精品解析：湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

2024年长沙市周南中学新高一入学摸底测试 数学试卷 时间：90分钟 分值：100分 一.选择题（共6小题，每题仅有一个选项符合题意，每题4分） 1. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由指数的运算法则得. 2. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为面积比是相似比的平方，所以两个三角形的面积比为. 3. 估计 的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 4. 如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，分别是的中点， 所以是的中位线，所以， 所以，即菱形的边长为6. 5. 有A，B两种卡片各4张，A卡片正、反两面分别写着1和0，B卡片正、反两面分别写着2和0，甲、乙两人从中各拿走4张卡片并摆放在桌上，发现各自的4张卡片向上一面的数字和相等，两人各自将所有卡片另一面朝上，则甲的4张卡片数字和减小了1，乙的4张卡片数字和增加了1，则甲拿取A卡片的数量为（ ） A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出各自的4张卡片向上一面的数字和，设甲拿了张种卡片，张种卡片，得到，结合甲的4张卡片数字和减小了1可得到方程，联立求解即可. 【详解】8张卡片数字总和为， 设各自的4张卡片向上一面的数字和为，则，解得， 即甲的4张卡片向上一面的数字和为3，则向下一面的数字和为. 设甲拿了张种卡片，张种卡片，则， 设甲的张种卡片中有张正面朝上，张种卡片中有张正面朝上， 则总减少量，正面数字和为. 又，为非负整数，则，或，. 当，时，代入减少量式子得，与联立解得，. 当，时，代入减少量式子得，与联立解得，. 均满足题意， 所以甲拿取A卡片的数量为3张. 6. 如图，在等腰中， ，， 动点，同时从点出发， 分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点 也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为.下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立函数关系，结合二次函数的性质判断即可. 【详解】由题意知，为等腰直角三角形，则， 则正方形的边长为. 当正方形的底边刚好碰到时，，解得， 即两段函数的分界点. 当时，正方形完全在内部，重合面积就是正方形面积， 则，这是开口向上的抛物线，且递增，当时，. 当时，正方形一部分伸出三角形外， 重合面积为， 这是开口向下的抛物线，顶点在处，面积先增后减，最大值为，此时. 综上，当时，函数图象为开口向上且递增的抛物线，当时，； 当时，函数图象为开口向下的抛物线，先增后减，当时，. 故选项A符合. 二.填空题（共6小题，每题4分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，直接因式分解即可. 【详解】因为与的最大公因数为，故可以将提出， 即， 故答案为：. 8. 计算 的结果是 ______. 【答案】1 【解析】 【分析】同分母分式相加，分母保持不变，把分子相加后再约分求值. 【详解】. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______. 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得，射线为的角平分线，故所在直线方程为， 又，故，解得 10. 若二次函数 的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 _________________. 【答案】 【解析】 【详解】若二次函数 的图象与轴有交点， 则，所以. 11. 一般地，个相同因数相乘：记为， 如，此时，指数叫做以为底的 的对数， 记为， (即). 请计算________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数与对数的互化公式即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以， 所以. 12. 若二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.则下列说法正确的序号为 _________. ①； ②当 时，代数式 的最小值为3； ③对于任意实数m，不等式 一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点， 且 当时，一定有. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先由平移对称性推出原抛物线对称轴得到 ，再依次代入化简，结合二次函数单调性、恒成立条件、中点与对称轴位置关系逐一判定四个命题正误. 【详解】二次函数向右平移1个单位后，解析式变为， 该图象关于轴对称，说明其对称轴为, 原二次函数的对称轴为，向右平移个单位后对称轴变为， 令其等于，可得，即. 对于①：由，得，①正确； 对于②：将代入代数式，得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴为，给定区间在对称轴右侧， 函数在此区间随增大而增大， 因此当时取最小值，代入得最小值为，②错误; 对于③：将代入不等式左边：， 已知，且，因此恒成立，③正确； 对于④：原二次函数对称轴为，说明开口向上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， 由得，即两点中点在对称轴右侧，且，说明离对称轴更远， 故，④正确. 三. 解答题（共6小题，共52分.第13、14题每题6分； 第15、16每题8分；第17、18题每题12分） 13. 先化简，再求值：其中. 【答案】1 【解析】 【详解】原式， 当时，原式 14. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由图可知点A的坐标为， ∵反比例函数图象过点A，设反比例函数关系式为 ∴，∴，∴反比例函数解析式为 【小问2详解】 由题意得直线OA的解析式为 由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线 BC的解析式为 联立方程组 解得 （舍去）， . 15. 如图，在中，，D是BC的中点，． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由几何关系和勾股定理求出，根据等面积法得出，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 16. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征. （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且， 求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知，cm，求截面的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦值和勾股定理求出正弦值，进而由题意得到方程，求出折射率； （2）由折射率和勾股定理得到各个边长，求出面积 【小问1详解】 ，如图，设，，则， 由勾股定理得， 所以， 又因为，所以， 故折射率为； 【小问2详解】 由题意可得，折射率为，故， 所以， 因为四边形是矩形，点是中点， 所以，， 又因为， 所以， 在中，设，， 由勾股定理得， 所以，故， 所以， 所以截面的面积为 17. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材页“拓广探索”第题：如图，在锐角中， 探究 之间的关系.（提示：分别作和边上的高） 【得出结论】 . （1）【基础应用】在中，，利用以上结论求的长. （2）【推广证明】进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（为外接圆的半径）.请利用图证明：. （3）【拓展应用】如图，四边形中，.求过三点的圆的半径. 【答案】（1） （2）作于点，作于点， 连接并延长交⊙于点，连接，如图所示， ， ， ， 同理可证，， ， 是直径， ， ， ， ， . （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目内容求出，即可利用题目结论直接求解； （2）作于点，作于点，连接并延长交⊙于点，连接，根据等面积法和题目结论，即可证明； （3）构造三角形，利用勾股定理结合题目结论即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， ， 解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 作交于点， 则四边形是矩形， ， ， ， ， 过三点的圆的半径为. 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线. （1）求拋物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标. 【答案】（1） （2）最大值为；此时 （3）， 【解析】 【分析】（1）由抛物线过点A及对称轴可建立方程组解方程即可求解析式； （2）过作轴交于，利用锐角三角函数将问题转化为求的最大值，设点P坐标，由坐标建立二次函数求最值即可； （3）先得出平移后抛物线的解析式，利用特殊角确定直线，求得M坐标，分类讨论N的位置结合锐角三角函数得出线段比计算即可. 【小问1详解】 ∵与轴交于两点，交轴于点， 抛物线的对称轴是直线，解得； 【小问2详解】 如图，延长交轴于，过作轴交于， 当时，解得：， 当时，， ， 轴，， ， ，设为， 解得：直线为：， 设， ∵的对称轴为直线， ， 当时，取得最大值，最大值为；此时； 【小问3详解】 抛物线沿射线方向平移个单位， 即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 新的抛物线为：， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， 同理可得：直线为，当时，， ， ， ， ，设， ，解得：或（舍去）， ； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过 作过的垂线于，同理可得：， 设，则，同理可得：， 或（舍去），， 综上可知或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年长沙市周南中学新高一入学摸底测试 数学试卷 时间：90分钟 分值：100分 一.选择题（共6小题，每题仅有一个选项符合题意，每题4分） 1. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（ ） A. B. C. D. 3. 估计 的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 有A，B两种卡片各4张，A卡片正、反两面分别写着1和0，B卡片正、反两面分别写着2和0，甲、乙两人从中各拿走4张卡片并摆放在桌上，发现各自的4张卡片向上一面的数字和相等，两人各自将所有卡片另一面朝上，则甲的4张卡片数字和减小了1，乙的4张卡片数字和增加了1，则甲拿取A卡片的数量为（ ） A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张 6. 如图，在等腰中， ，， 动点，同时从点出发， 分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点 也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为.下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共6小题，每题4分） 7. 分解因式：______． 8. 计算 的结果是 ______. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______. 10. 若二次函数 的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 _________________. 11. 一般地，个相同因数相乘：记为， 如，此时，指数叫做以为底的 的对数， 记为， (即). 请计算________. 12. 若二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.则下列说法正确的序号为 _________. ①； ②当 时，代数式 的最小值为3； ③对于任意实数m，不等式 一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点， 且 当时，一定有. 三. 解答题（共6小题，共52分.第13、14题每题6分； 第15、16每题8分；第17、18题每题12分） 13. 先化简，再求值：其中. 14. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标. 15. 如图，在中，，D是BC的中点，． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若，求EF的长． 16. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征. （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且， 求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知，cm，求截面的面积. 17. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材页“拓广探索”第题：如图，在锐角中， 探究 之间的关系.（提示：分别作和边上的高） 【得出结论】 . （1）【基础应用】在中，，利用以上结论求的长. （2）【推广证明】进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（为外接圆的半径）.请利用图证明：. （3）【拓展应用】如图，四边形中，.求过三点的圆的半径. 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线. （1）求拋物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $