第15章 轴对称 章末测试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上学期人教版“轴对称”单元测试，覆盖轴对称性质、等腰三角形、垂直平分线等核心知识点，通过基础识别、性质应用、动态探究梯度设计，考查几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|轴对称图形识别、对称点坐标、等腰三角形判定|基础概念辨析，如第5题分类讨论顶角度数，培养推理意识| |填空题|5|垂直平分线性质、折叠最值、等边三角形性质|空间观念应用，如第14题折叠后周长最小值，体现几何直观| |解答题|9|对称作图、动点问题、综合证明|创新应用，如第24题动点与等边三角形动态探究，考查模型意识与创新思维|

第15章 轴对称 章末测试题 2026-2027学年 上学期初中数学人教版（新教材）八年级上学期 一、单选题 1．下列图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3．以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以 4．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 6．到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 7．如图，在中，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5.6 B．4.8 C．6.4 D．3.9 10．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 12．如图，在中，，，，．以点为圆心，以长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为________． 13．如图，在中，垂直平分，若，，则的周长为_______． 14．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 15．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 三、解答题 16．如图，点在的内部，且，，分别为点关于直线，的对称点，若，求的度数．    17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知两条公路、交于点，小明家位于点处，小刚家位于经过点垂直的公路和经过点与平行的公路的交汇处，请作出小刚家所在的位置． 18．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 19．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 20．如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 21．如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 22．如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 23．如图，在中，是的平分线，点在上，且，过点作的平行线，交的延长线于点，于点．请你用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 24．如图，是等边三角形，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，动点P以的速度沿向终点C运动．动点Q以的速度沿射线运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作交于点E，连结，以为边作等边三角形，连结，设点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长为________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)当的边与垂直时，求出此时t的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D B B C B C 1．A 【分析】本题主要考查轴对称图形的意义.解答本题需掌握好轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合即可，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择，即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的意义，逐选项进行核对，只有选项A符合轴对称图形的定义， 故选：A； 2．D 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第二象限，再根据第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点关于y轴的对称点在第一象限， 点在第二象限， ，， 解得：， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据各个条件画出图形判断即可． 【详解】解：①一条边上的高线与这条边上的中线重合， 如图，，，则垂直平分， ∴， ∴①一条边上的高线与这条边上的中线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，，平分，则，， ∴， ∴， ∴②一条边上的高线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，延长至点E，使， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴③一条边上的中线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，求出、的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，． ∴． ∴． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①， 高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为， 所以该等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 6．B 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 7．B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义，解决此题的关键是合理利用各个知识点之间的联系；先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义算出角度，再根据等角对等边判断等腰三角形即可； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∴，，是等腰三角形，共3个； 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，作点Q关于的对称点，连接，过点C作于点H．结合角平分线的性质以及轴对称的性质可得点在上，，根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，过点C作于点H． ∵是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，． ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 10．C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，得，从而证得是等腰直角三角形，因此①正确；过点D作于F，利用全等三角形的判定方法证得，得，，因此②正确；设，则，，，从而证得，因此③正确；由，可证得，而点N并不是的中点，因此④错误，据此解题即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故①正确； ②由①知，， 过点D作于F， 则， ， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； ③由，， 设，则， ，， ， 故③正确； ， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误， 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 11． 【分析】直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴， ∴. 12． 【分析】本题考查了尺规作图，作线段等于已知线段，线段垂直平分线的判定与性质，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于，根据作图步骤可得，，得到垂直平分，则，，然后利用三角形的面积求得的长，即可解答． 【详解】解：如图所示，连接，，设与相交于， 根据作图步骤可得，， 垂直平分，则，， 由得： ， ， 故答案为：． 13． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，再进行计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长为． 14． 【分析】连接，交于，根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是，即可求出答案． 【详解】解：连接，交于，如图所示： ∵沿折叠和重合， ， 垂直平分，即和关于对称， ， ∴当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是， 的周长的最小值是． 15．①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 16． 【分析】本题考查了轴对称的性质，角的和差，由轴对称的性质可得，，，进而可得，即得点三点共线，得到，再根据角的和差关系计算即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，分别为点关于直线，的对称点， ∴，，， ∵，， ∴点三点共线， ∴， ∴ ． 17．点即为所求． 【分析】根据题意，结合垂线的作图方法、平行线的判定画图即可． 本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，先过点作直线，再在直线的上方作，交射线于点，则点即为所求． 18．(1) 证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 19．(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求； （2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求． （3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求． 21．(1) 证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ． (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）略 （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 22．(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明，进一步可得，结合，从而可得答案； （2）如图，过点E作于点F，证明，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点E作于点F， ， ， ． 在和中， ， ， ∵在中，， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．， 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质，平行线的性质以及对顶角相等可得是等腰三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用线段的和差关系进行等量代换，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24．(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解一元一次方程等知识，结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）分两种情况讨论：点Q在线段上，点Q在射线上； （2）证明，从而得到，求出即可； （3）分两种情况，和进行求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 是等边三角形， ． 分两种情况∶ 当点Q在线段上时，； 当点Q在射线上时，； 的长为或； （2）解：是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 是等边三角形， ，． ， ，即． ． ． ，，， ； （3）解：当时， 是等边三角形， 是高，也是中线． ． ， ，解得：； ②当时，如图， ，， ． ， ． ． ，， ， 解得∶ 综合上述，当的边与垂直时，t的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $