专题02 相似三角形中平行模型、一线三等角模型、手拉手模型的三类综合题型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形三大核心模型，通过分类题型构建从基础到综合的训练体系，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行模型|6题（含直角梯形综合题）|含平行线构造、比例计算、矩形正方形应用|基于平行线分线段成比例定理，从基础计算到复杂图形证明| |一线三等角模型|6题（含一线三垂直拓展）|直角/等角顶点共线，涉及矩形、坐标系应用|从特殊直角到一般等角，结合全等与相似判定，体现模型迁移| |手拉手模型|6题（含旋转综合题）|共顶点等腰图形旋转，涉及动态问题与面积计算|基于旋转不变性，构建相似三角形，发展空间观念与推理能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形中平行模型、一线三等角模型、手拉手模型的三 类综合题型 题型归纳 题型一平行模型 题型二一线三等角模型 题型三手拉手模型 题型专练 题型一：平行模型 AD 1.(2026云南临沧二模)如图，在AABC中，DE∥BC,若s。c=9Se,则AB的值（) D c D.4 2.(25-26九年级上四川广元阶段检测)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC, DE 若D=2'AB=6:则BC 3.(26-27九年级上海暑假作业)如图，己知：点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC,求 证：△ABC∽△ADE. 117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4.(25-26九年级上广东佛山期末)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上， DEII AC,EF AB D B E (I)求证：△BDE∽△EFC AF 1 (2②若FC2,BC=6,求BE的长。 5.(25-26九年级上·贵州毕节阶段检测)如图，在锐角三角形ABC中，边BC=6,高AD=4,矩形 EFGH的顶点E,H分别在AB,AC上，F,G在BC上，AD与EH交于点N. DGC (I)试说明：△AEH∽△ABC; (2)若矩形EFGH是正方形，求EH的长： 6.(25-26九年级上上海浦东新阶段检测)如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC,AB⊥AD,AB=4, tan∠ADB=2,点E为边CD上一点，且∠EBC=∠ABD,延长BE、AD交于点F. D B (I)求AF的长： (2)设BC=x,△BDE的面积为'，求'与x的函数关系式并写出定义域； (3)联结AECF,延长AE交CF于点G,若△EFG是直角三角形，直接写出BC的长， 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：一线三等角模型 7.(25-26九年级上安徽合肥期末)如图在△ABC中，AB=AC=10,BC=9,点D是边BC上一点， BD=4,点E在边AC上.若∠ADE=∠C,则CE的长为() B 0 A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 8.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的任一点，连接BE,过点E 作BE的垂线交BC的延长线于点F,交CD于点P,则图中共有对相似三角形. 9.(25-26九年级上贵州铜仁期中)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，点E为AB的中点， DE⊥CE ■ A E (I)求证：△AEDABCE: (2)求证：AE2=AD·BC 10.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算 经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型” 如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得线段BD,作DE⊥AB交AB的延长 线于点E. 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 朱实 b、朱实 黄买 D 朱实 A B A B 图1 图2 图3 (I)如图2：通过观察，线段AB与DE的数量关系是_： (2)如图3：连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=1,AC=3,求△BDF的面积. 11.(25-26八年级上广东东莞期中)妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识 之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通.于是撰写了一 篇数学作文.请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它 们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”·若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在 全等三角形.例如：如图1，∠ACB=90°，过点C作任意一条直线m,AD1m于点D,BE⊥m于点E, 则三个直角的顶点都在同一条直线上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果AC=BC,那么由 ∠1+∠2=∠2+∠B=90°，可得∠1=LB,又：∠ADC=∠CEB=90°，.△ADC≌△CEB 【模型探索】问题1：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为BC上一点，连接AD.过 点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F,若BE=7,CF=2.求：线段EF的 长，写出详细解答过程， 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，A(-3,0),B(0,6),若△ABP是等腰直角三角形，请 直接写出所有满足条件的点P的坐标. 【模型迁移】问题3：如图4，△ABC为等边三角形，点D,E,F在三边上，BD=CF,∠EDF=∠B.求 证：△DEF是等边三角形， B 12 D C 图1 图2 图3 图4 12.(25-26九年级下·吉林四平·阶段检测)【问题情景】 (1)如图①，小红把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别落在 AD、CD、AB上，则线段DE与AG的数量关系为 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式探究】 (2)如图②，小红把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、 BC、AB边上，若GA=6,AE=8,求BG的长； 【拓展应用】 (3)如图③，小红把△EFG放到平行四边形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上， AE6 ABi:∠FEG=∠BAD:以F为顶点作∠CFM=∠C,交CD于点p,交AD的延长线于点M:直接写 EG 出EF的值. B B G D A D 图① 图② 图③ 题型三：手拉手模型 13.(22-23九年级上福建宁德阶段检测)如图，点D是等腰Rt△ABC斜边BC上的一个动点，以AD为 边作等腰Rt△ADE,斜边AE交BC于F,则图中相似三角形共有()对. A.2 B.3 C.4 D.5 14.(23-24九年级下江西九江期中)如图，AB=3,C为线段AB上一点，AC=1,分别以AC,BC 为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F, 使EF=AD,连接BF,DE (I)AD与CE的关系是_· 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：△DCE≌△FEB」 15.(25-26九年级下·全国课后作业)如图，己知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A,且 AB=AC,AD=AE,∠EAC=∠DAB,点E恰好落在边BC上（与B、C不重合），连接BD. (1)求证：BD=CE: (②)若AB与DE相交于点F,求证：△CAE∽aBEF 16.(2026湖北黄石三模)如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,连接 BD,EC 图1 图2 图3 ()如图1，求证：△ABD-ACE: (2)如图2，若EC与BD相交于点F,求证：点F是BD的中点： AB 5 3)如图3，当DE∥AB'BC3时，探究EF与CF的数量关系并说明理由。 17.(2026安徽二模)如图，在等腰△ABC中∠ABC=∠ACB,△ABC≌△ADE,连接AF、BD、CE 4 D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠BFD=∠BAD: (2)如图2，若∠ACB=∠BAD,求证：四边形ABFE是菱形； 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB 3 (3)如图3，若BDF2,且CE‖AB,求tan∠ACB的值. 18.(25-26八年级下山东泰安·期末)解答下列问题： (1)【探究解题】 如图1，等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使 ∠DAE=90°，AD=AE,连接CE.判断∠ABC和∠ACE数量关系并说明理由： 图1 (2)【拓展延伸】 如图2，在等腰△ABC中，AB=BC,点D是BC边上任意一点（不与点B,C重合），在AD的右侧作等 腰△ADE,使AD=DE,∠ADE=∠ABC,连接CE,则(I)中的结论是否仍然成立，并证明： D 图2 备用图 (3)【归纳应用】 在(2)的条件下，若AB=BC=10,AC=6,点D是直线BC上任意一点，当CD=4时，求CE的长. 717面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形中平行模型、一线三等角模型、手拉手模型的三 类综合题型 题型归纳 题型一平行模型 题型二一线三等角模型 题型三手拉手模型 题型专练 题型一：平行模型 1.B 【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE一△ABC,再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平 方”，即可求解 【详解】解：DE∥BC, .△ADE-△ABC, SAABC=9S△ADE, SAADE= AD 1 .SAABC 9,即 AB 9 AD 1 .AB3: 1 2.3 【分析】首先根据DE/BC,结合相似三角形的判定定理得出△ADE∽aABC;再根据相似三角形对应边成 DE 比例的性质，代入已知的线段长度计算BC的值. 【详解】解：，DEI/BC, .△ADE△ABC, DE AD BC AB' 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=2,AB=6. DE 2 1 BC-6-3 3.证明：：DE∥BC, ∴.∠B=∠ADE,∠C=∠AED .△ABCAADE 【详解】略 4.(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线 所截线段成比例是解题的关键： (1)由题意易得∠C=∠DB,∠B=∠CEF,然后根据相似三角形的判定定理可进行求证： BE AF 1 (2)由题意易得ECFC2,则有BE=)BC,然后问题可求解. 31 【详解】(I)证明：：DE‖AC,EF‖AB, .∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, .△BDE∽△EFC: AF 1 (2)解：FC2,EF‖AB, BE AF 1 ECFC2' e-时c, ..BC=6. BE=3x6=2。 5.(1)见解析 2 (②EH的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结 合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解. (1)根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明 △AEH∽△ABC: 2/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比 等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即EH的长， 【详解】(1)解：，四边形EFGH是矩形， ..EH BC, ∴.△AEH∽△ABC: (2)解：设正方形EFGH的边长为x,则EH=EF=x,AN=AD-EF=4-x. .△AEH∽△ABC, AN EH4-xx .DBC，即46，解得rs3 5 2 ·EH的长为5 6.(1)8 ②=I2 +x(x>0): (3③)BC的长为2或10或6或2. 【分析】(1)由已知容易AD=4B tan∠ADB 2,再证明∠F=∠BEC=∠ABD:可得。ABD264FB:利用 AB AF 相似三角形的性质得出AD=AB,由此即可求出AF=8: DE 6 (2)先证出△DEF∽△CEB,根据相似三角形的性质可得CEx,再根据三角形的面积公式得出 y=6 2x6+x,然后根据BC>AD求出x的取值范围，由此即可得： (3)若。ERG是直角三角形，有三种情况，①当∠GF=9心时，先利用解直角三角形求出BE-)4, EF DF EF EF=2AE 继而可得G4,再证明EDEARCE可得RCBG由此即可求出BC②当 AF BF ∠EFG=90时，利用AABF∽AFCB得出BF=BC,由此即可求出BC,③当∠EGF=90时，延长AG BC交于点M设zC-元，可得BC=6t·CM=2:BM=8财，由此求出4G=44M,再由 DE 1 k+4 AM BM △ABM6FGA,可得AF=AG,求得AM2=2K+4)BM=16k(k+4),在Rt△ABM中，由 3/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM?=AB+BM2列方程求出k=1,6-3即可得出BC: 【详解】(1)解：，AB⊥AD,AB=4,tan∠ADB=2, .∠B4D=90°，ADAB=4=2 tan∠ADB2 ..ADII BC. .∠F=∠EBC,∠ABC=90°， 又，∠EBC=∠ABD. ∴.∠F=∠ABD, ∠A=A, ,△ABDAAFB, 、ABAF4AF ·AD=AB,即2=4， .AF=8 (2)解：过点D作△BDC的高DH,如图1， A D B 图1 :AD⊥AB,ADI‖BC, .DH=AB=4, .5.en 由(1)得AD=2,AF=8, .'DF=AF-AD=6. :ADI川BC, .△DEF∽△CEB. DF DE DE6 BCCE,即CEx, CE=名DE, 4/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE 6 .CD=DE+CE=DE:CD 6 S.BDE DE :S BDC CD, 2x6+x 12x .y= 6+x(x>0): (3)解：若△EFG是直角三角形，有三种情况： ①当∠GEF=90°时，如图2， A B 图2 由(1)可知：tan∠ABF=A 1 AB =2,tan∠AFB= 2 .BE= =AE,EF=AE AE 1 =2AE, tan∠ABF2 tan∠AFB EF 2AE=4 :BE IAE 2 又ADI‖BC .△FDE∽aBCE, DF EF 6 ·BC=BE,即BC =4, 景 ②当∠EFG=90°时，如图3， D 图3 由(1)可得：AF=8, 5/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠EBC=∠AFB,∠BFC=∠BAF=90°， ∴.△ABFAFCB. AF BF BF BC' :AF=8,BF=VAB2+AF2=V42+82=4V5, 845 45=BC .BC=10, ③当∠BGF-9w时，延长4G、C交于点：如图4，设瓷0， D F CM 图4 .ADIl BC, .△FDEABCE,△ADEAMCE, FD DE 1 AD DE 1 ·BC-EC-CMEC' .BC=kFD=6k,CM=kAD=2k,BM=8k, AF AG 8 4 CM-GM-2kk' AG-4GM,AM-AG+GM-4+kGM, k k 464仙， 又：AD‖∥BC .∠M=∠MAF, 又，∠ABC=∠EGF=90°， .△ABM∽△FGA, AM BM AFAG’ 6/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM BM 8 k+4M,即 4 M2=2(k+4)BM=16k(k+4) 在Rt△ABM中，AM2=AB2+BM2, ∴.16k(k+4)=42+(8k)2 1 解得：飞=1,6=3 1 六BC=6k=6或BC=6×3=2, 3 3 综上，BC的长为2或10或6或2， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数关系式、解直角三角形、一元二次方程的 应用等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键. 题型二：一线三等角模型 7.D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,然后根据三角形的外角得到∠CDE=∠BAD,即可得到 △ABD∽aDCE,根据相似三角形的性质即可得答案， 【详解】解：：BC=9,BD=4, ∴.CD=BC-BD=5, ,AB=AC=10, ∴.∠B=∠C, :∠ADE=∠C,∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD, ∴.∠CDE=∠BAD. .△ABD△DCE, BD AB 4 10 ·CECD,即CE=5, 解得：CE=2 8.6 【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°，根据邻补角的定义得到∠PCE=90°，根据 余角的性质得到∠ABE=∠DEP,根据相似三角形的判定定理即可得到结论. 7/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】四边形ABCD是矩形， ∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°， .∠PCF=90° :BE⊥EF, .∠BEF=90°， .∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEP=9O°， .:.∠ABE=∠DEP .ADlIBC, .∠DEP=∠F, ∴.∠ABE=∠DEP=∠F, ∴.△ABE∽△DEP, △ABE∽AEFB. △ABE∽ACFP, △DEPEFB, △DEP∽aCFP, △EFBP△CFP, ∴.共有6对相似三角形. 故答案为：6。 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理 是解题的关键。 9.(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键. (1)先说明∠ADE=∠CEB,再结合∠DAB=∠CBA=90°，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证 明结论： AD AE (2)由相似三角形的性质可得EB8C,再结合4E=EB即可证明结论. 【详解】(I)证明：EC⊥DE, ∴.∠DEC=90°， :∠DAB=∠CBA=90°， ∴.∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠CEB=90° 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADE=∠CEB, .△AED∽△BCE (2)解：由(1)得△AEDABCE, .AD_AE EB BC' .AE=EB, .AE2=AD·BC 10.(1)AB=DE 02 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵 活运用相关判定和性质定理成为解题的关键 (I)先证明△ABC≌△EBD(AAS),然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证： (2)先证明△DEF∽△CAF,再根据相似三角形的性质列比例式求得EF长度，然后运用三角形的面积 公式求出△BDF的面积即可. 【详解】(1)解：，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD, .BC=BD,∠CBD=90°， .∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC, .∠A=∠E=90°， .△ABC≌△EBD(AAS)」 .'AB=DE. 故答案为：AB=DE. (2)解：：△ABC≌△EBD」 .DE=AB,BE=AC AB=1,AC=3, .DE=1,BE=3, .'AE=AB+BE=4, ∠DEB+∠A=180°， DE∥AC, .△DEF∽△CAF. 9/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE EF 1 EF AC=AF,即3EF+4' 解得：EF=2, .'BF BE+EF=5, S.BDE=BFXDES5 2· 11.问题1：5：问题2：点P的坐标为(6,9)或(6,3)或(-9,3)或(3，-3)或4.5,4.5)或1.5,1.5).：问题 3:证明过程见解析 【分析】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判 定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 问题1：利用等量代换得∠ABE=∠CAF,证明△ABE≌aCAF(A4S),可得AE=CF=2,BE=AF=7, 再根据EF=AF-AE求解即可； 问题2：由题意可得A0=3,B0=6,分类讨论：当∠ABP=90°时，当∠BAP=90°时，当∠BPA=90°时， 根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，再利用等量代换可得∠DEB=∠FDC,证得 △EBD2aDCF(MAS),可得ED=DF,再根据等边三角形的判定定理即可得证. 【详解】解：问题1：由题意得，∠BAC=∠BEA=∠AFC=90°， ,∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+∠ABE=90°， ∴.∠ABE=∠CAF, 在△ABE和△CAF中， ∠BEA=∠AFC ∠ABE=∠CAF AB=AC .△ABE≌△CAF(MAS), .AE=CF=2,BE=AF=7, .EF=AF-AE=7-2=5: 问题2：如图，·A(-3,0),B(0,6), .A0=3,B0=6, 当∠ABP=90°时， ①过点B作PC⊥y轴于点C, 10125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABP是等腰直角三角形， .PB=AB :∠BPC+∠PBC=90°，∠PBC+∠ABO=90°， .∠BPC=LABO .∠PCB=∠BOA=90° .△BPC≌△ABO(AAS), .BC=A0=3,PC=BO=6. ..CO=BC+BO=9. P(6,9), ②过点B作BD1y轴于点D, :△ABP是等腰直角三角形， .PB=AB :∠ABO+∠PBD=90°，∠AB0+∠BAO=90°， .∠PBD=∠BAO 又：∠RDB=∠B0A=90°， .△BDB≌△BOA(AAS), ..BD=A0=3,PD=BO=6, .OD=3, .B(6,3), 当∠BAP=90°时， ③过点乃作PE⊥x轴于点E, 同理可证，△AEP≌△BOA(AAS), ∴AE=B0=6,E=AO=3 ..EO=0A+AE=9. .(-9,3), ④过点P作PF⊥x轴于点F, 同理可证，△AFP≌aBOA(AAS), 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=B0=6,PF=A0=3, OF=3, .P(3,-3), C P Dh-- =P 当∠APB=90°时， ⑤当PA=PB,∠APB=90°时，如图， 过点B作PC⊥x轴，BDLy轴于点D, ∴.∠PCA=∠PDB=∠APB=∠AOB=PDO=90, ∴.∠BPD+∠PBD=90°，∠CPD=90° .∠APC+∠APD=90°： ∴.∠APC=∠BPD :∠PCA=∠PDB=90,PA=PB .△ACR≌aBDP, .PC=PD,AC=BD 设(-m,m),则 OC=OD=m,OB=6,AO=3 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=m-3,BD=6-m、 ∴.m-3=6-m,解得m=4.5 .(4.5,4.5) ⑥当点P与关于直线AB对称时，△ABP为等腰直角三角形，且点M为AB、PP的中点，设P(x,), -3+00+6 M22 即M(-1.5,3) :45+-1545+y-3 2 2 解得x=1.5,y=1.5, .P(1.5,1.5) 综上所述，点P的坐标为（-6,9)或(6,3)或(-9,3)或(3，-3)或(4.5,4.5)或1.5,1.5). 问题3：，△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60°， .∠EDF=∠B=60°， .∠EDB+∠FDC=180°-∠EDF=120°， 又，∠EDB+∠DEB=180°-∠B=120°， ∴∠DEB=∠FDC, 在△EBD和△DCF中， [∠DEB=∠FDC ∠B=∠C BD=CF .△EBD≌aDCF(AAS), .ED=DF, 又，∠EDF=60°， ∴.△DEF是等边三角形. .6 12.(1)DE=V54G:(2)BG=8V5-6:(3) 【分析】(1)先利用含30°角的直角三角形的性质得到EF=V3GE,再通过证明△AGE~△DEF得到 AG GE 1 DEEF,即可得出结论： 13125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AEGE (2)过点r作FH⊥AD于H'通过证明。AEGHFE得到FHEF,求出FH的长，通过证明四边形 ABFH是矩形得到AB=FH,即可求出BG的长： EG AE (3)利用平行四边形和等腰三角形的性质推出△4 EGAMFE,CD=FM=AB,得到EF=FM,利用比 EG 例的性质即可求出EF的值. 【详解】解：(1)DE=V3AG,理由如下： 四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=90°， ∴.∠GEA+∠AGE=90° :∠GEF=90°，∠GFE=30°， ∠GEA+∠DEF=90°，GF=2GE, ∴∠AGE=∠DEF,EF=VGF2-GE2=V3GE, ,∴，△AGEP△DEF :.AG-GE_GE 1 DE EF 3GE3 ∴DE=V3AG: (2)如图，过点F作FH⊥AD于H, A E HD:FH⊥AD, ∴.∠EHF=90° .∠FEH+∠EFH=90°， ∠FEG=90°， ∴.∠FEH+∠AEG=90°， .∠AEG=∠EFH, :∠A=∠EHF=90°， AAEG△HFE, AE GE FHEF' 14125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知，EF=V3GE, GEGE 1 EFGE3 81 阳5， .FH=83, ∠A=∠B=∠AHF=90°， ∴.四边形ABFH是矩形， AB=FH=85」 ..BG=AB-AG=83-6, EG 6 (3)EF=ii,理由如下： 四边形ABCD是平行四边形， ∴.BCI∥AD,AB=CD,∠C=∠A, ∴∠CFP=∠M,∠PDM=∠C=∠A, 又：∠CFM=∠C. ∴.∠A=∠M=∠PDM=∠C=∠CFP, .PC=PF,PD=PM, .∠FEG=∠BAD,∠FEG+∠AGE+∠FEM=180°. ∠BAD+∠AEG+∠AGE=180°， ∴.∠AEG+∠AGE=∠AGE+∠FEM, .∠AGE=∠FEM, :∠A=∠M, ∴△AEG∽aMFE, EG AE EF FM' PD=PM,PC=PF, ∴PC+PD=PF+PM,即CD=FM=AB, EG AEAE 6 EF FM AB 11 【点睛】添加适当的辅助线构造“K”型相似是解题的关键. 15/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：手拉手模型 13.D 【分析】依据等腰直角三角形的性质，∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C-∠E一∠DAE-45°，再根据“有两组角 对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形. 【详解】，'△ABC和△ADE是等腰直角三角形 ∴.∠BAC=LADE-90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE-45 则△ABC一△DAE 又，∠AFB-∠DFE,∠B=∠E-45 ∴.△ABF-△DEF .'∠ADF=∠ADB,∠B=LDAE-45 ∴.△ABD△FAD 同理，得△FCA一△AD .△ABD△FCA 综上所述，图中相似三角形共有5对， 故选D, 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应 相等的两个三角形相似. 14.(四ADI/CE且AD= CE: (2)证明见解析。 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定等知识，正确地找到三角形的对应边角 相等关系是求解的关键. (1)根据∠A=∠CBE以及等腰三角形的性质可证得∠A=∠ECB,进而得到AD∥CE,另可证△ACD∽ AD AC 1 △BCE,可得到CEBC2,进而得到结论： (2)先证∠DCE=∠FEB,再根据等腰三角形的性质及EF=AD证得DC=EF，有EC=BE,利用SAS 证得三角形全等. 【详解】(1)解：，△ACD、△BCE都是等腰三角形， ∴.∠A=∠ACD,∠ECB=∠EBC, 又，∠A=∠CBE, ∴.∠A=∠ACD=∠ECB=∠EBC 16125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD∥CE, 在△ACD和△BCE中， [∠DAC=∠ECB ∠DCA=∠EBC .△ACD∽△BCE, :D4C-1-1 CE BC 3-1 2 AD=CE, 故答案是：AD/CE且AD=CE 2 (2)证明：，(1)中∠ACD=∠ECB=∠EBC 而∠ACD+∠DCE+∠ECB=180°，∠CEB+∠EBC+∠ECB=180°， ∴.∠DCE=∠CEB ,△ACD、△BCE都是等腰三角形， .EC=BE,AD=CD」 又，EF=AD, ∴CD=EF, 在△ACD和△BCE: CD=EF ∠DCE=∠EFB EC=BE △DCE≌AFEB(SAS). 15.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形， 熟练的运用以上知识是解题的关键. (I)直接证明△ABD≌aACE(SAS),然后根据全等三角形的性质证明即可： (2)先证明∠C=∠ABC,∠CAE=∠BEF,从而可得结论. 【详解】(1)证明：在△ABD和△ACE中， 17/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC ∠EAC=∠DAB AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE: (2)证明：如图， F ..AB=AC. ∠ACB=180°-∠BAC 2 ’∠C=∠ABC, .AD=AE, ∠AED=180°-∠DAE 2 .∠EAC=∠DAB. .∠EAC+∠EAB=∠DAB+∠EAB .∠BAC=∠DAE, ∴.∠ACB=∠AED， ∴.∠CAE+∠ACB=∠BEF+∠AED. .∠CAE=∠BEF, ∴ACAE∽ABEF 16.(1)证明：，将△ABC绕点A旋转得到△ADE, .∠BAC=∠DAE,AC=AE,AB=AD AC AE ∠BAD=∠CAE'AB AD .△ABD△ACE (②)证明：过点D作DM⊥EF于点M,过点B作BN⊥EF,交EF的延长线于点N, 18125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6W B 图2 由旋转的性质可知DE=BC,AC=AE,∠AED=∠ACB=90°， ∠1=∠2,1+∠4=90°，∠2+∠3=180°-∠ACB=90°， .∠3=∠4， 又.∠EMD=∠CNB=90° ∴.aDEM≌△BCN(AAS), .DM=BN, '∠5=∠6，∠EMD=∠FMD=∠CNB=90°， .△DFM≌△BFN(AAS), ∴DF=BF, 即点F是线段BD的中点 3)解：结论：EF=5CF, 理由：延长EF、AB交于点G,过点C作CH⊥AB,垂足为H, D ----G H 图3 AB 5 设AB=5k,由BC=3可得BC=3k, .∠ACB=90° .AC=VAB2-BC2=V5K)2-(32=4k, .AE=AC=4k,DE=BC=3k, s号4C-aC-号4BCH,p时x3-5CH, .cH=2k, 5 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE∥AB,∠DEA=90°， .∠EAG=I8O°-∠DEA=90°，∠G=∠DEF，,∠EDF=∠GBF, 由(2)得BF=DF, ∴.△EDF≌△GBF(AAS) .BG=DE=3k,EF=FG. .AG=AB+BG=5k+3k=8k, .EG=VAE2+AG2=V(4k)2+(8)2=4V5k, FFG2 .∠CHG=∠EAB=90°，∠G=∠G, .△AGEAHGC, ∴CG=CH,即：CG=5 EG AE 45k 4k CG=125 , EC-EG-CG-45R-125k-85k 5 5 CF-EF-CE-25k-85k=25k 5 5 EF_25k-5 脉 ,即 EF=5CF 【分析】(I)根据旋转的性质可得∠BAC=∠DAE,AC=AE,AB=AD,即可得出∠BAD=∠CAE, ACAE ABAD,根据相似三角形的判定定理即可证明。ABD∽A4CE (2)过点D作DM⊥EF于点M,过点B作BN⊥EF,交EF的延长线于点N,构造K字形全等，得 △DEM≌aBCN,由全等三角形的性质得到DM=BN,进而证明△DFM≌△BFN(AAS)即可得出 DF =BF. (3)延长EF、AB交于点G,过点C作CH⊥AB,垂足为H,设AB=5k,则BC=3k,可求 、B-BC=4,CH款.根据中点+平行线模型可得AEDF≌BGBE(AS,)可得BG= A=FG,自勾股定理可得EG=NAB+AG-N5k,进前求出BF-BG=25k,利用AGEHGC 2 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CG CH 可得EGAE, 由此求出CG25k,根据C=GCG8的 Sk,求出CF=EE-CE=5k,由 得出EF=5CF 【详解】(1)略 （2)略 (3)略 17.(1)△ABC≌△ADE,∠ABC=∠ACB .∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED,AB=AC=AD=AE, ,在△BDF中，∠DBF+∠BDA+∠ADF+∠BFD=180°， 在△ABD中，∠DBF+∠ABF+∠BAD+∠BDA=180°， ∴.∠BFD=∠BAD; (2)由(I)知，∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED, ∴.∠ACB=∠ADE,AB=AC=AD=AE, 又：∠ACB=∠BAD, .∠BAD=∠ADE, .AB∥DE, :∠BFD=∠BAD,∠BAD=∠AED, .∠BFD=∠AED, .AE∥BF, .四边形ABFE是平行四边形， 又：AB=AE, ∴.四边形ABFE是菱形： (3)tanZACB=2 【分析】(I)根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE,，∠ABC=∠ADE=∠AED,然后进行角的等量 代换，即可作答； (2)先证明AB∥DE,AE∥BF,得出四边形ABFE是平行四边形，根据AB=AE,即可得证； (3)作AG⊥CE于点G,作AH⊥BC于点H,作∠ACG的平分线CT,交AG于点T,延长BA交CT于点 AS AT AC AT AT s证明AS=4C:△ASTGCT,得出CG7TG,则CGG7,根据已知得出G7=3,设cG=a则 AC=3a'则AB=V(3a-a=2V2a,进而得出Gr=5。 a,根据正切的定义，即可求解。 21125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，作AG⊥CE于点G,作AH⊥BC于点H,作∠ACG的平分线CT,交AG于点T,延长 BA交CT于点S, S E ∠Gc7=∠AcT=cc 由(I)知AC=AE】 CG-CE AB∥CE, .∠GCT=∠S, .∠S=∠ACT, .'AS=AC, .AS∥CG, .△AST∽aGCT, AS AT ∴.cGGT ACAT CG GT AB=AC, :∠CAH=∠BAH=2 ∠BAC, .CE‖AB, .∠ACE=∠BAC, CE-C. ∠BAH=∠GCT, ∠AHB=∠AGC=90°， 22125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠CTG. △ABC≌AADE, ,AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAD=∠CAE」 △ABD≌△ACE(SAS). .CE=BD. AC AB 3 CE BD 2' .AC=AE, Xc-CE AC=3, CG AL=3, GT 设cG=a,则4C=3a,则4G=V(3a)}-a2=22a, .GT-AG- 2, .tan/C7G=Cc、a G72v2 2 a ∴.tan∠ACB=V2. 【点睛】本题考查全等三角形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的性质以及解直角 三角形，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形求解三角函数值， 18.(L)∠ABC=∠ACE,理由如下： ,△ABC是等腰直角三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°， 、.LBAC-LDAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, AD=AE, :.△ABD≌aACE(SAS). .∠ABC=∠ACE: (2)成立，证明： 23125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=BC, :∠B4c=∠4cBs0-∠ABc), AD=DE, ∠DAE=∠DEA-80-∠ADE). :∠ABC=∠ADE, .∠BAC=∠DAE, .△ABC△ADE, AB AC AB AD 小AD=AE,即AC=AE: .∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE, .∠ABC=∠ACE: 18.42 (3③)CE为5或5· 【分析】(I)由题意易得AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°，则有∠BAD=∠CAE,然后可得 △ABD≌△ACE(SAS),进而问题可求证； (2)由思意易得∠B4C=∠ACB=80°-∠ABC),∠D1E=∠DE1=080°-∠ADE),则有 AB AD ∠BAC=∠DAE,然后可得△ABC∽AADE,则有AC-AE,进而可得△MBD∽△MCE,则问题可求证： (3)由题意可分当点D在线段BC上，当点D在线段BC的延长线上，然后分类进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图1，当点D在线段BC上， D 图1 根据(2)可得△ABD∽△ACE, AB BD ACCE' 24125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=BC=10,AC=6,CD=4, 1010-4 .6CE, CE=18 5· 如图2，当点D在线段BC的延长线上， 图2 .AB=BC, <B1c=∠4c8=080r-乙ia0). AD DE, :∠DAE=∠DEA=（I80°-∠ADE), :∠ABC=∠ADE, .∠BAC=∠DAE, .△ABCP△ADE, AB AD ·ACAE' .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, .△ABD∽△ACE, 、ABBD AC CE' .AB=BC=10,AC=6,CD=4. 1010+4 ·6=CE :CE=42 5 1842 综上所述， CE为5或5. 25125 专题02 相似三角形中平行模型、一线三等角模型、手拉手模型的三类综合题型 题型一 平行模型 题型二 一线三等角模型 题型三 手拉手模型 题型一：平行模型 1．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 2．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 4．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 6．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在直角梯形中，,, ,，点为边上一点，且，延长交于点． (1)求的长； (2)设，的面积为，求与的函数关系式并写出定义域； (3)联结，延长交于点，若是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1) (2)； (3)的长为或或6或2. 【分析】（1）由已知容易，再证明，可得，利用相似三角形的性质得出，由此即可求出； （2）先证出，根据相似三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式得出，然后根据求出的取值范围，由此即可得； （3）若是直角三角形，有三种情况，①当时，先利用解直角三角形求出，，继而可得，再证明可得，由此即可求出，②当时，利用得出，由此即可求出，③当时，延长、交于点，设，可得，，，由此求出，再由，可得，求得，在中，由列方程求出，，即可得出． 【详解】（1）解：∵，,， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴. （2）解：过点作的高，如图1， ∵，， ∴， ∴ 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：若是直角三角形，有三种情况： ①当时，如图2， 由（1）可知：，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，如图3， 由（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ③当时，延长、交于点，如图4，设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴ 解得：，， ∴或， 综上，的长为或或6或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数关系式、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 题型二：一线三等角模型 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 9．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． （1）先说明，再结合，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形．                       【答案】问题1：5；问题2：点P的坐标为或或或或或．；问题3：证明过程见解析 【分析】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：由题意可得，，分类讨论：当时，当时， 当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】解：问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， ①过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时， ③过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ④过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 当时， ⑤当时，如图， 过点作轴， 轴于点D， ∴ ∴, ∴； ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴，解得 ∴， ⑥当点与关于直线对称时，为等腰直角三角形，且点M为的中点，设， ∴， 即 ∴ 解得， ∴ 综上所述，点P的坐标为或或或或或． 问题3：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 12．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 题型三：手拉手模型 13．（22-23九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，点D是等腰斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰，斜边AE交BC于F，则图中相似三角形共有（    ）对． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】依据等腰直角三角形的性质，∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45°，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形． 【详解】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形 ∴∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45° 则△ABC∽△DAE 又∵∠AFB=∠DFE，∠B=∠E=45° ∴△ABF∽△DEF ∵∠ADF=∠ADB，∠B=∠DAE=45° ∴△ABD∽△FAD 同理，得△FCA∽△FAD ∴△ABD∽△FCA 综上所述，图中相似三角形共有5对， 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似． 14．（23-24九年级下·江西九江·期中）如图，，为线段上一点，，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接，． (1)与的关系是 ． (2)求证：≌． 【答案】(1)且； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定等知识，正确地找到三角形的对应边角相等关系是求解的关键． （1）根据以及等腰三角形的性质可证得，进而得到，另可证∽，可得到，进而得到结论； （2）先证，再根据等腰三角形的性质及证得，有，利用证得三角形全等． 【详解】（1）解：∵、都是等腰三角形， ∴，， 又∵， ∴ ∴， 在和中， ∴∽， ∴ ∴， 故答案是：且． （2）证明：∵（1）中 而，， ∴， ∵、都是等腰三角形， ∴，， 又∵， ∴， 在和： ∴≌． 15．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（2026·湖北黄石·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17．（2026·安徽·二模）如图，在等腰中，，连接、、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证：四边形是菱形； (3)如图3，若，且，求的值． 【答案】(1)，， ，， ∵在中，， 在中，， ； (2)由（1）知，， ，， 又， ， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，然后进行角的等量代换，即可作答； （2）先证明，得出四边形是平行四边形，根据，即可得证； （3）作于点G，作于点H，作的平分线，交于点T，延长交于点，证明，，得出，则，根据已知得出，设，则，则，进而得出，根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，作于点G，作于点H，作的平分线，交于点T，延长交于点， ， 由（1）知， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则，则， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的性质以及解直角三角形，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形求解三角函数值． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解答下列问题： (1)【探究解题】 如图1，等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； (2)【拓展延伸】 如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并证明； (3)【归纳应用】 在（2）的条件下，若，，点D是直线上任意一点，当时，求的长． 【答案】(1)，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2)成立，证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴； (3)为或． 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而可得，则问题可求证； （3）由题意可分当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图1，当点D在线段上， 根据（2）可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 如图2，当点D在线段的延长线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 综上所述，为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $