24.2 解一元二次方程5大题型（分层作业练题型）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C组及中考拓展的分层设计，构建从基础方法到综合应用再到中考衔接的知识巩固路径，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|配方法、公式法、根的判别式等基础方法|以选择、填空、基础解答题为主，强化运算能力，适配新授课基础目标| |B组能力进阶|方程与几何综合、新运算、换元法|结合三角形边长等实际情境，培养推理意识，实现单一到综合的过渡| |C组思维拔高|根与系数关系、二次三项式因式分解|通过代数推理与问题探究，发展创新意识，深化逻辑思维| |拓展链接中考|中考真题及模拟题|直接对接中考考点，强化应用意识，提升应试能力|

分层作业 24.2解一元二次方程 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 配方法 题型02 公式法 题型03 利用根的判别式判断根的情况 题型04 根据根的情况求参数 题型05 因式分解法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 配方法 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 4. （26-27八年级·上海·暑假作业）解方程 (1)； (2)（用配方法）． 题型02 公式法 5．（25-26八年级·全国·暑假作业）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 6．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 7. 用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 8. 用公式法解一元二次方程：． 题型03 利用根的判别式判断根的情况 9．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 10. （25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 11．（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 12. （25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 题型04 根据根的情况求参数 13．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 14．（25-26八年级下·广西崇左·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 15．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 16. （2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 题型05 因式分解法 17. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 18. （25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 19. （2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 20．（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． B组 能力进阶 1. （25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 3. （25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 4. （25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 5. （25-26八年级·全国·暑假作业）已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 6. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 7. （25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 9. （25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． C组 思维拔高 1．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 4. （25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 5.（25-26八年级下·浙江金华·期末）我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 拓展 链接中考 1．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 3. （2023·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 4.（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 24.2解一元二次方程 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 配方法 题型02 公式法 题型03 利用根的判别式判断根的情况 题型04 根据根的情况求参数 题型05 因式分解法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 配方法 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 4. （26-27八年级·上海·暑假作业）解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.75 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解： ， ， ， ， ，． 题型02 公式法 5．（25-26八年级·全国·暑假作业）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 6．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 7. 用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】；；；；；；； 【难度】0.75 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】利用公式法解方程即可. 【详解】略 8. 用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 题型03 利用根的判别式判断根的情况 9．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 10. （25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 11．（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 12. （25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【难度】0.86 【知识点】一元二次方程的定义、公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略． 题型04 根据根的情况求参数 13．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 14．（25-26八年级下·广西崇左·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 15．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 16. （2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴．． 题型05 因式分解法 17. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 18. （25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 19. （2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 20．（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【难度】0.75 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ．． B组 能力进阶 1. （25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0三个条件，取公共部分求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即． ∵二次根式有意义， ∴，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 3. （25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、构成三角形的条件 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 4. （25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】解一元二次方程——配方法、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理和已知条件求出的长，利用已知条件，即可求出，求出的值，再根据，求出和的关系，即可知道的值，从而求出的值． 【详解】解：由题意可得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 5. （25-26八年级·全国·暑假作业）已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 6. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 7. （25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【难度】0.61 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】解一元二次方程——配方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 9. （25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【难度】0.55 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． C组 思维拔高 1．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、公式法解一元二次方程、判断是否是一元二次方程的解 【分析】解方程求出或，根据方程根的定义得出，，则整体代入可求出，然后把m、n的值分别代入求解即可. 【详解】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.39 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 4. （25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、因式分解法解一元二次方程 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴． 5.（25-26八年级下·浙江金华·期末）我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.57 【知识点】因式分解的应用、公式法解一元二次方程 【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果； （2）根据题干所给例子即可得出结果； （3）利用公式法求出一元二次方程的解，并结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． （2）解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； （3）解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． 拓展 链接中考 1．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】配方法的应用 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 3. （2023·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， 则，解得， 故答案为： 4.（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．    【答案】10 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 24.2解一元二次方程 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 配方法 题型02 公式法 题型03 利用根的判别式判断根的情况 题型04 根据根的情况求参数 题型05 因式分解法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 配方法 1． B 2． B 3．． 4. 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解： ， ， ， ， ，． 题型02 公式法 5． D． 6． C 7. ；；；；；；； 8.解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 题型03 利用根的判别式判断根的情况 9．C 10. D 11．方程有两个不相等的实数根． 12. (1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 题型04 根据根的情况求参数 13．A 14．C 15．. 16. ．． 题型05 因式分解法 17. ． 18. C 19. 或 20．【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ．． B组 能力进阶 1. D 2. C 3. A 4. ． 5. 或 6. ． 7. 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 8．【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 9. 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． C组 思维拔高 1. B 2.D 3.． 4. ． 5.【详解】（1）解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． （2）解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； （3）解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． 拓展 链接中考 1． ． 2． ． 3. 4. ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $