第15章 轴对称 章节复习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰与等边三角形性质判定，整合垂直平分线、全等及最短路径问题，通过分类讨论、几何证明等题型构建知识网络，培养推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形|3题|分类讨论边长/角度|从定义到性质应用，强化多解分析| |等边三角形|2题|判定与性质综合|特殊化等腰三角形，关联外角与三线合一| |轴对称应用|3题|最短路径作图与计算|利用轴对称转化路径，体现空间观念| |全等与证明|4题|多结论判断与推理|基于全等判定，构建边角关系逻辑链|

1. 等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，则该等腰三角形的底边为（ ）． A. B. C. 或 D. 以上都不对 C ①若 为腰，则底边 ． ②若 为底，则腰长 ． 【知识点】已知两边求第三边或周长 2. 如果等腰三角形的一个角为，那么这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 D 该角可能为等腰三角形的顶角或底角，当为底角时，顶角为 ， 故这个等腰三角形的顶角的度数为 或 ． 【知识点】已知一角求其余两角 3. 下列三角形：①有两个角等于，②有一个角等于的等腰三角形，③三个外角（每个项点处各取一个外角）都相等的三角形，④有一条边上的高和中线重合的三角形．其中是等边三角形的有（ ）． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①② C ①有两个角等于 ，则第三个角也是 ，即是等边三角形． ②有一个角等于 的等腰三角形，则其它两个角也是 ，即是等边三角形． ③三个外角都相等，那么它的三个内角也一定相等，即是等边三角形． 10 学科网（北京）股份有限公司 ④有一条边上的高和中线重合的三角形，是等腰三角形，不一定是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定 4. 如图，在等腰中，，，，则等于（ ）． A. B. C. D. C ∵ ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ． ． ， ． 【知识点】腰上的高与腰的夹角问题 5. 如图，在中， ，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. B ∵ 垂直平分 ， ∴点 、 关于 对称， 设 交 于点 ， ∴当 与 重合时， 的值最小，最小值等于 的长，故正确答案为 ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】轴对称的定义 【能力】推理论证能力 6. 如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线上的某点处修建一个水泵站向，两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（ ）． A. B. C. D. D 作点 关于直线 的对称点 ，连接项 铺设的管道最短． 故选 ． 交直线 于 ，根据两点之间，线段最短，可知选 【知识点】线段和的最小值 7. 如图，，于，于，与交于点．有下列结论：①≌ ；②≌；③点在线段的垂直平分线上．以上结论正确的有（ ）． A. ① B. ② C. ①和② D. ①和②和③ D ①∵ ， ， ∴ 在 ∴ ， 和 中， ． ， ， ， ≌ ②由①得： ∴ ≌ 与 ， 交于点 ， ， ， 又∵ ∴ ∴ ≌ ． ③由①得： ∴ ≌ ， ， ∴ 是等腰三角形， ∵等腰三角形三线合一， ∴点 在线段 的垂直平分线上， 综上，①、②、③结论均正确，故答案选 ． 【知识点】多解或多种判定混合 1. 若等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． ， ，如图， ∵一腰上的高与底边的夹角为 ， ∴底角 ， ∴顶角 ． 故答案为： ．如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵ ， ， ∴ ， 即顶角的度数为 ． 如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ， ， ． 【知识点】腰上的高与腰的夹角问题 2. 如图， 中， ， 的垂直平分线交 于点，若 ， ， 的周长等于 ． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ． 的垂直平分线交 ， 于 ， ， 周长 ． 【知识点】已知两边求第三边或周长 3. 如图，为等边三角形，，，则 ． ∵ 为等边三角形， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： ， ， ． ． 【知识点】等边三角形的性质 1. 如图，在中，，，是的垂直平分线． （ 1 ）求证：是等腰三角形． （ 2 ）若的周长是，，求的周长．（用含，的代数式表示） （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵在 ∴ 中， ， ， ， 又∵ 是 ∴在 ∴ ∴故 是 的垂直平分线， 中， ，则 ， 是等腰三角形． 是等腰三角形，即 ， 的垂直平分线， ， 的周长是 ， ， ， ， （ 2 ）由（ ）知 ∴ ， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ， 的周长 ． 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【能力】推理论证能力 2. 已知：如图，在中， ，是的角平分线，平分，交与点 ，． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）如果，求的长度． （ 3 ）判断与的位置关系： ．依据是 ． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 3 ）垂直 ; 等腰三角形三线合一 （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ 平分 ， ， ， ． ∵ 中， ， ∵ ∴ ∴ ∴ （ 2 ）∵ 又∵ ∴ （ 3 ） ， ， ， ． ， ， ， ． ， 依据是等腰三角形三线合一， 证： ∴ ∵ ， ． 平分 ， ∴ ． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 3. 回答下列问题： （ 1 ）如图，在中，点，分别是，的中点，请你在边上确定一点，使的周长最小（要求：保留作图痕迹，不写作法，但要说明点是如何确定的） （ 2 ）如图，内有一顶点，试在，上各找一点，，使得周长最小（要求：保留作图痕迹，不写作法，但要说明点，是如何确定的） （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）画图见解析． （ 1 ）过 作 于 ，并延长 值 点，使 ，连 交 于点 ，则点 为所求的点，此时 的周长最小． （ 2 ）过 分别作 使连 于 ，延长 于点 ，交 ， 于 至 点，使 ，并分别延长 ， 至 点， 交 于点 ，则点 ， 为所求的点．此时 的周长最小． 【知识点】轴对称的定义 【知识点】轴对称的性质 4. 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是． ， ，点 ， y x （ 1 ）作关于轴对称的． （ 2 ）在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）画图见解析．点 的坐标为 ． （ 1 ）如图所示： y x （ 2 ）如图所示：点 的坐标为 ． y x 【知识点】坐标系中的对称-图形的对称 【知识点】坐标系中的对称-点关于坐标轴对称 5. 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （ 1 ）填空： ． （ 2 ）若，求的值． （ 3 ）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ． （ 3 ） 为等边三角形． （ 1 ） ． （ 2 ） ， ， 解得： 所以： （ 3 ）∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ， ， ， ． ， ， ， ， 为等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定 6. 已知如图：中，，、的平分线相较于点，过点作分别交 、于、． （ 1 ）写出线段与、之间的数量关系？（不证明） （ 2 ）若，其他条件不变，如图，图中线段与、间是否存在（ ）中数量关系？请说明理由． （ 3 ）若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作 交于，交于，如图，这时图中线段与、间存在什么数量关 系？请说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ）仍然有 ． （ 3 ） ． （ 1 ） ． （ 2 ）仍然有 ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，同理 ， ∴ ． （ 3 ） ∵ ， ，理由如下： ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可得到 ， ∴ ． 【知识点】线段和差-不需要分类讨论 【知识点】角分线性质定理 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 7. 已知是等边三角形，点、分别在、上，且． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）求出的度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ 是等边三角形， (等边三角形三边都相等)， ，(等边三角形每个内角是中， )． 在 和 ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ≌ （ ）． ≌ (已证)， (全等三角形的对应角相等)， (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ， ． 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】SAS 8. 如图，为等边三角形，，，相交于点，于点，， ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ 为等边三角形， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． （ 2 ）∵ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴在 中， ， 又∵ ， ∴ ． 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】30°特殊角的性质应用 【知识点】等边三角形的性质 【能力】推理论证能力 $ 1. 如图，已知，点在边上，，点 ，在边上，，若 ，则（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点， ，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上， 、、…均为等边三角形，若 ，则的边长为（ ）． MO N A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 1 学科网（北京）股份有限公司 5. 已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法： ①，②，③，④，其正确的结论有（ ）． A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 1. 如图，，，的垂直平分线 交于点，则 ． 2. 如图，，点为内一点，．点 、分别在、上，则周长的最小值为 ． A O N BM P 3. 如图，中， ，，于，是的平分线，且交于点．如果，则的长为 ． 4. 为等边三角形，，，分别在边，，上，且，则为 三角形． 1. 如图，在所给网络图（每小格均为边长是的正方形）中完成下列各题： （ 1 ）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的． （ 2 ）在上画出点，使最小． （ 3 ）求的面积． 2. 如图，是等边内的一点，已知，，，≌ ． （ 1 ）求证：是等边三角形． （ 2 ）若，试判定的形状，并说明理由． （ 3 ）当是等腰三角形时，试求出的度数． 3. 已知在中，于点，，点为左侧一动点，如图所示，点在 的延长线上，交于，且． AE D F B O C （ 1 ）求证： （ 2 ）求证平分 ． ． （ 3 ）若在点运动的过程中，始终有 化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 ，在此过程中， 的度数． 的度数否发生变 4. 解答下列问题： （ 1 ）问题发现： 如图， 和 均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接 ． 填空：的度数为 ． 判断线段、之间的数量关系，并说明理由．1 2 （ 2 ）拓展探究： 如图，和均为等腰直角三角形， ，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．求的度数及线段、、 之间的数量关系，并说明理由． 5. 已知为等边三角形，点为直线上的一动点（点不与、重合），以为边作等边 （顶点、、按逆时针方向排列），连接． （ 1 ） 如图，当点在边上时，求证：①；②． （ 2 ） 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由． （ 3 ） 如图，当点在边的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、 、之间存在的数量关系． $ 1. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ）． A. B. C. 或 D. 以上都不对 2. 如果等腰三角形的一个角为，那么这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 3. 下列三角形：①有两个角等于，②有一个角等于的等腰三角形，③三个外角（每个项点处各取一个外角）都相等的三角形，④有一条边上的高和中线重合的三角形．其中是等边三角形的有（ ）． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①② 4. 如图，在等腰中，，，，则等于（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中， ，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 6. 1 学科网（北京）股份有限公司 如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线上的某点处修建一个水泵站向，两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，，于，于，与交于点．有下列结论：①≌ ；②≌；③点在线段的垂直平分线上．以上结论正确的有（ ）． A. ① B. ② C. ①和② D. ①和②和③ 1. 若等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 2. 如图， 中， ， 的垂直平分线交于点，若 ， ， 的周长等于 ． 3. 如图，为等边三角形，，，则 ． 1. 如图，在中，，，是的垂直平分线． （ 1 ）求证： 是等腰三角形． （ 2 ）若 的周长是， ，求 的周长．（用含， 的代数式表示） 2. 已知：如图，在中， ，是的角平分线，平分，交与点 ，． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）如果，求的长度． （ 3 ）判断与的位置关系： ．依据是 ． 3. 回答下列问题： （ 1 ）如图，在中，点，分别是，的中点，请你在边上确定一点，使的周长最小（要求：保留作图痕迹，不写作法，但要说明点是如何确定的） （ 2 ）如图，内有一顶点，试在，上各找一点，，使得周长最小（要求：保留作图痕迹，不写作法，但要说明点，是如何确定的） 4. 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是． ， ，点 ， y x （ 1 ）作关于轴对称的． （ 2 ）在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标． 5. 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．请根据阅读材料解决下列问 题： （ 1 ）填空： ． （ 2 ）若，求 的值． （ 3 ）若、 、 分别是的三边，且 ，试判断 的形状，并说明理由． 6. 已知如图：中，，、的平分线相较于点，过点作分别交 、于、． （ 1 ）写出线段与、之间的数量关系？（不证明） （ 2 ）若，其他条件不变，如图，图中线段与、间是否存在（ ）中数量关系？请说明理由． （ 3 ）若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作 交于，交于，如图，这时图中线段与、间存在什么数量关 系？请说明理由． 7. 已知是等边三角形，点、分别在、上，且． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）求出的度数． 8. 如图，为等边三角形，，，相交于点，于点，， ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的长． $ 1. 如图，已知，点在边上，，点 ，在边上，，若 ，则（ ）． A. B. C. D. C 过 作 ，交 于点 ， 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 在 中， ，， ∴ ∵ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ． 2. 如图，为 内一点， 平分 ， ，垂足为点，交 于点 ， ， ， ，则 的长为（ ）． 10 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. A ∵ 平分 ． ， ． ， ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选： ． ， ， ． ． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 3. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上， 、、…均为等边三角形，若 ，则的边长为（ ）． MO N A. B. C. D. C ∵ 是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， ， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， 7 ， 8 ， 、 ∴ ， 是等边三角形， ， 2 1 3 5 4 A1 6 9 10 11 14 【能力】推理论证能力 【知识点】等边三角形的性质 ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ，， 以此类推： ． 4. 在平面直角坐标系 条件的点有（ 中，已知点 ）． ，在 轴上确定点 ，使 为等腰三角形，则符合 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 D 分二种情况进行讨论： 当 为等腰三角形的腰时，以 为圆心 为半径的圆弧与 轴有两个交点，以 为圆心 为半径的圆弧与 轴有一个交点； 当 为等腰三角形的底时，作线段 的垂直平分线，与 轴有一个交点． ∴符合条件的点一共 个． 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 5. 已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法： ①，②，③，④，其正确的结论有（ ）． A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ D ∵ 是等边三角形， ∴ 在 ， ， 和 中， ， ∴ ∴ ∴在 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 无法判断故选 ． ≌ ， 与 ， ， 中， ，故①正确． ， ，故②正确， ， ， ， ，故④正确， ，故②错误． 【知识点】等边三角形与全等 1. 如图，，，的垂直平分线 交于点，则 ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 2. 如图，，点为内一点，．点 、分别在、上，则周长的最小值为 ．∵ ， ， ， ∴ ∵ 的垂直平分线 交 于点 ， 【能力】推理论证能力 【知识点】作线段的垂直平分线 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】三角形内角和的应用 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 A O N BM P 过 作关于直线 连 、 交 于 点，交 、 的对称点 于 点， 、 ， ∵ 中， ， ， P1 M A P O N B P2 ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， ． 【知识点】轴对称的定义 3. 如图，中， ，，于，是的平分线，且交于点．如果，则的长为 ． ∴ 又∵ 是 的平分线， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 的等边三角形，则 ， 在直角中 ， ，则 ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】角分线性质定理 【知识点】等边三角形的性质 4. 为等边三角形，，，分别在边，，上，且，则为 三角形． 等边 或 正 ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴即 ≌ 为等边三角形， ， ， ， ≌ ， ， 为等边三角形． 故填等边． 【知识点】等边三角形的判定 1. 如图，在所给网络图（每小格均为边长是的正方形）中完成下列各题： （ 1 ）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的． （ 2 ）在上画出点，使最小． （ 3 ）求的面积． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）画图见解析． （ 3 ） ． （ 1 ） （ 2 ）考查将军饮马最值问题，过点 做 的对称点 ，连接 ，交 于点 ． （ 3 ）对称后面积不变，所以 的面积等于的面积， ． 【知识点】轴对称的性质 【知识点】坐标系中的对称-图形的对称 【能力】推理论证能力 2. 如图，是等边内的一点，已知，，，≌ ． （ 1 ）求证：是等边三角形． （ 2 ）若，试判定的形状，并说明理由． （ 3 ）当是等腰三角形时，试求出的度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）直角三角形，理由见解析． （ 3 ） 或 或 （ 1 ）∵ ∴ ≌ ， ， ， ∴ 是等边三角形． （ 2 ）∵ ∴ ∴ ∴ （ 3 ）∵ 是直角三角形． ， ， ． ① ； ② ， ； ③ ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 3. 已知在中，于点，，点为左侧一动点，如图所示，点在 的延长线上，交于，且． AE D F B O C （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证平分． （ 3 ）若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，的度数否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） 的度数不变化． （ 1 ）∵ 又∵ ∴ ， ， ， ． （ 2 ） A E 过点 作 于点 ，作 于点 ， N D F M B O C 则 ． ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ 平分 ． （ 3 ）在 上截取 ，连接 ． A E D F P B O C ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ，即 是等边三角形， ∴ ， ∴ ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 4. 解答下列问题： （ 1 ）问题发现： 如图，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接． 填空：的度数为 ．1 判断线段、之间的数量关系，并说明理由．2 （ 2 ）拓展探究： 如图， 和 均为等腰直角三角形， ，点 、、 在同 一直线上， 为 中边上的高，连接 ．求 的度数及线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由．（ 1 ）1 2 （ 2 ） ． ． （ 1 ）1 ∵ ∴ ∴在 和 ， 均为等边三角形， ， ． 和 ． 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点 ∴ ≌ ． ． 为等边三角形， 、 ． 、 在同一直线上， ． ∴ ． ∴ ． 2 ∵ ≌ ， ∴ ． （ 2 ）∵ 和 均为等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ． ∴ ， ． ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ． ∵点 、 、 在同一直线上， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】等腰直角三角形的性质 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】对应边 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 5. 已知为等边三角形，点为直线上的一动点（点不与、重合），以为边作等边 （顶点、、按逆时针方向排列），连接． （ 1 ） 如图，当点在边上时，求证：①；②． （ 2 ） 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由． （ 3 ） 如图，当点在边的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、 、之间存在的数量关系． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ）画图见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∴在 和 ， 都是等边三角形， ， ，即 ． ． 和 中， ∴ ∴ ∵ ≌ ， ． ， ， （ 2 ） ∴ ． 不成立， 、 、 之间存在的数量关系是： ．理由：∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ 在 和 中， ∴ ≌ ∴ ∴ ， ∴ ． （ 3 ） 补全图形（如图） 、 、 之间存在数量关系是： ．理由：∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ 在 和 中 ∴ ≌ ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】动点与线段-无数轴 $