函数零点问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

答案第5页，共5页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 初等函数(3)：函数零点问题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C D B A C D BD 题号 11 答案 BCD 1．B 【难度】0.85 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】因为函数和在上都是单调递减， 所以在上单调递减， 又，，，，， 故， 所以函数的零点所在区间是. 故选：B. 2．C 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】设，设，根据已知作出函数的图象，结合零点存在定理以及函数的增长速度的快慢，即可得出答案. 【详解】    设， 设，则. 又，所以1是函数的一个零点； 因为，， 所以，. 又，， 所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得， 即是函数的一个零点； 因为，， 所以，. 又，， 所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得， 即是函数的一个零点. 结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点. 综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点. 故选：C. 3．A 【难度】0.85 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】根据题意可设，作出函数的大致图象，结合它们的零点，数形结合，可判断出答案. 【详解】由题意：的零点，则， 令，则， 而，则其图象可由图象向下平移2个单位得到， 故可作出函数的大致图象如图：    由此可知应介于两数之间，结合选项可知可能的结果为， 故B，C，D错误，A正确， 故选：A 4．C 【难度】0.65 【知识点】对数函数图象的应用、指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】由题设易知是周期为2函数，结合函数解析式画出、的函数图象，判断它们在的交点个数即可. 【详解】因为， 所以是周期为2函数， 因为时，则、的图象如下： 时且递增，时且递减，时且递增， 又，，，      由图知：区间上函数交点共有12个． 故选：C． 5．D 【难度】0.85 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围. 【详解】时，，函数在上单调递减，， 令可得，作出函数与函数的图象如图所示：    由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是． 故选：D． 6．B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、求零点的和 【分析】先分析出函数图像关于点对称，再研究出图像关于对称，即可得出结果. 【详解】因为为奇函数， 所以， 所以的图像关于点对称， 由函数 ， 对于函数， 有 ， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称， 所以图像关于对称， 所以，，， 所以. 故选：B 7．A 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】由解得或2，再画出，，的图象数交点个数即可. 【详解】因为，解之得或2， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，，的图象如图： 由图可知使得或的点有4个. 故选：A. 8．C 【难度】0.4 【知识点】对数函数图象的应用、指数函数图像应用、比较零点的大小关系 【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到，，的大小关系. 【详解】在同一平面直角坐标系内作出 的图像 过点；过点； 过点；过点， 则与图像交点横坐标依次增大， 又与图像 交点横坐标分别为，则. 故选：C 9．D 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、求零点的和 【分析】由解析式可知为奇函数，进而可得的对称中心，根据满足的关系式，可得函数的对称中心，由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得个零点的和. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 所以 ，所以函数为奇函数，关于原点中心对称， 而函数是函数向右平移两个单位得到的函数， 因而关于中心对称， 函数满足，所以， 即，所以函数关于中心对称，且， 且， 所以由函数零点定义可知， 即， 由于函数和函数都关于中心对称， 所以两个函数的交点也关于中心对称， 又因为恰有个零点， 即函数和函数的交点恰有个， 且其中一个为，其余的个交点关于对称分布， 所以个零点的和满足， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系. 10．BD 【难度】0.65 【知识点】求零点的和 【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解. 【详解】作出函数在时的图象，如图所示， 设， 则关于的方程的方程等价于 解得：或， 如图， 当时，即对应一个交点为， 方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： （1），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为8； （2），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为， 综上，4个实数根之和为或. 故选：BD. 11．BCD 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】由题可得求的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，分别作出函数，的图象，利用数型结合及零点的嵌套可逐项求解判断. 【详解】A：的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，函数，的图象如图， 当时，无解；当时，的解为，则有两个解，故A错误； B：当时，设方程的解为，，易得，， 则，均有两个根，所以有个解，即有个解，故B正确. C：当时，易得方程的解为，，，则，，，均有个解，所以有个解，即有个解，故C正确. D：当时，设方程的解为，，，易得，，， 则，均有个解，最多有个解，所以最多有个解， 当有个解时，则，即， 所以当的解最多时，的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 12．和 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】分和两种情况讨论，通过解方程或结合函数单调性处理零点问题. 【详解】当时，令，解得； 当时，则在上单调递增，且， 故在内有且仅有一个零点2； 综上所述：函数的零点为和. 故答案为：和. 13． 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、画出具体函数图象、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】第一空，将方程根的个数转化为函数图像交点问题，画出图像即可得到答案； 第二空，通过计算得到，从而研究的范围即可得到答案. 【详解】画出函数的图像如下：    因为方程有三个不相等的实数根，且， 所以图像与直线有三个不同的交点， 所以实数的取值范围为. 令，得，所以. 由图可知，，所以， 由，得， 即，所以 所以 故答案为： 【点睛】此类方程的根的个数问题，要善于转化为图像交点问题，通过研究函数图像从而快速求解得到答案. 14．(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. 【详解】（1）由题意可知，，解得，. 所以.易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形. （2）不等式可化为，即， 解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为. （3）由（1）可知，， 由题意可知，，得，即， 令，又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 15．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【详解】（1）因为①， 则②， 故联立上述方程，解得； （2）由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以， 所以的取值范围是； （3）方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个， 所以，（）有两个不同的正根、， 记， 所以，解得， 所以． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 答案第10页，共11页 第 2 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初等函数(3)：函数零点问题 一、单选题 1．函数在的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 4．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 5．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数与函数图象有个交点，其横坐标从左到右依次为，，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 8．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ） A．4 B． C． D．8 11．已知函数 ，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有1个零点 B．当时，有4个零点 C．可能有6个零点 D．当的零点个数最多时，的取值范围为 三、填空题 12．已知函数，则函数的零点为 . 13．设常数，函数.若方程有三个不相等的实数根，且，则的取值范围为 ，的取值范围为 . 四、解答题 14．已知函数的图象经过点，. (1)证明：函数的图象是轴对称图形； (2)求关于的不等式的解集； (3)若函数有且只有一个零点，求实数的值. 15．已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； (3)若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 答案第10页，共11页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $