第15章轴对称【章节复习】压轴题 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以几何变换（轴对称、构造全等）为主线，通过递进式问题链提炼角平分线、等边三角形等问题的通性解法，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线问题|1|构造全等三角形（截长法）|角平分线性质→全等判定→线段计算| |轴对称应用|1|轴对称构造对称图形|特殊到一般→轴对称性质→角度推导| |等边三角形综合|1|等边三角形判定/全等证明|等边性质→对称变换→线段关系证明|

1. 王小嘉遇到这样一个有关角平分线的问题：如图①，在中，，平分， ，，求的长． 小嘉这样思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这很容易得到≌，经过推理能使问题得到解决（如图②）． 请你回答： （ 1 ）可推导出是 三角形． （ 2 ） 的长为 ． （ 3 ）参考小嘉思考问题的方法，请你解决以下问题： 如图③，已知中，，，平分，， ，求的长． 2. 老师布置了这样一道作业题： 在 中， ，点 和点在直线的同侧， ， ， ， ，连接 ，求的度数． 小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当 ， 时（如图 ），利用轴对称知识，以为对称轴构造的轴对称图形 ，连接 （如图 ），然 1 学科网（北京）股份有限公司 后利用，以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题． （ 1 ）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下的度数． （ 2 ）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题． 3. 在等边中，点在边上，点在的延长线上，（如图）． （ 1 ）求证：． （ 2 ）点关于直线的对称点为 ，连接，．依题意将图补全．1 小姚通过观察、实验提出猜想：在点运动的过程中，始终有．小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：2 想法：要证明，只需证是等边三角形；想法：连接，只需证明≌即可． 请你参考上面的想法，帮助小姚证明（一种方法即可）． $ 1. 如图，在中，，点为上的点，且 ，点在边上由点向点运动，点的速度为，同时，点在边上由点向点运动． （ 1 ）如果点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由． （ 2 ）如果点的运动速度为，当点运动几秒后，可得到等边三角形？ （ 1 ） （ 2 ） ≌ ． 秒． （ 1 ）由题意可知， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在 ， ． ， ， ． ， ． 和 ， ． 中， ， ∴ （ 2 ）当点 ≌ ． 运动 秒后，可得到等边三角形 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 由题意可知： ∴ ， ． ． ∴ ． ∴当点 运动 秒后，可得到等边三角形 ． 【知识点】动点与特殊平行四边形问题 2. 如图，中，，现有两点 、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点 的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时， 、 同时停止运动． （ 1 ）点 、运动几秒后， 、两点重合？ （ 2 ）点 、运动几秒后，可得到等边三角形？ （ 3 ）当点 、在边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 、运动的时间． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） 、 在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形． （ 1 ）设点 、 运动 秒后， ， 、 两点重合， 解得： ． （ 2 ）设点 、 运动 秒后，可得到等边 ，如图①， ， ， ∵三角形 是等边三角形， ∴ ， 解得 ， ∴点 、 运动 秒后，可得到等边三角形 ． 图 （ 3 ）当点 、 在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形， 由（ ）知 秒时 、 两点重合，恰好在 处，如图②，假设 是等腰三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 图 ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， 设当点 、 在 边上运动时， 、 运动的时间 秒时， 是等腰三角形， ∴ ， ， ， ， 解得： ．故假设成立． ∴当点 、 在 边上运动时，能得到以 为底边的等腰三角形 ，此时 、运动的时间为 秒． 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】AAS 【能力】推理论证能力 3. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，且位于点上方，以为边作等边，延长交轴于点． （ 1 ） 求证：． （ 2 ） 的度数是 ．（直接写出答案，不需要说明理由） （ 3 ） 当点运动时，猜想的长度是否发生变化？并说明理由． （ 4 ） 在（）的条件下，在轴上存在点，使得为等腰三角形，请写出点的坐标： ．（直接写出答案，不需要说明理由） （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 3 ） 的长度不会发生变化． （ 4 ） ， （ 1 ）∵ ∴ ∴在 ， 都是等边三角形， ， ， ， 和 ， 中， ， ∴ ∴ （ 2 ） ∵ ∴ （ 3 ） ∵ ∴在 ≌ ， ． ≌ ， ． ， ， 中， ， ， ∴ ， ∴ 的长度不会发生变化． （ 4 ） ， ． 【知识点】坐标系中的动点问题（非函数） 4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形 ，点在正半轴上一动点（ ），连接，以线段为边在第四象限内作等边，连接并延长，交轴于点． y x O y x O 备用图 （ 1 ） 与全等吗？判断并证明你的结论． （ 2 ）当点运动到什么位置时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形？ （ 1 ）全等，证明见解析． （ 2 ）当点 的坐标为 时． （ 1 ）∵ ∴ ∴ ∴在 ， ， 都是等边三角形， ， ， ， 和 ， 中， ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ≌ （ ， ）． ≌ ， ， ， ， ， ∴以 ∵在 ∴ ∴ ∴ ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形时， 和 是腰， 中， ， ， ， ∴当点 ， ， 的坐标为 时，以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形． 【知识点】象限内坐标的特征 $ 1. 王小嘉遇到这样一个有关角平分线的问题：如图①，在中，，平分， ，，求的长． 小嘉这样思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这很容易得到≌，经过推理能使问题得到解决（如图②）． 请你回答： （ 1 ）可推导出是 三角形． （ 2 ） 的长为 ． （ 3 ）参考小嘉思考问题的方法，请你解决以下问题： 如图③，已知中，，，平分，， ，求的长．（ 1 ）等腰 （ 2 ） （ 3 ） ． （ 1 ） 是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 在 和 中， ， （ 2 ） ∴ ≌ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形．的长为 ． 由（ ）和 ， ， ∴ ， ， ， ． （ 3 ） ∵ 中， ， ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ， ． 在 边上取点 ，使 ，连接 ， 则 ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 边上取点 ，使 ，连接， 则 ≌ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 2. 老师布置了这样一道作业题：【知识点】全等三角形的对应边与角 在中，，点和点在直线的同侧，， ， ，，连接，求的度数． 小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当，时（如图 ），利用轴对称知识，以为对称轴构造的轴对称图形，连接（如图），然后利用，以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题． （ 1 ）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下的度数． （ 2 ）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题． （ 1 ） （ 2 ）当 当 ． 时，时， ， ． （ 1 ）如图 作 ， ，连接 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）第①种情况：当 时， 如图 ，作 ， ，连接 ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 同（ ）可证 ≌ ， ∴ ， ， ． ∴ ， ∵ ， ∴ ， 以下同（ ）可求得 ，第②种情况：当 时， 如图 ，作 ， ，连接 ， ．同理可得： ， ∴ ， ∴ ， ． 同（ ）可证 ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 3. 在等边中，点在边上，点在的延长线上，（如图）．同（ ）可证 ∴ ≌ ， ， ， ， ∴ ， 【知识点】全等三角形的对应边与角 （ 1 ）求证：． （ 2 ）点关于直线的对称点为 ，连接，．依题意将图补全．1 小姚通过观察、实验提出猜想：在点运动的过程中，始终有．小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：2 想法：要证明，只需证是等边三角形； 想法：连接，只需证明≌即可． 请你参考上面的想法，帮助小姚证明（一种方法即可）． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）1 2 画图见解析．证明见解析． （ 1 ）如图． ∵ 是等边三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． （ 2 ）1 2 补全图形．（如图） 方法 ：如图． 由（ ）已得 ． ∵点 与点 关于直线 对称，可得 ， ． ∵ ， ∴ ， ． ∵ 是 的外角， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 是等边三角形． ∴ ． 方法 ： 如图，在边上截取 ，连接 ， ． 可得是等边三角形， ． ∵， ∴≌ ． ∴． ∵点与点 关于直线对称， 可得，， ． ∴， ． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴ ∴ ≌ ． ． 【知识点】等边三角形与全等 $ 1. 如图，在中，，点为上的点，且 ，点在边上由点向点运动，点的速度为，同时，点在边上由点向点运动． （ 1 ）如果点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由． （ 2 ）如果点的运动速度为，当点运动几秒后，可得到等边三角形？ 2. 如图，中，，现有两点 、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点 的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时， 、 同时停止运动． （ 1 ）点 、运动几秒后， 、两点重合？ （ 2 ）点 、运动几秒后，可得到等边三角形？ （ 3 ）当点 、在边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 、运动的时间． 3. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，且位于点上方，以为边作等边，延长交轴于点． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ） 求证：． （ 2 ） 的度数是 ．（直接写出答案，不需要说明理由） （ 3 ） 当点运动时，猜想的长度是否发生变化？并说明理由． （ 4 ） 在（）的条件下，在轴上存在点，使得为等腰三角形，请写出点的坐标： ．（直接写出答案，不需要说明理由） 4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形 ，点在正半轴上一动点（ ），连接，以线段为边在第四象限内作等边，连接并延长，交轴于点． y x O y x O 备用图 （ 1 ） 与全等吗？判断并证明你的结论． （ 2 ）当点运动到什么位置时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形？ $