专题02 二次函数与方程不等式的综合（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 专项聚焦二次函数解析式求解与方程不等式综合应用，通过题型分类构建系统方法体系，体现知识逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |待定系数法|4题型（含直接代入、顶点式等典例）|分类掌握直接代入、一般式、顶点式、双根式求解析式|从基础代入到不同形式解析式的灵活选择| |二次函数与方程不等式|6题型（含交点、不等式解集等典例）|通过函数图象转化方程解与不等式解集|函数性质到方程不等式应用的递进|

专题02 二次函数与方程不等式的综合 常考题型·精准突破 考点一 待定系数法 题型1 直接代入求函数解析式 题型2 设一般式求函数解析式 题型3 设顶点式求函数解析式 题型4 双根式的应用 考点二 二次函数与方程不等式 题型1 求二次函数图象与坐标轴的交点 题型2 由二次函数图象与坐标轴交点求方程的解 题型3 由不等式求函数值的范围 题型4 由图象确定不等式的解集 题型5 由图象法确定方程的近似根 题型6 二次函数与一次函数的综合 综合攻坚·知能拔高 考点一 待定系数法 ◆题型1 直接代入求函数解析式 1．（2025·四川成都·二模）已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次根式解析式，熟练掌握二次根式的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、B、C，画出草图即可判断选项D． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，选项C正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小， 故选项B错误； 根据题意画出草图如图： 故图象过第一、二、四象限， 故选项D错误； 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数增减性是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线， 得， 解得， 该抛物线的解析式为． （2）解：由得，该抛物线的对称轴为， ， 当时，随的增大而减小， ∴x的取值范围为． 3．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期中）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及从顶点式直接读取顶点坐标和对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点代入解析式求出参数即可； （2）由顶点式直接得出顶点坐标和对称轴即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． ◆题型2 设一般式求函数解析式 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知拋物线的图象经过三点，则该拋物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式和抛物线的顶点坐标．利用待定系数法求出函数解析式并化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵拋物线的图象经过三点， ∴， 解得 ∴拋物线的解析式为， ∴拋物线的顶点坐标是． 故答案为： 5．抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，与轴交点纵坐标是，确定二次函数的解析式． 【答案】解析式为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法求解即可，解题的关键熟练掌握相关知识的应用． 【详解】由题意得抛物线过，，， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为：． 6．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）由直线求出其与坐标轴的交点坐标，再代入抛物线解析式，求出待定系数的值； （2）求得抛物线的顶点，进而求得直线与对称轴的交点，然后根据即可求得． 【详解】（1）解：在直线中， 当时，，解得； 当时，， ，． 将、代入， 得，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点为． 如图，设交对称轴于， 在直线中，当时，， ． ， ． ◆题型3 设顶点式求函数解析式 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知一条抛物线的形状与抛物线的开口和形状相同，且与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】由与已知抛物线顶点相同确定顶点坐标，由开口和形状相同确定二次项系数，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标，抛物线的开口形状相同的意义是二次项系数相同，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为 ， 由于与抛物线 的顶点坐标相同， 因此，， 又因为与抛物线 的开口和形状相同， 所以， 故抛物线的解析式为 ； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目给定的条件，直接利用顶点式可得函数解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线的顶点为，且过点，求该函数的关系式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设抛物线解析式为，再把点代入求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为． ◆题型4 双根式的应用 10．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：二次函数化为一般式得， ∴， ∵和是该二次函数图象上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴原式， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，， ∴． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数平移的性质，函数增减性式关键． （1）根据解析式得到对称轴直线为，再代入计算函数值即可求解； （2）由题意得平移后的解析式为，将代入，运用待定系数法即可得到解析式； （3）根据题意得到，结合题意得到，，所以原式，可得，结合二次函数顶点坐标即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：由题意得平移后的解析式为，将代入， ∴， ∴， ∴二次函数表达式为； （3）略 11．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 12．已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 考点二 二次函数与方程不等式 ◆题型1 求二次函数图象与坐标轴的交点 13．已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 【答案】 【分析】函数的对称轴为：，则另外一个交点在：，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∴方程另一个解． 14．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数与轴交于，两点，顶点为，若是等腰直角三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的解析式，化为顶点式，求出点的坐标，推出点到轴的距离；根据与轴的交点，求出，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即，求出，即可． 【详解】解：化为顶点式为：， ∴顶点的坐标为：， ∴点到轴的距离为； ∵二次函数与轴交于，两点， ∴，， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点横坐标，再计算两点距离即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴A、B两点的坐标为和， ∴A、B两点间的距离是， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·湖南常德·阶段检测）已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的顶点坐标． （1）令，则，计算求解可得、B点的坐标；令，则，可得C点的坐标； （2）由，可得顶点，利用三角形面积公式计算求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∴． ◆题型2 由二次函数图象与坐标轴交点求方程的解 17．（2025九年级上·北京海淀·专题练习）抛物线与轴有一个公共点，且交于负半轴，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，一元二次方程根的判别式等知识；抛物线与x轴有一个公共点则判别式为零，且交于负半轴则切点横坐标为负． 【详解】解：∵抛物线与x轴有一个公共点， ∴判别式， ∴，即． 又∵交于负半轴，即切点横坐标， ∴， ∴． 故选：A． 18．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，抛物线与一元二次方程．根据抛物线经过点，且其对称轴是直线，求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，故一元二次方程的根是，，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线， ∴， 即抛物线与轴的交点坐标为， ∴一元二次方程的根是，， 故答案为：，， 19．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①利用抛物线判定二次函数的参数取值； ②根据对称轴确定参数的关系； ③根据函数特殊值进行判断； ④根据对称点进行判断； ⑤根据图象和一元二次方程的关系，结合数形结合的思想进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴, ∴， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，， 即，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴点，关于直线对称， ∴，故④正确； ⑤由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线与直线有一个交点， ∴方程，有两个相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确选项为①②④⑤． ◆题型3 由不等式求函数值的范围 20．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据二次函数图象的顶点坐标，设出顶点式，再将代入求得解析式，然后结合求出的取值范围 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，有最小值， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，有最大值0， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 21．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)， (2) 描点画图，得： (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线,顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）列表： （3）时，， 时，， ∴当时，y的取值范围为． 22．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为．对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】（1）将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）因为，且抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，；当时，， 所以的取值范围是：． ◆题型4 由图象确定不等式的解集 23．（2025·湖南益阳·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性确定的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴点关于直线的对称点为， 当时，， ∴函数值y大于3的自变量x的取值可以是，不能是、0、2． 故选：B． 24．如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 25．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8， 根据图象可得，使成立的的取值范围是或． 故答案为：或． ◆题型5 由图象法确定方程的近似根 26．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是， 故选：A． 27．已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， ∴当对应的的值一定有， ∴一元二次方程的解的范围是． 故选：C． 28．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（   ） A．2~2.1之间 B．2.1~2.2之间 C．2.2~2.3之间 D．2.3~2.4之间 【答案】B 【分析】本题考查估算方程的解，掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．由表格可知，当时，，当时，，进而即可得出答案． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， 当时，存在一个x的值，使， 故答案为：B． ◆题型6 二次函数与一次函数的综合 29．如图，抛物线的对称轴是直线，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点的右侧，直线经过A、B两点.给出以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点在0与之间；④，⑤，其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；把 代入 ，求得 的值，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③; 根据图象即可判断④； 由 整理得到   即可判断⑤； 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵直线 经过点 ，点 在点 的右侧， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线 的对称轴是直线 ，且与 轴交点 在点 的右侧， ∴与 轴另一个交点在点 的左侧，故③错误； 由图象可知，当 时，， 故④正确； 故⑤正确； 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与 轴， 轴的交点以及对称轴推理对称 之间的关系是解题的关键 30．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2﹣a≥b﹣bx；④a＜﹣1．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（−1，0）右侧，则当x＝−1时，函数值小于0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，于是可对③进行判断；由于直线y＝−x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a＋3b＋c＜−3＋c，然后把b＝−2a代入解a的不等式，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（−1，0）右侧，且b＝−2a， ∴当x＝−1时，函数值小于0，即a−b＋c＜0，所以②正确； 2a＋b＋c＝2a−2a ＋c＝c，而抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，所以①正确； ∵x＝1时，二次函数有最大值， ∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c， ∴ax2﹣a≤b﹣bx，所以③错误； ∵直线y＝−x＋c与y＝ax2＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大， 即9a＋3b＋c＜−3＋c， 而b＝−2a， ∴9a−6a＜−3，解得a＜−1，所以④正确． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系． 31．）如图，已知抛物线的顶点在轴的正半轴上，直线与轴交于点，抛物线经过点的且与直线交于另一点． (1)①的坐标 　　，　　． ②求的值与点的坐标． (2)连结，若将该抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点在内部（不包括三角形的边界），求的取值范围． 【答案】(1)① ，9；② (2) 【分析】（1）①由直线与轴交于点，即可求得，代入即可求得，即可求得； ②根据题意得到，，解得，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）连接，待定系数法求得直线的解析式，即可求得抛物线对称轴与直线、的交点坐标，根据交点坐标，借助图象即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：①直线与轴交于点， ， 抛物线经过点， ， ； 故答案为：，9； ②抛物线的顶点在轴的正半轴上， ，， 解得， 抛物线为， 由解得或， ； （2）解：连接， 设的解析式为， ， ， 解得， 的解析式为， 抛物线， 顶点坐标是， 与抛物线对称轴的交点坐标，直线与抛物线对称轴的交点坐标是， 由图象可知，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 综合攻坚·知能拔高 32．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 33．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 34．在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得旋转后的抛物线的解析式，然后确定旋转后的抛物线的开口方向和对称轴，最后根据在旋转后的抛物线上，当时，随的增大而增大，可得到关于的不等式，从而求解得的取值范围． 【详解】∵由题意得旋转后的抛物线的解析式为：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵在抛物线上，当时，随的增大而增大， ∴可得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及函数图象的变换，确定旋转后的函数解析式是解题的关键． 35．二次函数为常数的图象如图所示，则方程有一正实数根和一负实数根的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数图象，观察直线与抛物线的交点情况，从而可判断方程的解的情况． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线与抛物线有两个交点，一个交点在轴的左边，一个交点在轴的右边， ∴方程有一正实数根和一负实数根 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是由二次函数的图象与的交点位置确定交点横坐标的范围． 36．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知二次函数（，为常数，且）中的与的部分对应值如下表： 以下结论：①对称轴为直线  ②函数最小值为4  ③时，  ④的解集是；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与性质、解不等式，利用给定点求出二次函数解析式，再逐一判断各结论． 【详解】解：由表，取点得，取点和， 得： 解得： ． ①对称轴，正确； ②，则函数有最大值，错误； ③时，，正确； ④不等式，解得，正确； ∴正确结论有个． 故选：C． 37．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④，正确的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵二次函数的图像与轴有个不同的交点， ∴，故结论③错误； 由图像知：当时，， 即，故结论④错误； 综上所述，正确的是①②． 38．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解． 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 39．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 【答案】C 【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、最值及直线与图象交点个数即可判断 【详解】解：， 函数图象关于直线对称，翻折后的顶点坐标为， 令，则，解得 ，， 图象与轴交点为和，故B错误； 由图象可知，当或时，图象呈下降趋势，即随的增大而减小，故C正确； 当时，，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误； 若直线与函数图象至少有个公共点，观察图象可知，故D错误； 故选：C． 40．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 41．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则________． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 42．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，b的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与只有一个交点时b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把二次函数沿x轴翻折所得图象的解析式为， 如图， 当直线与只有一个交点时，直线与图形有三个交点，此时方程有两个相等的实数解， 方程整理得， ∴， 解得（舍去）； 当时，直线与图形恰有两个公共点，不符合题意； 当直线过时，，解得， 当直线过时，，解得， ∴当时，直线与图形有且只有两个公共点． 综上可知，当直线与图形恰有两个公共点时，的取值范围是． 故答案为：． 43．如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据所给图象可以得出， ，再结合对称轴，即可判断；根据二次函数与正比例函数的交点坐标即可判断；由方程根与系数的关系即可判断；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故、正确； ∵二次函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的两根为，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∵ ∴，故正确； ∴正确的是， 故答案为：． 44．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)当时，的取值范围是 ； (3)方程的两根是 ； (4)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）当时，有最大值，当时，，从而求出范围； （）根据图象即可求解； （）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）解：当时，有最大值，当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象可知，方程的两根是，， 故答案为：，； （4）解：根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 45．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)； (3)的取值范围为． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，然后利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求出的取值范围； （）由二次函数的解析式为，当时，时，有最小值，然后分别求出当时和当时，的值，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知，当时，； （3）解：由二次函数的解析式为， 当时，时，有最小值， 当时，，当时，， ∴的取值范围为． 46．如图，已知点，，线段与x轴相交于点B，过点P作轴，垂足为C，经过点B、C、Q的抛物线交x轴于另一点A，连接，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)求证：； (3)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：设直线的解析式为， 代入、得： 解得，故直线：． 令直线中，得，即与y轴交点． 由勾股定理计算线段长度：，， 又． ∵，， ∴，故为直角三角形，且． ∴． (3)存在， 【分析】本题考查了一次函数与抛物线解析式的待定系数法求法、勾股定理及逆定理、初中三角形面积公式（底高）、特殊角三角函数（）及一元二次方程求解，解题的关键是通过构造直角三角形（含特殊角）表示三角形的高，将角相等转化为线段比例关系，结合函数解析式联立求解． （1）设直线解析式，代入P、Q坐标求解析式得B点；由轴得C点；设抛物线一般式，代入B、C、Q三点解方程组得解析式； （2）设直线解析式求参数，找与y轴交点F，用勾股定理逆定理证 为直角三角形，得； （3）令抛物线求A点，构造含的直角三角形得；以为底，过M作高，利用与坐标轴的夹角构造等腰直角三角形求高，用底高公式表示面积，结合建立关系，联立抛物线求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 代入、得： 两式相减得，解得，代入得， 故直线：． 令，则，解得， ∴． ∵轴，， ∴（垂直y轴时横坐标为0，纵坐标与P相同）． 设抛物线解析式为，代入、、得： 代入得， 两式相加得，解得，代入得． ∴抛物线解析式为． （2）略 （3）解：令抛物线，因式分解得，解得（即B点）或，故． 设（，，第四象限）． 在中（为坐标原点，），（到的水平距离），（到的垂直距离），． 过作轴于，交直线于． 由（2）知直线，且、，故是等腰直角三角形，与x轴夹角为． 过作于，则是等腰直角三角形，（）． 的横坐标为，代入解析式得，故（在上方），则． 的面积，代入（由勾股定理得），得． 因，在中，，即． 由勾股定理，，且（到的水平距离为，垂直距离为），故． 将代入化简得， 再将代入，整理得， 因式分解得， 解得（舍去，不在第四象限）． 将代入，得，即． ∴存在符合条件的点M，坐标为． 47．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”． 如：一次函数，关联函数为，这个关联函数的转折点是． (1)已知一次函数，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点． (2)已知二次函数，点在它的“关联函数”的图象上，求a的值． (3)若二次函数的关联函数与直线恰有两个公共点，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)关联函数为，关联函数的转折点为 (2)或1 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解； （1）令，求出直线与轴的交点坐标，根据“关联函数”的定义求解． （2）令，求出抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将分别代入其关联函数解析式中求解． （3）作直线关于轴的对称的直线，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解． 【详解】（1）解：令， 解得， 其关联函数为，关联函数的转折点为． （2）解：令， 解得，， 抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线开口向上， 关联函数， 将代入得， 解得，， 将代入得， 解得， 或1． （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， 如图，作直线关于轴的对称的直线． 当时，，抛物线顶点在直线上， 当时，，抛物线顶点在直线上， ∴满足题意． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与方程不等式的综合 常考题型·精准突破 考点一 待定系数法 题型1 直接代入求函数解析式 题型2 设一般式求函数解析式 题型3 设顶点式求函数解析式 题型4 双根式的应用 考点二 二次函数与方程不等式 题型1 求二次函数图象与坐标轴的交点 题型2 由二次函数图象与坐标轴交点求方程的解 题型3 由不等式求函数值的范围 题型4 由图象确定不等式的解集 题型5 由图象法确定方程的近似根 题型6 二次函数与一次函数的综合 综合攻坚·知能拔高 考点一 待定系数法 ◆题型1 直接代入求函数解析式 1．（2025·四川成都·二模）已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 3．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期中）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴． ◆题型2 设一般式求函数解析式 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知拋物线的图象经过三点，则该拋物线的顶点坐标是______． 5．抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，与轴交点纵坐标是，确定二次函数的解析式． 6．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积． ◆题型3 设顶点式求函数解析式 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知一条抛物线的形状与抛物线的开口和形状相同，且与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为________． 8．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式______． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线的顶点为，且过点，求该函数的关系式． ◆题型4 双根式的应用 10．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 11．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 12．已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 考点二 二次函数与方程不等式 ◆题型1 求二次函数图象与坐标轴的交点 13．已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 14．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数与轴交于，两点，顶点为，若是等腰直角三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是______． 16．（24-25九年级下·湖南常德·阶段检测）已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． ◆题型2 由二次函数图象与坐标轴交点求方程的解 17．（2025九年级上·北京海淀·专题练习）抛物线与轴有一个公共点，且交于负半轴，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 18．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是___________． 19．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ ◆题型3 由不等式求函数值的范围 20．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是___________ 21．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当时，直接写出y的取值范围． 22．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围． ◆题型4 由图象确定不等式的解集 23．（2025·湖南益阳·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 24．如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 25．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． ◆题型5 由图象法确定方程的近似根 26．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（   ） A．2~2.1之间 B．2.1~2.2之间 C．2.2~2.3之间 D．2.3~2.4之间 ◆题型6 二次函数与一次函数的综合 29．如图，抛物线的对称轴是直线，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点的右侧，直线经过A、B两点.给出以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点在0与之间；④，⑤，其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2﹣a≥b﹣bx；④a＜﹣1．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 31．）如图，已知抛物线的顶点在轴的正半轴上，直线与轴交于点，抛物线经过点的且与直线交于另一点． (1)①的坐标 　　，　　． ②求的值与点的坐标． (2)连结，若将该抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点在内部（不包括三角形的边界），求的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 32．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．二次函数为常数的图象如图所示，则方程有一正实数根和一负实数根的条件是（    ）    A． B． C． D． 36．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知二次函数（，为常数，且）中的与的部分对应值如下表： 以下结论：①对称轴为直线  ②函数最小值为4  ③时，  ④的解集是；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 37．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④，正确的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 38．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 39．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 40．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 41．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则________． 42．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，b的取值范围是_______． 43．如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是______． 44．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)当时，的取值范围是 ； (3)方程的两根是 ； (4)当时，的取值范围是 ． 45．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 46．如图，已知点，，线段与x轴相交于点B，过点P作轴，垂足为C，经过点B、C、Q的抛物线交x轴于另一点A，连接，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)求证：； (3)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”． 如：一次函数，关联函数为，这个关联函数的转折点是． (1)已知一次函数，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点． (2)已知二次函数，点在它的“关联函数”的图象上，求a的值． (3)若二次函数的关联函数与直线恰有两个公共点，请直接写出a的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $