2.9　函数的零点与方程的解 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数零点与方程的解，覆盖零点与方程解的关系、零点存在定理及二分法等高考核心考点，按“概念辨析-定理应用-方法突破”逻辑架构知识点。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破零点个数判断及参数问题等难点。 资料以数学抽象、逻辑推理和直观想象为核心素养导向，创新采用“师生共研+多维探究”模式，如在零点个数判定中结合分段函数图象与周期性，引导学生通过图象交点分析零点个数，培养解题思维。设置分层练习配合方法总结，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2．9　函数的零点与方程的解 课标要求 考情分析 1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2．理解函数零点存在定理，并能简单应用． 3．了解二分法求方程的近似解． ◎考点考法：高考命题常以基本初等函数及其图象为载体，考查函数零点是否存在、存在的区间及个数，利用零点的存在情况求参数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点． 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 2．函数f(x)＝ln x－的零点所在区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) 3．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个． 5．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________． 考点一　函数零点所在区间的判定　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 2．(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 (1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形． (2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数图象的情形． 考点二　函数零点个数的判定　重难考点　师生共研 (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)零点存在定理：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数． (3)利用图象交点个数：作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 1．函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数f(x)＝·cos x的零点个数为________． 考点三　函数零点的应用　多维探究　发散思维 角度1　根据零点的个数求参数 已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 角度2　根据函数的零点范围求参数 已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A． B．∪(0，＋∞) C．∪(0，＋∞) D． 利用函数零点求参数(范围)的方法 1．函数f(x)＝2x＋x－5的零点x0∈(a－1，a)，a∈N*，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则实数a的取值范围是________． A级　基础过关 1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则(　　) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 2．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A．(－4，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，4) 3．已知函数f(x)＝ln |x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 4．已知e是自然对数的底数，关于x的方程e|x-2|＝x有两个不同的解x1，x2(x1＜x2)，则(　　) A．x1＜1，x2＞3 B．x1＞1，x2＜3 C．x1＞1，x2＞3 D．x1＜1，x2＜3 5．(多选)设函数f(x)＝则以下结论正确的是(　　) A．f(x)为R上的增函数 B．f(x)有唯一零点x0，且1＜x0＜2 C．若f(m)＝5，则m＝33 D．f(x)的值域为R 6．已知a＞0，若函数f(x)＝有两个不同的零点，则a的取值范围为________． 7．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________． 8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，则实数m的取值范围为________． B级　能力提升 9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在[－3，3]上的零点个数至少为(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 10．已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是(　　) A．1 B．2 C． D． 11．已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 12．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为(　　) A．6 B．12 C．14 D．10 13．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴 C．函数f(x)在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－1)上单调递减 D．函数f(x)在[0，100]内有25个零点 14．已知函数f(x)＝那么f(f(4))＝________，若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a的个数是________． C级　拓广探索 15．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2＝________，(x3－3)·(x4－3)的取值范围是________． 16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32-x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．9　函数的零点与方程的解 课标要求 考情分析 1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2．理解函数零点存在定理，并能简单应用． 3．了解二分法求方程的近似解． ◎考点考法：高考命题常以基本初等函数及其图象为载体，考查函数零点是否存在、存在的区间及个数，利用零点的存在情况求参数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点． 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析　根据二分法的概念可知选项A不能用二分法求零点． 答案　A 2．函数f(x)＝ln x－的零点所在区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) 解析　因为函数f(x)＝ln x－的图象在定义域(0，＋∞)内是一条连续不断的曲线，且f(2)＝ln 2－1＜0，f(e)＝ln e－＝1－＞0，所以必存在x0∈(2，e)，使得f(x0)＝0.所以函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(2，e)，故选C. 答案　C 3．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 解析　由或 解得x＝－2或x＝e，故f(x)有两个零点． 答案　B 4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个． 解析　依题意，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个． 答案　3 5．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________． 解析　当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意．当a≠0时，若Δ＞0，f(0)·f(1)＜0，则a＞1.若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故实数a的取值范围为(1，＋∞). 答案　(1，＋∞) 考点一　函数零点所在区间的判定　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　方法一　函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1＜0，f(2)＝log32＞0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内． 方法二　函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B. 答案　B 2．(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析　f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－3＜0，f(2)＝e2－4＞0，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)＜0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内必存在零点． 答案　AD 3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 解析　对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象， 判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(2，3)，即n＝2. 答案　2 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 (1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形． (2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数图象的情形． 考点二　函数零点个数的判定　重难考点　师生共研 (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 [解析]　(1)当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)， 即函数f(x)是以2为周期的偶函数， 令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|， 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示． 由图象可知，两函数图象共有12个交点， 即函数g(x)共有12个零点． [答案]　(1)D　(2)C 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)零点存在定理：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数． (3)利用图象交点个数：作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 1．函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点，即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝的解， 即y＝|log2x|与y＝图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2. 答案　C 2．函数f(x)＝·cos x的零点个数为________． 解析　令36－x2≥0，解得－6≤x≤6， 所以f(x)的定义域为[－6，6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6； 由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－6，6]， 所以x的取值为－，－，，. 故f(x)共有6个零点． 答案　6 考点三　函数零点的应用　多维探究　发散思维 角度1　根据零点的个数求参数 已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________． [解析]　①当λ＝2时，f(x)＝由f(x)<0得或解得2≤x<4或1<x<2.所以不等式的解集为(1，4). ②函数y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图所示． 结合图象可知，当λ≤1时，函数f(x)有1个零点；当1<λ≤3时，函数f(x)有2个零点；当3<λ≤4时函数f(x)有3个零点；当λ>4时函数f(x)有2个零点．所以当f(x)有2个零点时，λ的取值范围是(1，3]∪(4，＋∞). [答案]　(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞) 角度2　根据函数的零点范围求参数 已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A． B．∪(0，＋∞) C．∪(0，＋∞) D． [解析]　由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上均单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此实数m的取值范围是.故选D. [答案]　D 利用函数零点求参数(范围)的方法 1．函数f(x)＝2x＋x－5的零点x0∈(a－1，a)，a∈N*，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　函数f(x)＝2x＋x－5是连续增函数，f(2)＝4＋－5＝－＜0，f(3)＝8＋－5＝＞0，所以函数f(x)＝2x＋x－5的零点在(2，3)内，所以a＝3.故选C. 答案　C 2．已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则实数a的取值范围是________． 解析　当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2； 当0<x<1时，f(x)＝ln (1－x)，f′(x)＝－<0，其在(0，1)上单调递减，且f′(0)＝－1. 作出f(x)的图象，如图，易知实数a的取值范围是[－1，2). 答案　 A级　基础过关 1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则(　　) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 解析　因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)＜0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解． 答案　D 2．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A．(－4，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，4) 解析　易知f(x)在R上单调递增且f(x)的图象是连续不断的曲线， f(－2)＝－<0，f(－1)＝－>0，所以x0∈(－2，－1). 答案　B 3．已知函数f(x)＝ln |x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 解析　原问题可以转化为求方程ln |x－2|＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln |x－2|和y＝4x－x2的图象均关于直线x＝2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐标之和为4. 答案　D 4．已知e是自然对数的底数，关于x的方程e|x-2|＝x有两个不同的解x1，x2(x1＜x2)，则(　　) A．x1＜1，x2＞3 B．x1＞1，x2＜3 C．x1＞1，x2＞3 D．x1＜1，x2＜3 解析　令f(x)＝e|x-2|－x，则函数f(x)的图象在R上连续．∵f(1)＝e－1＞0，f(2)＝1－2＝－1＜0，f(3)＝e－3＜0，f(4)＝e2－4＞0，∴f(1)f(2)＜0，f(3)f(4)＜0，∴函数f(x)在区间(1，2)，(3，4)上各有一个零点，即1＜x1＜2，3＜x2＜4，故选C. 答案　C 5．(多选)设函数f(x)＝则以下结论正确的是(　　) A．f(x)为R上的增函数 B．f(x)有唯一零点x0，且1＜x0＜2 C．若f(m)＝5，则m＝33 D．f(x)的值域为R 解析　作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知A错误；对于B，由图象可知，f(x)有唯一零点x0，f(x)在(－∞，2]上单调递增，且f(1)＜0，f(2)＞0，B正确；对于C，当x≤2时，2x－3≤1，故log2(m－1)＝5，解得m＝33，C正确；对于D，f(x)的值域为(0，＋∞)∪(－3，1]，即(－3，＋∞)，D错误．故选BC. 答案　BC 6．已知a＞0，若函数f(x)＝有两个不同的零点，则a的取值范围为________． 解析　令x＋a＝0，x＝－a＜a，则x＝－a是函数f(x)的一个零点；令ln x＋2＝0，解得x＝，要使得f(x)有两个不同的零点，则a∈. 答案　 7．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________． 解析　f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，∴b＜0，∴f(x)＝x3－x满足题意． 答案　x3－x(答案不唯一) 8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，则实数m的取值范围为________． 解析　∵2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根， ∴∴∴f(x)＝x2－5x＋6. ∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6， 依题意解得－＜m＜0， 故实数m的取值范围是. 答案　 B级　能力提升 9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在[－3，3]上的零点个数至少为(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(x＋1)＝f(x)得f(x)的周期为1，所以f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝0.又f＝f，f＝－f，因此f＝f＝0，则f＝f＝f＝f＝f＝f＝0，故f(x)在[－3，3]上至少有13个零点，故选D. 答案　D 10．已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　根据题意可得－t＝0，解得x1＝t2(t≥0)，2(x2＋1)－t＝0，解得x2＝t－1(t＜2)，则x1－x2＝t2－t＋1＝＋(0≤t＜2)，当t＝时，x1－x2取得最小值. 答案　D 11．已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 解析　因为f(x)＝2x＋x－5单调递增， 且f(1.6)＝21.6－3.4＝－＝－<0， f(2)＝4＋2－5＝1>0， 由函数零点存在定理可知，f(x)有唯一零点a，且1.6<a<2； 因为g(x)＝x2＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0， g(1.6)＝1.62－2.4＝2.56－2.4>0， 由函数零点存在定理可知，g(x)有唯一零点b，且1<b<1.6； 因为h(x)＝log2x＋x－3在(0，＋∞)上单调递增，且h(2)＝1＋2－3＝0， 则h(x)有唯一零点c＝2， 所以b<a<c.故选C. 答案　C 12．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为(　　) A．6 B．12 C．14 D．10 解析　因为f(－x)＋f(x)＝0，x∈R， 所以f(x)为奇函数． 又因为f(－x)＝f(x＋2)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称． 所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4. 又因为x∈[0，1]时， f′(x)＝3x2－2x＋1＝3＋>0， 所以f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝1. 由题意可得下图， 可得直线y＝(x－2)与y＝f(x)的交点的横坐标为方程4f(x)－x＋2＝0的根， 可得在(－2，2)与(2，6)上均有两个交点，且关于(2，0)对称，加上(2，0)点，共5个交点， 所以这5个交点的横坐标之和为2×2×2＋2＝10.故选D. 答案　D 13．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴 C．函数f(x)在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－1)上单调递减 D．函数f(x)在[0，100]内有25个零点 解析　令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.由于函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是以4为周期的函数，故A正确；因为f(－4＋x)＝f(4－x)＝f(4－8－x)＝f(－4－x)，所以直线x＝－4是函数图象的一条对称轴，故B正确；结合函数在区间[0，2]上是增函数，画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知，函数在[－6，－4)上单调递减，故C错误；根据图象可知，f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(98)＝0，故共有25个零点．故D正确． 答案　ABD 14．已知函数f(x)＝那么f(f(4))＝________，若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a的个数是________． 解析　由f(4)＝－2，得f(f(4))＝f(－2)＝1. 设f(a)＝t，由f(a)＝f(f(a))，得t＝f(t)， 即图象与y＝x有交点，可得t＝1或t＝－1， 由图象可知， 当t＝1时，即f(a)＝1，可得a＝1或a＝－2， 当t＝－1时，即f(a)＝－1，可得a＝3或a＝0或a＝－1. 综上，存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，且a的个数是5. 答案　1　5 C级　拓广探索 15．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2＝________，(x3－3)·(x4－3)的取值范围是________． 解析　作出函数f(x)＝的图象，如图所示， 因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1＜x2＜x3＜x4. 所以由图可知，－log3x1＝log3x2， ＝9，且3＜x3＜6，即x1x2＝1， 所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝－x＋18x3－45， 因为y＝－x＋18x3－45在(3，6)上单调递增，所以0＜y＜27， 即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27). 答案　1　(0，27) 16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32-x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________． 解析　由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减， 所以函数f(x)只有一个零点2， 由f(x)与g(x)互为“1度零点函数”， 得|2－β|<1. 由|2－β|<1，得1<β<3， 所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1，3)上存在零点． 由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝. 令h(x)＝，则h′(x)＝＝， 所以h(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减， 且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>， 要使函数g(x)在区间(1，3)上存在零点，只需a∈. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $