精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高二下学期期末数学试题

2023－2024学年第二学期高二年级期末考试数学试题 试题满分：150分　　考试时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 下列集合中表示同一集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，，则； 对于B选项，，，则； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，，，则. 故选：D. 2. 设全集与集合，的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合元素属于但不属于，即阴影部分对应的集合，即可求解. 【详解】由图得，元素属于但不属于，即阴影部分对应的集合为. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据对数的运算性质进行化简求值即可. 【详解】解：已知， . 故选：C. 4. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A. 在上为减函数，所以该选项不正确；B. 在上不单调，所以该选项不正确；C. ，函数在上为增函数，所以该选项正确；D. 在上为减函数，所以该选项不正确. 【详解】解：A. 在上为减函数，所以该选项不正确； B. 在上单调递减，在单调递增，所以该选项不正确； C. ，由复合函数的单调性原理得函数在上为增函数，所以该选项正确； D. 在上为减函数，所以该选项不正确. 故选：C 5. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 6. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（       ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 7. 已知函数，则下列图象错误的是（ ） A. 的图象： B. 的图象： C. 的图象： D. 的图象： 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案. 【详解】先作出的图象，如图所示， 所以A正确； 对于B，的图象是由的图象向右平移一个单位得到，故B正确； 对于C，当时，的图象与的图象相同，且函数的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，的图象与的图象关于轴对称而得到，故D正确. 故选：C. 8. 已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. ( C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解. 【详解】根据，作出的大致图象如下： 由图可知：当时，此时由两个根，分别为， 当时，此时有4个交点， 当时，此时有3个交点， 当时，此时有2个交点， 故要使得由6个不同的零点，则令，有6个不同的实数根， 显然不是的根， 设的两个零点分别为，且， 故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意， 故需要满足，解得， 当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意， 故需要满足，解得， 综上可得或 故选：A 二、多选题（共3小，每题6分，共18分） 9. 下列函数中，在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可求解． 【详解】解：对于A项，在上是减函数，故A正确； 对于B项，为增函数，在上是增函数，所以在上是增函数，故B错误； 对于C项，在上是减函数，故C正确； 对于D: 在上是减函数，在上是增函数，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 是奇函数 C. 在定义域上是减函数 D. 无最小值，无最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D 【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误； 选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确； 选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确； 选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确 故选：BD 11. 定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的对称轴 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，得函数图象关于直线对称，由是奇函数，得的图象关于点对称，从而得是周期函数，4是它的一个周期，由，得图象关于点对称，从而知与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，由此可判断各选项． 【详解】，则函数图象关于直线对称，B正确； 是奇函数，即，，则的图象关于点对称，，，C正确； 所以，从而，所以是周期函数，4是它的一个周期，，A错； 又，图象关于点对称，因此与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点， ，D正确． 故选：BCD． 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解． 【详解】． 故答案为：． 13. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】需对和两种情况进行讨论在上的单调性，从而可确定的取值范围. 【详解】若，则，这是一个一次函数，斜率为， 在上不是单调递增的，故， 若，函数是一个二次函数，其对称轴为， 因为在上的单调递增，所以该函数开口向上，则， 同时必须在区间的左侧或者和重合， 所以，解之可得 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，再利用基本不等式“1”的妙用求得，从而得解. 【详解】因为， 当时，，当时，； 因为， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 要求的最小值，则令，此时， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（5小题，共77分） 15. 在中，，，为锐角且的面积小于3. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用面积公式表示出面积，结合面积小于3即可得； （2）借助（1）问中的的范围，结合余弦定理即可得. 【小问1详解】 的面积， 则， 因为为锐角，所以A的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）知的取值范围是， 则的取值范围是， 由余弦定理得， 所以的取值范围是. 16. 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内； （2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值. 【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论 在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示. 在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内. ［方法二］：空间向量共线定理 以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示． 设，则． 所以．故．所以，点在平面内． ［方法三］：平面向量基本定理 同方法二建系，并得， 所以． 故．所以点在平面内． ［方法四］： 根据题意，如图3，设． 在平面内，因为，所以． 延长交于G， 平面， 平面． ， 所以平面平面①． 延长交于H，同理平面平面②． 由①②得，平面平面． 连接，根据相似三角形知识可得． 在中，． 同理，在中，． 如图4，在中，． 所以，即G，，H三点共线． 因为平面，所以平面，得证． ［方法五］： 如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内． （2）［方法一］【最优解】：坐标法 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2. 则、、、， ，，，， 设平面的一个法向量为， 由，得取，得，则， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得，，则， ， 设二面角的平面角为，则，. 因此，二面角的正弦值为. ［方法二］：定义法 在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角． 在中，． 所以，则． ［方法三］：向量法 由题意得， 由于，所以． 如图7，在平面内作，垂足为G， 则与的夹角即为二面角的大小． 由，得． 其中，，解得，． 所以二面角的正弦值． ［方法四］：三面角公式 由题易得，． 所以． ． ． 设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得 ，所以． 【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出． （2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总垂直于轴，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）； （2）设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为， 设， 直线的方程为，即 联立方程组 消去得， 因为为直线与椭圆的交点， 所以，即 把换为得，，所以， 所以 ， 所以直线的斜率， 故直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）由由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求； （2）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案． 【小问1详解】 由题意得 解得，所以，椭圆的方程是. 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题． 18. 中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是). 泡制时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 74 71 65 （1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画. ①令，求出关于的线性回归方程； ②利用①的结论，求出中的与. （2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，. 【答案】（1）①；②，；（2）. 【解析】 【分析】（1）列出与的数据表，求出平均值，求出回归方程中的系数，得回归方程，根据所求线性回归方程与原方程的关系可求得原方程为参数值； （2）由（1）得，令求得值即可． 【详解】解：（1）①由已知得出与的关系，如下表： 泡制时间 0 1 2 3 4 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8 设线性回归方程， 由题意，得，， ∴， ， 则， ， 则关于的线性回归方程为； ②由，得， 两边取对数得，， 利用①的结论得：，， ∴，； （2）由（1）得，， 令，得. ∴该品种绿茶用的水泡制后饮用，口感最佳. 【点睛】思路点睛：本题考查回归方程的应用，非线性回归方程可以通过变形变成线性回归方程，求得线性回归直线方程后，再转化非线性的方程． 19. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）1 （2）当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直于直线，所以曲线的切线在该点的斜率与直线的斜率乘积为，即曲线在该点的导数与直线的斜率乘积为． （2）求出函数的导数，再讨论的范围，根据导数求出函数的最值 【小问1详解】 解：曲线在点处的切线垂直于直线， 又直线的斜率为1，函数的导数为， 【小问2详解】 解： ①当时，在区间上此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. ②当即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. ③当，即时， 在区间上，此时函数在区间上单调递减， 在区间上，此时函数在区间上单调递增， 则函数在区间上的最小值为. ④当，即时， 在区间上此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. 综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年第二学期高二年级期末考试数学试题 试题满分：150分　　考试时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 下列集合中表示同一集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集与集合，的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（       ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 7. 已知函数，则下列图象错误的是（ ） A. 的图象： B. 的图象： C. 的图象： D. 的图象： 8. 已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. ( C. D. 二、多选题（共3小，每题6分，共18分） 9. 下列函数中，在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 是奇函数 C. 在定义域上是减函数 D. 无最小值，无最大值 11. 定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的对称轴 C. D. 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为______. 13. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____. 14. 已知，且，则的最小值为__________． 四、解答题（5小题，共77分） 15. 在中，，，为锐角且的面积小于3. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 16. 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总垂直于轴，求证：直线的斜率为定值. 18. 中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是). 泡制时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 74 71 65 （1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画. ①令，求出关于的线性回归方程； ②利用①的结论，求出中的与. （2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，. 19. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）求函数在区间上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $