第15章轴对称 单元试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级轴对称单元检测卷，以国际数学家大会会标、棋盘坐标等文化与生活情境为载体，覆盖轴对称图形识别、等腰三角形性质等核心知识，通过基础题与创新探究题（如“巧等线”“美好等腰三角形”）梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形、坐标对称、等边三角形性质|第1题以国际数学家大会会标为素材，渗透文化传承，考查抽象能力| |填空题|5/15|等腰三角形三边关系、垂直平分线性质|第12题通过腰上高与夹角求顶角，体现分类讨论，发展推理意识| |解答题|7/55|轴对称作图、新概念探究|第21题引入“巧等线”概念，第22题探究“美好等腰三角形”，培养创新意识与数学表达能力|

第十五章轴对称单元卷教师版 一、单选题 1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的有（   A  ） A． B． C． D． 2．下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（  C  ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则m的值是（   B ） A． B．4 C．5 D． 4．如图，是等边三角形，．若，则的周长为（  B ） A．12 B．18 C．20 D．24 5．如图，小莹和小亮下棋，小莹执黑色棋子，小亮执白色棋子，若棋盘中心的黑色棋子位置用表示，小亮将第4枚白色棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放白色棋子的位置可能是（　C　） A． B． C． D． 6．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（   B  ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ D ） A． B． C． D． 8．将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（  C  ） A． B． C．或 D． 9．如图，在中，点M，N为边上的两点，， 于点D，且，若，则的大小为（  D  ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，为线段上一动点（不与点、点重合），连接，作，交线段于点．以下四个结论：①；②当为中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论有(             ) A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．已知等腰三角形的一条腰长为5，底边长为x，则x的取值范围为___________ ． 12．一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为___或___． 13．如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为_____/___． 14．如图，中，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点F、G，若，则的度数为________． 15．如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、） (2)在（1）的条件下，写出点，，的坐标； (3)请直接写出直线，的交点的位置．（写出具体的坐标轴或象限即可） 【解题思路】本题考查作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）结合网格可得出答案． 【解题步骤】（1）解：如图所示，即为所求． （2）由图可得，，， （3）由图可知，直线，交于轴． 17．如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【答案】(1) 证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； (2) 点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； (3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【解题思路】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． （1）运用垂直平分线的性质可得，，进而证明结论； （2）运用垂直平分线的判定定理即可解答； （3）运用(1)中的结论以及确定圆的条件，综合(1)(2)的结论，即可得到相应的结论． 【解题步骤】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 18．如图（1），中，，平分交于点，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，连接，如图（2），判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【解题思路】该题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设，得出，，，根据三角形内角和列方程求出x，再根据三角形外角的性质即可求解． （2）根据（1）得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． 【解题步骤】（1）解：设， ∵中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， 理由：根据（1）可得， ∴， 又点为线段的中点， ∴． 19．如图，已知， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接延长到点E，使得，连接，求证：． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 【解题思路】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作线段的垂直平分线. （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可. （2）根据线段垂直平分线的性质得到，结合，，可得，进一步可得结论. 【解题步骤】（1）解：如图，直线即为所求. （2）解：如图， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴. 20．上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． (1)求海岛到海岛的距离； (2)渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛到海岛的距离为40海里 (2)海岛派出的救援队先到达渔船处 【解题思路】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，理解题意是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到，即可求解； （2）证明是等边三角形，进而得到的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【解题步骤】（1）解：由题意得：（海里）， ，， ， ， （海里）， 海岛到海岛的距离为40海里； （2）解：，， 是等边三角形， ， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， ， 海岛派出的救援队先到达渔船处． 21．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 　   （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）或或或 【解题思路】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据互为“等角三角形”的定义即可得； （2）先求出，，则可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后证出与互为“等角三角形”，由此即可得； （3）分六种情况：①当时，是等腰三角形，②当时，是等腰三角形，③当时，是等腰三角形，④当时，是等腰三角形，⑤当时，是等腰三角形，⑥当时，是等腰三角形，利用“巧等线”的定义、三角形的内角和定理求解即可得． 【解题步骤】解：（1）与互为“等角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴与互为“等角三角形”． （2）∵在中，，， ∴， ∵在中，为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵，， ∴与互为“等角三角形”， ∴是的“巧等线”． （3）①如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ④如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑤如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑥如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，所有可能的的度数为或或或． 22．【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明：和是美好等腰三角形， ，， ，， ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， ，所在直线是线段的垂直平分线； (2)证明：如图，作射线交于点． ， ． . ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 点在线段上，且，则和是美好等腰三角形 (3) 【解题思路】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数. 【解题步骤】（1）略 （2）略 （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴. 试卷第16页，共17页 试卷第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级第十五章轴对称单元检测试卷 （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题:本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的有（     ） A． B． C． D． 2．下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则m的值是（    ） A． B．4 C．5 D． 4．如图，是等边三角形，．若，则的周长为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 5．如图，小莹和小亮下棋，小莹执黑色棋子，小亮执白色棋子，若棋盘中心的黑色棋子位置用表示，小亮将第4枚白色棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放白色棋子的位置可能是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 8．将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 9．如图，在中，点M，N为边上的两点，， 于点D，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，为线段上一动点（不与点、点重合），连接，作，交线段于点．以下四个结论：①；②当为中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论有(             ) A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题:本题共5小题，每小题3分，共15分. 11．已知等腰三角形的一条腰长为5，底边长为x，则x的取值范围为___________ ． 12．一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为______． 13．如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为________． 14．如图，中，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点F、G，若，则的度数为________． 15．如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 三、解答题:本题共7小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、） (2)在（1）的条件下，写出点，，的坐标； (3)请直接写出直线，的交点的位置．（写出具体的坐标轴或象限即可） 17．（6分）如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 18．（6分）如图（1），中，，平分交于点，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，连接，如图（2），判断直线与的位置关系，并说明理由． 19．（9分）如图，已知， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接延长到点E，使得，连接，求证：． 20．（9分）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． (1)求海岛到海岛的距离； (2)渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 21．（9分）引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 　   （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 22．（10分）【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $