30.1.2 圆的切线 (1) 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆的切线性质与判定，通过汽车车轮行驶、雨伞水珠飞溅等日常现象导入，结合思考、反证法证明及跟踪训练，构建从切线概念到性质定理再到判定定理的知识支架。 其亮点在于以几何直观呈现生活实例，通过反证法推理培养学生逻辑思维，总结“见切点连半径”等辅助线作法强化应用意识，助力学生掌握解题方法，教师可高效开展教学，提升学生数学思维与实践能力。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 (1) 人教版九年级上册 汽车车轮在平整路面行驶、自行车轮碾过地面，下雨天转动雨伞，伞边缘飞出的水珠，飞溅的方向和伞的边缘是什么位置关系？ 这些日常现象，背后都藏着我们今天要学习的几何知识 ——圆的切线. 课堂导入 P A l O 如图，设  为直线  上不同于点  的点， 因为直线  与  只有一个公共点 ， 所以点  在  外. 从而 ， 即半径  是圆心  与直线  上的点的最短连线. 因此，半径  与直线  垂直 . 思考： 的半径 OA 与过点 A 的切线 l 有什么关系？ 用反证法证明试一试. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD，垂足为M. (2) 则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于的半径，因此，CD与相交.这与已知条件“直线与相切”相矛盾. (3) 所以AB与CD垂直. C D B O A M 反证法： 切线的性质定理的证明 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 由此得到切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言： ∵ l与相切于点 A， ∴ l ⊥ OA. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 跟踪训练 如图 ，AB 是  的弦， 与  相切于点 B，圆心 O 在线段 PA 上. 已知 ，则  的大小为 ______°. 解析：如图 ，连接 . ∵  与  相切于点 ， ∴ ，∴ . ∵ ，∴ ， ∴ . 20 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 类型 依据 作法 简称 已知切线 切线的 性质 通常连接过切点的半径，得出切线和半径垂直的结论. 见切点，连半径，得垂直. 与切线相关的常见辅助线作法 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 A l O P 思考：按上述性质，若  的切线 l 经过半径 OA 的外端点 A，那么 l OA. 反过来，如图 ，若直线 l 过半径 OA 的外端点 A，且 l OA，那么直线  是  的切线吗？ 可以看出，这时圆心  到直线  的距离就是  的半径， 因而直线  就是  的切线. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言： ∵ OA是 的半径，l 经过点 A 且 l⊥OA， ∴ l 是 的切线 . 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注意：判定定理中的两个条件缺一不可，否则不成立. ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径； 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 思考：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？ 设圆心为 O，圆上已知点为 P，如图 ， ① 连接 OP 并延长， ② 以点 P 为圆心，适当长为半径作弧，交射线 OP 于点 A，B， ③ 分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于点C，作直线CP，即所求作的切线. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 如图 ，AB 是  的弦，PA 是  的切线，PA=PB. 求证：PB 是  的切线. 分析：因为点 B 在  上，所以 OB 为  的半径.要证明 PB 是  的切线，只需证明 PB ⊥ OB. 例1 P O B A 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 如图 ，AB 是  的弦，PA 是  的切线，PA=PB. 求证：PB 是  的切线. 证明：如图，连接 . ∵  与  相切于点 ， ∴ ，即 . 又 ，，， ∴ △PAO ≌ △PBO，∴ ∠PBO=∠PAO=90°， ∴ . 这样， 经过  的半径 OB 的外端点 B，并且垂直于半径 ， 所以  是  的切线. 例1 P O B A 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 如图，AB 为 的直径，如果圆上的点 D 恰使 ∠ADC=∠B， 求证：直线 CD 与 相切. 证明：如图，连接 . ∵ ，∴ . ∵  为  的直径，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ，即 . ∵  是  的半径， ∴ 直线  与  相切. 跟踪训练1 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 在 Rt ABC 中，， 的平分线交  于点 ， 以点  为圆心， 为半径作 . 求证：AC 与  相切. 跟踪训练2 证明：过点  作  于点 ，如图所示. ∵ ， ∴ . 又  平分 ，， ∴ ， ∴  与  相切. E 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 类型 依据 作法 简称 需证切线 切线的 判定定理 通常连接过直线与圆的公共点的半径，证明该直线与半径垂直，得出直线是圆的切线的结论. 有公共点，连半径，证垂直. 如跟踪训练1. 切线判定 的距离法 通常过圆心作直线的垂线，证明圆心到该直线的距离等于半径，得出直线是圆的切线的结论. 无公共点，作垂直，证半径. 如跟踪训练2. 与切线相关的常见辅助线作法 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 在生活中，有许多直线与圆相切的实例. 例如：列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的：在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的（如图）. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 切线的性质与判定 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课堂小结 1. 如图，AB是☉O的弦，过点A作☉O的切线AC. 若 ∠BAC＝55°，则∠AOB的度数为(　C　) A. 55° B. 90° C. 110° D. 120° 第1题图 C 随堂练习 A层 基础练 2. 如图，AB是☉O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作 ☉O的切线，切点为C. 若∠A＝25°，则∠D＝ ⁠°. 第2题图 40　 A层 基础练 3. 如图，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点.若∠C＝ 65°，则∠P的度数为 ⁠. 50°　 A层 基础练 4. (教材P155习题T4)如图，在☉O中，AB为直径，AD为弦， 过点B的切线与AD的延长线相交于点C，且AD＝DC. 求 ∠ABD的度数. 解：由题意，得AB⊥BC. 又AD＝DC，∴BD＝AD＝DC. ∴∠BAD＝∠ABD. ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠ABD＝ ×90°＝45°. A层 基础练 5. 如图，☉O切PB于点B，PB＝4，PA＝2.求☉O的半径. 解：∵☉O切PB于点B， ∴∠OBP＝90°. 设☉O的半径为r，则OA＝OB＝r. ∵PA＝2，∴OP＝OA＋PA＝r＋2. 在Rt△OBP中，OB2＋PB2＝OP2， ∴r2＋42＝(r＋2)2.解得r＝3. ∴☉O的半径为3. A层 基础练 6. (教材P155习题T5)如图，AB为☉O的直径，PD，PE分 别与☉O相切于点A，C，∠BCE＝35°，则∠P的度数 为 ⁠. 第6题图 70°　 B层 提升练 A层 基础练 7. (教材P155习题T10)如图，☉O的直径AB与弦CD相交， ∠BAC＝38°.过点D作☉O的切线，与AB的延长线交于点 P，DP∥AC，则∠ACD的度数为 ⁠. 第7题图 64°　 B层 提升练 A层 基础练 8. 如图，☉M与x轴相交于A(2，0)，B(8，0)，与y轴相切于 点C，则圆心M的坐标为(　D　) A. (3，5) B. (5，3) C. (4，5) D. (5，4) 第8题图 D B层 提升练 A层 基础练 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB 上，OB＝2，以OB长为半径的☉O与AC相切于点D，交BC 于点F，OE⊥BC，则弦BF的长为 ⁠. 第9题图 2　 B层 提升练 A层 基础练 10. (核心素养·几何直观)如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，☉O与BC相切于点M. 求证：CD与☉O相切. 证明：如图，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N. 答图 ∵☉O与BC相切于点M，　 ∴OM⊥BC，OM为☉O的半径.　 ∴∠OMC＝∠ONC＝90°. ∵AC是菱形ABCD的对角线，　 ∴∠ACB＝∠ACD. ∵OC＝OC，∴△OMC≌△ONC(AAS).　 ∴ON＝OM，即ON为☉O的半径. ∴CD与☉O相切. C层 拓展练 A层 基础练 $