专题03 二次函数的实际应用问题（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，按7类常考题型系统分类，通过情境化问题强化建模能力与最值求解，体现数学应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形问题|3题|几何图形面积最值|从矩形、三角形等图形抽象二次函数模型| |动态图形问题|3题|运动点形成图形面积|结合运动过程构建分段函数关系| |拱桥/投球/喷水问题|各3题|物理抛物线轨迹|用顶点式/一般式刻画高度与水平距离关系| |营销问题|3题|利润与销量关系|建立利润关于价格的二次函数求最值| |其它应用问题|3题|综合情境（车棚、飞行器等）|跨学科情境中的函数建模与拓展应用|

专题03 二次函数的实际应用问题 常考题型·精准突破 题型1 二次函数与图形问题 题型2 二次函数与动态图形问题 题型3 二次函数拱桥问题 题型4 二次函数投球问题 题型5 二次函数喷水问题 题型6 二次函数营销问题 题型7 二次函数其它应用问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型1 二次函数与图形问题 ◆题型1 二次函数与图形问题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）某校数学活动小组用20米长的围栏，在学校劳动基地围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，大家提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形，正五边形这四种方案，这四种方案你认为最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 2．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）在综合实践活动中，某小组想借助如图所示直角的墙角搭建一个矩形场地，已知，，现有的板材围成矩形． (1)若围成面积为，求的长； (2)矩形的面积可否为？若可以，求出的长，若不可以，请说明理由． 3．某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案，请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定，的长； (2)方案二：如图2，在Ⅰ区保留面积为 的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大总种植面积为多少？ ◆题型2 二次函数与动态图形问题 4．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 6．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图， 在中，，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点． (1)求证： (2)设，当为何值时，矩形的面积最大？ 并求其最大值． (3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒一个单位的速度沿射线匀速运动当点与点重合时停止运动 ，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式． ◆题型3 二次函数拱桥问题 7．如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 _____米． 8．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段检测）一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱的长； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车？请说说你的理由． 9．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ ◆题型4 二次函数投球问题 10．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是_______． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 12．（25-26九年级上·北京·阶段检测）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长），乒乓球到球台的竖直高度记为，乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是___________，表格中的值为___________； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后___________落到对面球台上． ◆题型5 二次函数喷水问题 13．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 14．（24-25九年级上·陕西安康·阶段检测）某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且，喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆，不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 15．如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ (3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ ◆题型6 二次函数营销问题 16．根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)求每天的销售量与销售单价的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 17．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题： (1)涨价后，每千克张掖红梨的利润为 元，每天可销售 千克（用含x的代数式表示）； (2)若每天要盈利320元，则该张掖红梨应涨价多少元？ (3)若需获得最大利润，应涨价多少元，最大利润是多少元？ 18．（25-26九年级上·湖南永州·期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)问：降价多少元时，每天销售吉祥物“滨滨”的利润为1800元？ (3)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式，并求出x能取何值时，利润最大，最大利润是多少元； ◆题型7 二次函数其它应用问题 19．（2025·山西太原·二模）【问题情境】 如图1，车棚是用来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰富，曲线柔美，给人美的视觉享受．如图2是其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立柱为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点P在顶棚抛物线形骨架的外端处，点D离地面的距离为3米，已知车棚顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离地面的距离为3.5米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 设车棚顶部骨架上某处离地面的距离为y，该处离车棚支架的水平距离为x，求y与x之间的函数关系式； 【实践探究】 若车棚深度为5米（即点P到的水平距离），求点P离地面的距离； 【拓展应用】 为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段组成，点F在线段上，．为不影响停车，将点A到地面的距离定为2米，求支架的最大长度． 20．（2025·河北邯郸·二模）【探究】 某校人工智能科技小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，最大高度为，在飞行到点时，智能科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． 求、、的值； 在整个飞行期间，飞行器的高度为时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离． 【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，使抛物线中的值保持不变，当飞行器的水平距离为时，飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，求的取值范围． 21．如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动． (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 22．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 23．如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 24．（25-26九年级上·天津和平·期中）正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 25．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ______，当时，x的值为 ______． 26．（24-25九年级上·云南文山·期中）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题： (1)_______，_______，_______，_______． (2)当t为何值时，． (3)设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式． 27．（2025·陕西渭南·一模）悬挂过山车是某游乐场经典项目之一、如图，为该过山车的一部分轨道，轨道和可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中米，米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知在轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线最低点E的坐标为，求点D的坐标； (3)现需要对轨道下坡段进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是4500元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？ 28．（2025·辽宁盘锦·二模）【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题． 数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下． 【初步探究】 (1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是 A． B． 【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为． (2)求段抛物线的函数解析式； (3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？ 【拓展应用】 信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）． 信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策． (4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值． 29．如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 30．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 31．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线，水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 32．综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，桌面竖直轮廓如图所示，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． (2)如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点． ①求的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离． (3)如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃，使得顶点，，，落在新轮廓上，若，直接写出的长． 33．（25-26八年级下·广西南宁·期末）无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 34．【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y与时间x大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 35．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 36．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 37．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点． (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的实际应用问题 常考题型·精准突破 题型1 二次函数与图形问题 题型2 二次函数与动态图形问题 题型3 二次函数拱桥问题 题型4 二次函数投球问题 题型5 二次函数喷水问题 题型6 二次函数营销问题 题型7 二次函数其它应用问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型1 二次函数与图形问题 ◆题型1 二次函数与图形问题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）某校数学活动小组用20米长的围栏，在学校劳动基地围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，大家提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形，正五边形这四种方案，这四种方案你认为最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键．方案1：设矩形的宽为米，表示出，求出最值；方案2：设等腰三角形的底边长为米，高为米，表示出求出最值；方案3：求出半径，计算面积；方案4： 求出正五边形的边长为米，正五边形可以分成5个全等的等腰三角形，作其中一个等腰的高，利用等腰三角形的性质和角的正切值求面积． 【详解】解：方案1：设矩形的宽为米，则长为米， ， 当时，有最大值， 即当矩形的宽为米，长为米时，菜园面积最大为平方米； 方案2：设等腰三角形的底边长为米，高为米， 是等腰三角形， 米，米， ， ， 解得， ， ， 令，则， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最大值，最大值为， 即当等腰三角形的底边长为米时，菜园面积最大为平方米； 方案3：设半圆的半径为米， 则，解得， 此时平方米， 即当半圆的半径为米时，菜园面积最大约为平方米； 方案4：设正五边形的边长为米， 则，解得，即正五边形的边长为米， 正五边形可以分成5个全等的等腰三角形，作其中一个等腰的高， 正五边形， ，， ，米， 在中，， ， 米， 平方米， 即当正五边形的边长为米时，菜园面积最大约为平方米； 综上可知，半圆形菜地面积最大，即方案3是最佳方案， 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）在综合实践活动中，某小组想借助如图所示直角的墙角搭建一个矩形场地，已知，，现有的板材围成矩形． (1)若围成面积为，求的长； (2)矩形的面积可否为？若可以，求出的长，若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)不可以，见解析 【分析】此题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，一元二次函数的应用． 设，则，依题意得，解方程即符合条件的值即可； 设，矩形的面积为，由题意得，，根据二次函数的性质求出最值，即可得出结论． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得，， 因式分解得，， ∴，， ∵，且， ∴舍去， ∴； 解：矩形的面积不能为，理由如下： 设，矩形的面积为， 由题意得，， ∴当时，S取最大值196， ∴矩形的面积不可以为． 3．某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案，请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定，的长； (2)方案二：如图2，在Ⅰ区保留面积为 的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大总种植面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一元一次方程的应用． 由围墙的长为，可得篱笆墙的宽为，设为，为，再由矩形面积公式求解； 设两块矩形总种植面积为y， 长为，那么，，由围成的两块矩形总种植面积最大，再建立二次函数求解即可． 【详解】解：∵围墙的长为， ∴篱笆墙的宽为， 设为，为，那么 ， 即， 解得：， ∴，． 解：设两块矩形总种植面积为，长为，那么，， 由题意得：， ∴ ∵，， ∴， ∴当时，． 题型2 二次函数与动态图形问题 ◆题型2 二次函数与动态图形问题 4．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，点在上，点在上，， 连接、，过点作，垂足为， ∵在等边中，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，， ∵，点，点相遇时运动时间为秒， ∴当时，点、在上，如图所示， ∴， ∴， 当时，图象为直线的一部分， 综上只有选项D的图象符合题意． 5．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； 根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； 根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； 将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】解：由题意，得， ∴； 解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，； ∴， 答：1秒后，的面积等于； 略 解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 6．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图， 在中，，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点． (1)求证： (2)设，当为何值时，矩形的面积最大？ 并求其最大值． (3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒一个单位的速度沿射线匀速运动当点与点重合时停止运动 ，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)当时，有最大值，最大值为 (3) 【分析】根据矩形的性质得出，再由可得出，进而可得出结论； 先用表示出的长，根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和的函数关系式，进而可得出结论； 先求出及的长，再分，＜及三种情况进行讨论即可． 【详解】证明： 四边形是矩形， ． ． 又 ， ， ； 解：由（1）得， ， ． ， ． ， 当时，有最大值，最大值为． 如图1，由（2）得，，， ∵， 是等腰直角三角形， ，， 分三种情况讨论： ① 如图．当时， 设、分别交于点、，则是等腰直角三角形， ． ∴； ②如图，当时， 则，． ∴ ③如图，当时， 设交于点，则． 综上所述：与的函数关系式为： ． 【点睛】此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 题型3 二次函数拱桥问题 ◆题型3 二次函数拱桥问题 7．如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 _____米． 【答案】/ 【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意得：，，， 设抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 当时，， ． 所以通过隧道车辆的高度限制应为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系． 8．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段检测）一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱的长； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车？请说说你的理由． 【答案】(1) (2) (3) 由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为米，三辆车并排宽共米， 因此只需考虑当时，的值与3的大小即可判定， 当时，， ∴不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． 设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． 令即可求出点的坐标，从而求出支柱的长度． 令求得的值，再与3比较大小即可求解． 【详解】解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， ∵相邻两支柱间的距离均为， ∴， ∴两点都在抛物线上， ∴， ∴， ； 解：当时，， ∴． ∴． 略 9．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低． 题型4 二次函数投球问题 ◆题型4 二次函数投球问题 10．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是_______． 【答案】 【分析】令，进行求解即可． 【详解】解：当时， 解得， 故此运动员将铅球推出的距离是． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】(1)； (2)小明此次练习能得满分． 理由：由知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【分析】根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； 根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【详解】解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 略． 12．（25-26九年级上·北京·阶段检测）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长），乒乓球到球台的竖直高度记为，乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是___________，表格中的值为___________； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后___________落到对面球台上． 【答案】(1)230；45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式、正确理解题意是解题的关键． 根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离，根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； 把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； 当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； 当和当时的函数值相同，对称轴为直线， 当时的函数值与当的函数值相同， ∴， 故答案为：230；45； 解：设， 把代入 中，得， 解得：， 则满足条件的函数表达式为； 解：当发球机的发球高度增加时， 则此时抛物线解析式为， 当时， 解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上， 故答案为：能． 题型5 二次函数喷水问题 ◆题型5 二次函数喷水问题 13．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 14．（24-25九年级上·陕西安康·阶段检测）某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且，喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆，不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 【答案】(1) (2)花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的应用，理解题意是关键． 根据题意可设抛物线解析式为，再将代入求解即可； 令，求出x的值即可． 【详解】解：由题意可知抛物线最高点坐标为， ∴设抛物线解析式为． ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 解：令，则， 解得：，， ∴花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中． 15．如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ (3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 【答案】(1) (2)米 (3)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键． 依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解； 依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解； 依据题意，可得，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【详解】解：由题意得：二次函数的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为： 二次函数经过原点， 解得： 该二次函数的解析式为：； 解： 当时， 答：护栏的最大高度为米． 解：点的坐标为，点的坐标为 设的解析式为 解得： 解得：， 当时， 答：河水降至离路面距离米时，水柱刚好落在水面上． 题型6 二次函数营销问题 ◆题型6 二次函数营销问题 16．根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)求每天的销售量与销售单价的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元 【分析】利用待定系数法求出y关于x的关系式． 根据“总利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数模型，再利用二次函数的性质并结合自变量的取值范围求解即可． 【详解】解：设每天的销售量y与销售单价x的函数关系式为， 把和代入得， 解得， ∴每天的销售量y与销售单价x的函数关系式为． 根据题意，得， ∵二次项系数， ∴当时，w有最大值，最大值为800元． 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 17．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题： (1)涨价后，每千克张掖红梨的利润为 元，每天可销售 千克（用含x的代数式表示）； (2)若每天要盈利320元，则该张掖红梨应涨价多少元？ (3)若需获得最大利润，应涨价多少元，最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)涨价2元或6元 (3)涨价4元，利润最大，最大利润为360元 【分析】根据售价减去进价即可求出利润，根据现在的销量减去涨价后减少的销量可求出涨价后的销量； 根据每天要盈利320元即可列出方程，解方程即可求出答案； 设最大利润为w，根据利润等于每千克的利润乘以数量列出函数关系式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】解：由题意可得，每千克张掖红梨的利润为元； ∵在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克， ∴每天可销售千克； 解：由题意可得，， 解得， 所以该张掖红梨应涨价2元或6元； 解：设最大利润为w， 则 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，利润最大，最大利润为360元． 18．（25-26九年级上·湖南永州·期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)问：降价多少元时，每天销售吉祥物“滨滨”的利润为1800元？ (3)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式，并求出x能取何值时，利润最大，最大利润是多少元； 【答案】(1) (2)降价元时，可获利元 (3)，时，利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； 根据总利润单件利润销售数量，列出方程，解方程，即可求解； 根据总利润单件利润销售数量得出函数关系式，进而根据二次函数的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：； 解：由题意可得： 解得：， 因此，降价10元时，可获利1800元． 解：由题意可得： ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，W随着x的增大而增大，当时，W随着x的增大而减少， 又为整数， ∴当时，元；当时，元。 ∵， ∴当时，最大，为元． 题型7 二次函数其它应用问题 ◆题型7 二次函数其它应用问题 19．（2025·山西太原·二模）【问题情境】 如图1，车棚是用来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰富，曲线柔美，给人美的视觉享受．如图2是其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立柱为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点P在顶棚抛物线形骨架的外端处，点D离地面的距离为3米，已知车棚顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离地面的距离为3.5米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 设车棚顶部骨架上某处离地面的距离为y，该处离车棚支架的水平距离为x，求y与x之间的函数关系式； 【实践探究】 若车棚深度为5米（即点P到的水平距离），求点P离地面的距离； 【拓展应用】 为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段组成，点F在线段上，．为不影响停车，将点A到地面的距离定为2米，求支架的最大长度． 【答案】 点P离地面的距离为2.375 m．支架的最大长度为1.125 m． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，配方法求最值等，解题的关键时正确理解题意，熟练掌握相关知识点以及配方法求最值． 根据题意得出抛物线的顶点坐标和点D的坐标，再用待定系数法求解析式； 利用（1）中函数解析式直接求解； 根据题意得出A，B两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，设，可得，利用配方法求的最大值； 【详解】由题知，，抛物线的顶点坐标为， ， 代入点可得，，解得， ． 当时，，即点P离地面的距离为． 由题知，， 当时，， ， 设直线的解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的解析式为， ， 设， 点F在线段上，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值1.125． 支架的最大长度为． 20．（2025·河北邯郸·二模）【探究】 某校人工智能科技小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，最大高度为，在飞行到点时，智能科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． 求、、的值； 在整个飞行期间，飞行器的高度为时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离． 【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，使抛物线中的值保持不变，当飞行器的水平距离为时，飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，求的取值范围． 【答案】；；【拓展】 【分析】探究： 对于抛物线，已知其顶点坐标，利用顶点式设抛物线方程，将原点坐标代入可求出的值，进而得到抛物线表达式确定值．再根据抛物线与直线的交点坐标，代入直线方程求出值． 分别将高度值代入抛物线方程和直线方程求出对应的横坐标，然后计算横坐标差值得到水平距离． 拓展：先根据抛物线表达式求出特定点坐标，再结合直线过的两个点列出方程组，求出的值，最后根据的范围确定的取值范围． 【详解】解：探究：（）设抛物线为 点在抛物线上， ， ， ． 时， ， 点在直线上， ， ． （），整理得：． 解得：，． ． 解得：， ． 答：这两个位置之间的距离为． 拓展： 当时，， 经过点， ， 时，． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式、抛物线表达式的确定、直线方程的应用、方程的求解以及函数与方程的综合运用．熟练掌握二次函数顶点式的运用来确定抛物线表达式，准确利用函数图象上点的坐标满足函数方程这一性质，通过代入点的坐标求解方程中的未知参数是解题的关键． 21．如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动． (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【答案】(1)该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间为，最快需要可以通过停车线． (2) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程是解题的关键． 先将限速单位化为，根据图3求得，代入求解即可；进而求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求得答案； 设该汽车匀速行驶过程中速度的为,根据题意根据的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【详解】解：∵限速为 由图3可知当时，，设，解得 s 由图2可知当时，，且，设 解得， ∵汽车从停车线出发加速到限速所需的时间s 则 以行驶的时间为 该汽车最快需要可以通过停车线 设该汽车匀速行驶过程中速度的为,即汽车加速到． 由可得汽车加速到所用的时间为， 则汽车从停车线出发加速到的路程为，匀速所用时间为， 根据题意可得当路口绿灯亮起时通过则， 整理得： 解得：，经检验,是原方程的解, 可得当路口绿灯熄灭时候通过， 解得：，经检验,是原方程的解, 综上所述，该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 答：该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 综合攻坚·知能拔高 22．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 23．如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线与抛物线的交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵为该抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 联立得， 解得， 结合函数图象知弹簧被压缩的长度的取值范围是． 24．（25-26九年级上·天津和平·期中）正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据时，点的位置即可判断①；当时，根据点的位置表示出的面积，即可判断②；分别令时和时的面积为，根据方程解的个数即可判断③． 【详解】解：①∵四边形是正方形，， ∴； 由题意知，当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴，故此序号正确； ②由题意知，时，点到达终点，此时点在上距离处，并停止运动； ∴两动点的运动时间为； 当时，点的位置如图所示： 此时，，， 过点作交于点，则有为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，的面积随值的增大而减小；故此序号错误； ③由②知，当时，令， 解得：； 当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴， 令， 化简得：， 解得：； 综上，有三个不同的值满足的面积为；故此序号错误； ∴正确的结论有一个． 故选：B． 25．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ______，当时，x的值为 ______． 【答案】 9 4或11 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：； 当时，，， ∴， 当时，， ∴； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或； 故答案为：9；4或11． 26．（24-25九年级上·云南文山·期中）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题： (1)_______，_______，_______，_______． (2)当t为何值时，． (3)设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的综合运用，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由勾股定理计算，结合题意即可得解； 先证，得到，得到，求解即可； 作于点D，交的延长线于点，易得，，得，结合三角形面积公式即可得到关于t之间的函数关系式 【详解】，， ， 由题得：，，，. 如图所示，∵， ∴ ∴， ∵，，. ∴， 即， 解得 如图所示，作于点D，交的延长线于点， ∵， 则四边形为矩形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴的面积为：， ∴ 27．（2025·陕西渭南·一模）悬挂过山车是某游乐场经典项目之一、如图，为该过山车的一部分轨道，轨道和可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中米，米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知在轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线最低点E的坐标为，求点D的坐标； (3)现需要对轨道下坡段进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是4500元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当米时，造价最低，最低造价为元 【分析】此题考查了二次函数的性质，求二次函数的最值，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键： 利用待定系数法求解即可； 先求得米得到点C的横坐标为，进而求得，根据二次函数的对称性求解点D坐标即可； 设，则，，则，，设总长度为l米，根据坐标与图形性质得到根据二次函数的性质求得l的最小值，进而可求解． 【详解】解：由题意，设抛物线的函数表达式为， 将代入，得 ∴， ∴抛物线的函数表达式为， 解：∵米，点E的坐标为 ∴， ∴点C的横坐标为， 将代入中，得， 则， ∵抛物线对称轴为直线，且轨道上的点D和C到地面的距离相等， ∴， ∴点D坐标为； 解：设，则，， 由题意，，， 设总长度为l米， 则 ， ∵，， ∴当时，l最短，最短值为23.56，此时，造价最低，最低造价为， 答：当米时，造价最低，最低造价为元 28．（2025·辽宁盘锦·二模）【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题． 数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下． 【初步探究】 (1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是 A． B． 【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为． (2)求段抛物线的函数解析式； (3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？ 【拓展应用】 信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）． 信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策． (4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值． 【答案】(1)B (2) (3)该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是 (4)， 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． 观察图象即可判断； 利用待定系数法即可求解； 利用二次函数的性质即可求解； 由题意得，当时，取得最大值，最大值为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出的解析式；联立抛物线与射线的解析式，用含的式子表示出，结合求出的值即可解答． 【详解】解：观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是． 故选：B． 解：由图象可得，，， 代入和到，得， 解得：， 段抛物线的函数解析式为． 解：由（2）得，， ， 当时，有最大值，最大值为150， 答：该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是． 解：由题意得，当时，取得最大值，最大值为， 抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 代入得，， 解得：， 函数的解析式为； 联立， 解得：或， ， 联立， 解得：或， ， ， ， 解得：； 综上所述，，． 29．如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． 用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． 先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】解：为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． 解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． 解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 30．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】；；的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 根据顶点式，代值列方程求解即可； 先求出，得到，再求出点，得，求得，根据对称性得； 运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设，把代入得 二次函数的解析式为，即； 直线与坐标轴交于两点， ∴令，得，令，则， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ； 直线是心形叶片的对称轴，且点是叶片上的一对对称点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 对于为，当时，为， 解得或， ， ， ， ； 把代入得 ， 右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，把代入解得， ， 设M点坐标为，则， ， ∴当时，的最大值为． 31．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线，水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； 利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； 先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； 解：令，则， 解得：，， ， 令，则， 解得：，， ， ， 抛物线顶点坐标为 由可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 32．综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，桌面竖直轮廓如图所示，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． (2)如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点． ①求的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离． (3)如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃，使得顶点，，，落在新轮廓上，若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】设上方抛物线的函数表达式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； ①先求得平移后的抛物线函数表达式为，令，求得的坐标，进而求得的长；②设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为，代入，求得解析式，进而求得平移的距离； 根据，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：顶点的坐标为． 设上方抛物线的函数表达式为． 由题意可知抛物线经过点， ， 解得， 上方抛物线的函数表达式为． 解：①将上方抛物线向下平移后， 所得抛物线的函数表达式为， 当时，即， 解得，，   ，， ． ②下方抛物线的函数表达式为． 设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为． 将点的坐标代入，得，解得， 新抛物线的函数表达式为， 下方抛物线向上平移的距离为． 解：由（2）知上方新抛物线的函数表达式为， 下方新抛物线的函数表达式为， ， 解得，， ． 33．（25-26八年级下·广西南宁·期末）无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 【答案】(1); (2) (3) 【分析】根据直线的表达式可知点的坐标，根据无人机的水平距离可知点的坐标； 将点的坐标代入即可求解； 根据平移的性质可知平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解范围． 【详解】解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米， 则得， 解得：， ∴ 无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点， 则水平距离为： 则点的横坐标为：， 则点； 解：∵抛物线经过点, 则将点代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 解：由题可知点, 由可知抛物线的顶点坐标为：, 则平移后得顶点坐标为， 点平移后的坐标为： 则新抛物线的表达式为：， ∴抛物线的轨迹在点的上方， 将点的坐标代入可得， 解得： 则的最大值为：． 34．【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y与时间x大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 【答案】(1)函数图象如图所示： 函数解析式为： (2)； (3)2辆 【分析】描点、连线即可作出函数图象；再确定函数关系为二次函数，即可由待定系数法求解解析式； 由于每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车，即可得到经过x分钟，已调度的共享单车数量为；再由求解函数解析式； 设需要同时安排辆调度车，则，即，由题意得，在范围内，即可，据此求解即可． 【详解】解：函数图象 由已知可得是的二次函数， ∴设解析式为： 代入点、、 则 解得 ∴函数解析式为； 解：由题意得，当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为， ∴， 即； 解：设需要同时安排辆调度车， 则， 即， 由题意得，在范围内，即可， 对于， 对称轴为直线， ∵ ∴， ∴， 即 ∴或 解可得，； 解，此时无解， 为了不浪费资源，故取最小值， ∴需要同时安排辆调度车． 35．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【答案】(1)24，，12 (2)①， 抛物线G与滑道不能再相交，理由： ∵，轴， ∴当时，， ∴抛物线G与滑道不能再相交； ②向上平移距离d的最大值为，最小值为4 【分析】由题意得到点A的坐标，代入即可求出k值，得到，将点P的纵坐标和分别代入求解即可； ①由抛物线G的最高点Q的坐标写出抛物线的顶点式，将代入求出a值，即可得到抛物线的解析式；求出抛物线上时对应的y值，判断此点在点M的上方还是下方，即可得出抛物线与是否相交； ②首先得到，然后得到点和在抛物线上，然后判断即可． 【详解】解：∵平台与x轴的距离为8，， ∴， 将代入得，， ∴； ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， 将代入得， 解得； 解：①； 抛物线G与滑道不能再相交，理由如下： ∵最高点Q的坐标为， 设抛物线G的解析式为， ∵点在抛物线G上， ∴． 解得， ∴抛物线G的解析式为； 抛物线G与滑道不能再相交，理由略； ②∵， ∴， 当时，， 若小球恰好能被点N接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； 若小球恰好能被点C接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； ∴向上平移距离d的最大值为，最小值为4． 36．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； 根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； 先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； 解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； 解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 37．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点． (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； 解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； 解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $