24.1 一元二次方程5大题型（分层作业练题型）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“分层进阶+中考衔接”为特色，通过A组基础巩固、B组能力提升、C组思维拔高及中考真题链接，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|一元二次方程定义、参数求解、一般式、解的判断与应用|以选择、填空为主，聚焦单一知识点，如定义辨析题培养抽象能力| |B组能力进阶|根的判别式、几何构造、新定义（倒方程）、根与系数关系|综合题型为主，如根的判别式题发展推理能力，几何构造题体现数学眼光| |C组思维拔高+拓展|代数式求值、整式综合、中考真题|开放探究题，如倒方程应用题培养创新意识，中考题强化应用意识|

分层作业 24.1一元二次方程 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 由一元二次方程的定义求参数 题型03 一元二次方程的一般式 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 题型02 由一元二次方程的定义求参数 5．（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 7. （25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 8. （2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 题型03 一元二次方程的一般式 9．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 10. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 12. （25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 题型04 判断是否是一元二次方程的解 13．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 14．（25-26九年级上·山西运城·期末）下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 16.（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 题型05 由一元二次方程的解求参数 17. （25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 18. 若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 19. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 20．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知，是方程的两个根，则_______． B组 能力进阶 1. （2026·辽宁朝阳·二模）关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 2. （2026·河南周口·二模）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 3. （25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 4. （2026·江苏南通·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 5. （2026·浙江杭州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 6. （25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 7. （26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 8．（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 9. （25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． C组 思维拔高 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 2．（2026九年级下·重庆·专题练习）已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 4.先化简，再求值； (1)，其中是方程的根． (2)，其中，． 拓展 链接中考 1．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 2．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 3. （2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 24.1一元二次方程 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 由一元二次方程的定义求参数 题型03 一元二次方程的一般式 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 4.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【难度】0.95 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 题型02 由一元二次方程的定义求参数 5．（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 6．（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 7. （25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 8. （2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 题型03 一元二次方程的一般式 9．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 10. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 11．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】，， 【难度】0.85 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12. （25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 题型04 判断是否是一元二次方程的解 13．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【难度】0.95 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 14．（25-26九年级上·山西运城·期末）下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过因式分解法求解一元二次方程，再从给定的数中匹配出方程的解，也可将选项代入方程验证是否成立． 【详解】解：∵ ∴对左边因式分解得 则或 解得或 根据题干所给的数中，观察选项可知，选项D符合， 故选：D． 15．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 16.（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一）． 题型05 由一元二次方程的解求参数 17. （25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【难度】0.66 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 18. 若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 19. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：把代入方程得： 解得. 20．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． B组 能力进阶 1. （2026·辽宁朝阳·二模）关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合方程有实数根的条件求解，再合并结果得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，即时， ∵原方程化为，是一元一次方程，有实数根， ∴符合题意； ②当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，， 解得：，且； 综上，的取值范围是． 2. （2026·河南周口·二模）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】一元二次方程有两个不等的实数根则，并且二次项系数不可以为0． 【详解】解：且， 即， 解得，且． 3. （25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 4. （2026·江苏南通·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 5. （2026·浙江杭州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 【答案】的长或的长 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否是一元二次方程的解 【分析】根据题意，，在中，利用勾股定理构造方程，整理得，对比题干的方程可知，是方程的正根，结合等量代换可知，也是方程的正根． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， ∴是方程的正根， ∵，， ∴，即， ∴也是方程的正根． 6. （25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算、由一元二次方程的解求参数 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解： 是关于的方程的一个根， ，则， ． 7. （26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 【答案】(1)且 (2)不存在，理由见解析 (3)实数的整数值为或或或 【难度】0.51 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的定义求参数 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于，联立两个条件求出的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再对已知等式进行移项变形，将两根之和与两根之积代入求解，最后结合（1）的范围判断该是否符合题意，从而确定是否存在； （3）先将代数式展开并代入两根之和与两根之积化简得到关于的分式，再根据结果为负整数的条件，分析得出分母为的正约数，进而求出对应的整数． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）解：不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 9. （25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ ． C组 思维拔高 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、化成一元二次方程的一般式、利用算术平方根的非负性解题、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】通过换元将已知等式整理为关于的一元二次方程，利用因式分解得到根的关系，再将所求代数式变形后代入化简计算． 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 2．（2026九年级下·重庆·专题练习）已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算、不等式的性质、化成一元二次方程的一般式 【分析】当时，；当时，，；当时，在中，则，即，且；在中，结合题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，，均为绝对值不超过2的整数， ∴，，可能的值为， ∵为自然数，为中所有项的指数和， ∴， 当时，即， ∴，， 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； ∴，故①错误； 当时，即， ∴，， ∵恒成立， ∴，且， ，，共3种情况； ，，共3种情况； ∴，即共有6种情况，故②错误； 当时，即， ∵， ∴， 当，且时， 则，即， ∴的值可以是或，共有2种情况； 的值可以是或，共有2种情况； 当，且，时， 三个数的值的组合方式有： 和 共有10种情况； ∴种情况，故③正确； 综上所述，正确的个数为1， 故选：B ． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【难度】0.4 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 4.先化简，再求值； (1)，其中是方程的根． (2)，其中，． 【答案】(1) 化简结果为，值为 (2) 化简结果为，值为 【难度】0.5 【知识点】分式化简求值、二次根式的乘法、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）利用方程的解的定义得到，整体代入化简式即可； （2）约分后得到最简式，再代入的值计算即可； 【详解】（1）解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 拓展 链接中考 1．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 2．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 3. （2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、求不等式组的解集 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 24.1一元二次方程 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01一元二次方程的定义 题型02由一元二次方程的定义求参数 题型03一元二次方程的一般式 题型04判断是否是一元二次方程的解 题型05由一元二次方程的解求参数 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01一元二次方程的定义 1.B 2.A 3.A 4.1 题型02由一元二次方程的定义求参数 5.B 6.c 7.3 8.-1 题型03一元二次方程的一般式 9.A 10.C 11.1,-3,-6 12.6x2-5x-6=0. 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04判断是否是一元二次方程的解 13.2 14.D 15.1 16.x-2x=0(答案不唯一). 题型05由一元二次方程的解求参数 17.2027. 18.2026. 19.3. 20.12. B组 能力进阶 1.B 2.C 3.C 4k>5且k≠2. 3 5解：DB=卫 ∴.DE=DC=BC+DB=BC+P 在Rt△DBE中，DE=DB+BE, +q, 整理，得BC2+pBC=q, ∴.X=BC是方程x+px=q的正根， .DC=DF,DA=DB ∴.DC-DB=DF-DA,即BC=AF, .X=AF也是方程x2+px=q的正根. 6.-1 7.【详解】(1)解：根据新定义，方程-4x2+3x+1=0的倒方程是：x2+3x-4=0; (2)解：由题知，方程x2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+1=0, 将x=-1代入此方程得，c+2+1=0, 解得c=-3； (3)解：由题知，一元二次方程-6x+x+1=0的倒方程是x+x-6=0, ,m是此方程的一个实数根， .m2+m-6=0, .m3+m2-6m=0, 215 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.m3+m2-6m+2025=0+2025=2025 8.【详解】(1)解：，关于x的一元二次方程(a-6)x+2ax+a=0有两个实数根， , 解得：a≥0且a≠6， .a的取值范围为a≥0且a≠6： (2)解：不存在，理由如下： :X1,x2是一元二次方程(a-6)X+2ax+a=0的两个实数根， 2a .X1+X2=- -6,七水= a-61 .-X1+X1X2=1+X2, ∴.X1X2=1+X1+X2, a=1- 2a a-61a-6 解得：a=-3, 又，a≥0且a≠6， ∴.a=-3不符合题意，舍去， ,不存在实数a,使-X1+X1X2=1+X2成立： (3)解：(x+1x+1)=xx+x+x,+1=0。.2a+1=-6 a-6a-6 a-6 .(x1+1)(x2+1的值为负整数，且a为整数， .a-6=1或a-6=2或a-6=3或a-6=6, 解得：a=7或a=8或a=9或a=12, ∴.实数a的整数值为7或8或9或12 9.解：，m,n都是方程x2+2026x-2027=0的根， ∴.m2+2026m-2027=0,n2+2026n-2027=0, .m2+2026m=2027,n2+2026n=2027 :m2+2026m-2026n2+2026n+1 =2027-2026|2027+1 =2028. 315 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.B 2.B 3.-2026 4.【详解】(1)解： m-3÷m+2.5 3m2-6m m-2 m-3 ÷m+2(m-2)-5 3mm-2) m-2 =m-3 ÷m2-9 3mm-2m-2 m-3 m-2 3mm-2）（m-3)(m+3） 1 3m(m+3) 1 3(m2+3m) :m是方程x2+3x-1=0的根， ∴.m2+3m-1=0, ∴.m2+3m=1, 11 :原式=3×13 (2)解： a-ab a =-(d'-b2):a+2ab+b2.a+b a(a-b) a ab =-(a-b)(a+b).aa+b a(a-b) (a+b)2 ab 、1 ab' :a=V2+3,b=V2-3, :.ab=(2+V3)×V2-3)=2-3=-1, ∴原式1 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.-4. 2.6. 3.C. 5/5