂直， 所以，所以， 因为，所以，解得， 所以的坐标为或， 故答案为：或. 【变式10-3】在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】A 【详解】，，， ，，即，，平面, 平面，又， ，即， ， 故选：A． 基础通关 一、单选题 1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 3．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，解得. 故选：B. 4．已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】由，，得， 由得，，得，则， 得， 故选：C 5．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，，， ，， ． 方法二：由题意可知， ， ． 堑堵为直三棱柱，且， ， ． 故选：B. 二、多选题 6．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 7．在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 【答案】CD 【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误， 对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同， 建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误， 对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确， 对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则， 所以异面直线与所成角为，故D正确. 三、填空题 8．已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 9．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】/ 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 10．在正四棱台中，，，，_________． 【答案】 【详解】由正四棱台中，，，， 在侧面中得，由，， 设， ， ， 故：． 故答案为： 四、解答题 11．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标； 【答案】，，，， 【详解】由题可知，，，，，. 12．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．    【答案】证明见解析 【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．    ∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，四边形ABCD是矩形， ∴， ∴|PB|＝， ∴|PB|＝|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF， ∵|PE|＝， |CE|＝， ∴|PE|＝|CE|，又F为PC的中点，∴PC⊥EF． 素养提升 1．已知，，若，以下向量中可以作为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，各选项中的向量均不与向量共线，只需考虑、不共线的情形， 作，，如下图所示： 作，，则、是分别与向量、同向的单位向量， 以、为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，且平分， 由向量加法的平行四边形法则可知，且有， 因为，且，则，设，即， 因为、不共线，则，所以，故， A选项合乎题意， 故选：A. 2．在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 【答案】 【详解】设点，则 ， 是关于的二次凸函数，的最小值在的重心处取得， 重心坐标为，即． 该点在平面上，符合要求． 3．如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.    (1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标； (2)在（1）的条件下，在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标. 【答案】(1)，. (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以，又，设， 则，解得，所以点P的坐标为， 故点P关于y轴的对称点的坐标为. （2）由得， 故设线段上一点M的坐标为，， 则有， 当时，最小，所以点M的坐标为. 4．已知空间三点，，． (1)求线段中点的坐标，和线段的长度； (2)求直线和直线夹角的余弦值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)线段中点的坐标为，线段的长度为， (2)直线和直线夹角的余弦值为， (3)点的坐标为. 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以线段中点的坐标为， 由已知， 所以， 所以线段的长度为， （2）因为，，， 所以，， 所以， 所以直线和直线夹角的余弦值为， （3）因为，，， 所以， 因为点在直线上， 设， ， ， 因为，所以， 所以， 解得：，故， 所以点的坐标为. 5．已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，得，, ，，，四点共面， 存在实数使得， 即， 则，解得，，， 故的值为. （2），，      设直线和直线的夹角为， ，              因为，，所以，所以， 所以两直线和的夹角余弦值的范围是 . 6．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 7．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．    (1)求证：； (2)若为线段上一动点，，求的最小值． 【答案】(1)∵分别是的中点，，∴. ∵，∴. ∵，平面，平面∴平面. ∵平面，∴. (2)6 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为，，与相交于点，且平面，平面. 所以平面. 因为平面，所以. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    则，，. 设， . 所以的最小值为6. 迁移创新 1．已知正方体的棱长为，点为棱的中点．若动点在正方体内部或表面上，且，则动点的轨迹所形成区域的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】空间中到两点距离相等的点的轨迹是两点连线的垂直平分面，表示点在垂直平分面靠近D的一侧， 以为原点建立空间直角坐标系，，则中点 ，设动点，对展开化简： ， 消去同类项后得：，即满足条件的点都在该平面一侧，， 在平面的正方形中，的区域是四边形，顶点为，由梯形面积公式得： ， 方向长度为，体积. 2．对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，． (1)写出，写出（用含x的式子表示）； (2)当，写出的最小值及此时x的值． 【答案】(1),； (2)的最小值为4，. 【分析】 【详解】（1）由题可知： ,. （2）， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 由，得，则， 由，得，则， 由图可知，当时，有最小值4. 3．设全体空间向量组成的集合为，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”；. (1)设，，若，求向量； (2)对于V中的任意单位向量，求的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）依题意得：，设， 则，或； （2）设与的夹角为，则， 则， 故最大值为. 4．如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：由，且， 取的中点，连接，则，且， 所以， 又是以为直角的等腰直角三角形，所以. 过点作，垂足为，则点为的中点，且， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， 故以所在的直线分别为轴，轴，过点作垂直于平面的轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 因为为棱的中点，所以，又因为点在棱上，且， 所以，则，，， 令， 则， 则，解得， 故，则共面，且向量有公共点， 所以四点共面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $