专题02_截一个几何体与从不同方向看 导学案 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“截一个几何体与从不同方向看”，核心内容为截面概念及正方体、圆柱等几何体的截面规律，以及三视图的画法与“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系。通过问题引导（如截面形成、实物模拟）衔接立体图形到平面表征的转化，以填空、示意图和思考问题为学习支架。 资料特色在于分层检测（基础、提升、探究）与问题链引导思维，题型精讲结合实例，四维认知小结强化降维转化思想。助力学生发展空间观念和几何直观，提升数学思维与表达能力，符合新课标核心素养要求。

北师大版七年级上册数学思维课系列 专题02 专题02 截一个几何体与从不同方向看 (北师大版七年级上册 第一章 丰富的图形世界 §1.3 截一个几何体 §1.4 从不同方向看) 一、知识解读 【学习目标】理解用平面截几何体的截面概念，掌握正方体、圆柱、圆锥等常见几何体的截面规律；掌握从正面、左面、上面三个方向观察几何体的方法，能画出三视图并理解三视图的对应关系。 §1.3 截一个几何体 1. 用一个平面去截几何体，截出的面叫做________。 2. 截面的形状取决于两个因素：几何体的________和截平面的________。 3. 正方体截面规律(填空)： • 截面经过3个面 → ________形 • 截面经过4个面 → ________形(可能是正方形、________或________) • 截面经过5个面 → ________形 • 截面经过6个面 → ________形 • 关键：截面最多与正方体的________个面相交，因此截面最多是________边形。 图1：正方体的四种截面类型 图2：圆柱的三种截面类型 §1.4 从不同方向看 1. 从正面看 → ________视图(反映几何体的________和________) 2. 从左面看 → ________视图(反映几何体的________和________) 3. 从上面看 → ________视图(反映几何体的________和________) 4. 三视图的对应关系(填空)： • 主视图与左视图：________(高度相同) • 主视图与俯视图：________(长度相同) • 左视图与俯视图：________(宽度相同) 图3：正方体与圆柱的三视图 二、思路溯源 【问题引导】请思考以下问题，帮助你建立截面与三视图的思维路径。 截面部分 思考1：当截平面与几何体相交时，每相交一个面会产生什么？截面是几边形由什么决定？ 思考2：你能想到用什么实物来模拟截面的形成过程吗？(提示：豆腐、橡皮泥等) 思考3：正方体有6个面，截面最多经过几个面？截面最多是几边形？为什么不能是七边形？ 思考4：将三维的截面问题转化为二维的________问题，这是哪种数学思想的体现？ 三视图部分 思考5：从三个不同方向观察同一个几何体，看到的形状是否相同？为什么需要三个视图？ 思考6：如何将三维的立体图形"翻译"为二维的视图？这是从________维到________维的转换。 思考7：三个视图之间有什么对应关系？请用自己的语言描述"长对正、高平齐、宽相等"。 思考8：能否根据三视图反过来还原出原来的几何体？这说明三视图与几何体之间是什么关系？ 三、题型精讲 【题型一】截面形状判断 例1 用平面去截正方体，可能得到哪些形状的截面？请画出示意图并说明每种截面经过几个面。 提示：思考截平面与正方体的面、棱的相交情况。 【题型二】圆柱和圆锥的截面 例2 用平面截圆柱，可以得到哪些形状的截面？分别说明截平面的位置与所得截面形状的关系。 提示：考虑截平面水平、竖直、倾斜三种情况。 【题型三】三视图画法与还原 例3 一个由小正方体搭成的几何体，从正面看有3列，每列小正方形个数分别为1、2、1(从左到右)；从上面看有3列，每列小正方形个数分别为1、1、1(从左到右排成一行)。画出从左面看的图形，并说明这个几何体最少由几个小正方体组成。 提示：先根据俯视图确定小正方体的位置，再根据主视图确定每列的高度。 图4：小正方体组合体及其三视图 四、分层检测 【基础检测】 1. 用平面截正方体，截面可以是________边形、________边形、________边形、________边形。 2. 圆柱的截面不可能是( ) A. 圆形 B. 长方形 C. 三角形 D. 椭圆 3. 从正面、左面、上面观察一个正方体，得到的三个视图都是________。 4. 一个几何体从上面看是圆形，从正面看也是圆形，这个几何体可能是________。 5. 画出一个圆柱的主视图、左视图和俯视图(用文字描述三个视图的形状)。 【提升检测】 6. 用平面截正方体，最多可以得到几边形？为什么不能得到七边形截面？请说明理由。 7. 一个由小正方体搭成的几何体，从正面看是"田"字形(2×2排列)，从上面看是一个"一"字形(1×4排列)。这个几何体由几个小正方体组成？画出从左面看的图形。 8. 深圳平安金融中心大楼的外形可以近似看作什么几何体？如果用一个竖直的平面从中间截开，截面大致是什么形状？请画出示意图并说明。 【探究检测】 9. 探索截面的奥秘： (1) 用平面截三棱柱(即三角柱)，可以得到哪些形状的截面？请列举至少4种。 (2) 比较正方体和三棱柱的截面，你发现了什么规律？(提示：截面最多是几边形与什么有关？) (3) 从"对应"和"统一"的角度，描述几何体面数与截面边数之间的关系。 五、四维认知小结 请从以下四个维度对本专题进行总结： 翻译：将三维几何体"翻译"为________或________(空间→平面的表征转换) 对应：截面边数 ↔ ________________；三视图 ↔ 几何体的________ 转化：截面是"用平面截"(主动切割)，三视图是"从方向看"(被动观察)，两种方式都是将________维转化为________维 统一：无论截面还是三视图，本质都是"________→________"的降维思维，核心不变量是几何体的________ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册数学思维课系列 专题02 专题02 截一个几何体与从不同方向看 (北师大版七年级上册 第一章 丰富的图形世界 §1.3 截一个几何体 §1.4 从不同方向看) 一、知识解读 【学习目标】理解用平面截几何体的截面概念，掌握正方体、圆柱、圆锥等常见几何体的截面规律；掌握从正面、左面、上面三个方向观察几何体的方法，能画出三视图并理解三视图的对应关系。核心素养：几何直观、空间观念、推理能力。 §1.3 截一个几何体 1. 用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面。 2. 截面的形状取决于两个因素：几何体的形状和截平面的方向与位置。 3. 正方体截面规律： • 截面经过3个面 → 三角形(可以是等腰三角形、等边三角形) • 截面经过4个面 → 四边形(可能是正方形、长方形或梯形) • 截面经过5个面 → 五边形 • 截面经过6个面 → 六边形 • 关键：截面最多与正方体的6个面相交，因此截面最多是六边形。截面不可能是七边形或更多边形，因为正方体只有6个面。 图1：正方体的四种截面类型 4. 其他常见几何体的截面： • 圆柱：水平截→圆形；竖直截→长方形(或正方形)；斜截→椭圆 • 圆锥：水平截→圆形；过顶点竖直截→三角形；斜截→椭圆 • 棱柱：截面为多边形，边数取决于截平面经过的面数 图2：圆柱的三种截面类型 §1.4 从不同方向看 1. 从正面看 → 主视图(反映几何体的长和高) 2. 从左面看 → 左视图(反映几何体的宽和高) 3. 从上面看 → 俯视图(反映几何体的长和宽) 4. 三视图的对应关系： • 主视图与左视图：高平齐(高度相同) • 主视图与俯视图：长对正(长度相同) • 左视图与俯视图：宽相等(宽度相同) 5. 由小正方体搭成的几何体：画三视图时，从某一方向看，看到的是该方向上小正方体的"投影"，需要注意被遮挡的部分不显示。 图3：正方体与圆柱的三视图 二、思路溯源 本专题的思维核心是"降维"——将三维几何体通过截面或三视图转化为二维图形来研究。以下是完整的思维路径。 截面部分 看结构：截平面与几何体的哪些面相交？每相交一个面就产生一条交线，交线围成的封闭图形就是截面。 换表征：将三维的截面问题转化为二维多边形问题——截面是几边形，取决于截平面经过几个面。这是"转化思想"的典型应用。 造例子：用豆腐或橡皮泥实际切割，观察截面形状。例如切正方体豆腐，依次切出三角形、四边形、五边形、六边形截面。 追条件：截面是几边形取决于截平面经过几个面。正方体有6个面，所以截面最多是六边形。 做压缩：核心方法——"数截面经过的面数 → 确定多边形边数"。截面经过n个面，就是n边形。 求证明：用实物验证每种截面确实存在，并理解为什么不能超过六边形。 数学方法论标注：分类讨论(截面形状按经过面数分类)、转化思想(三维↔二维)。 三视图部分 看结构：从正面、左面、上面三个方向观察几何体，分别看到什么形状？ 换表征：将三维立体图形"翻译"为三个二维视图。这是"翻译"维度的体现——从空间语言转换为平面语言。 造例子：从最简单的正方体开始(三个视图都是正方形)，逐步到长方体、圆柱、组合体。 追条件：三个视图的尺寸关系是什么？主视图与俯视图"长对正"，主视图与左视图"高平齐"，左视图与俯视图"宽相等"。 做压缩：核心就是"三个方向 + 三个对应关系"。掌握这三组关系，就能在三视图之间相互转换，也能由三视图还原几何体。 求证明：根据三视图还原出几何体，再验证三个视图是否正确，形成闭环。 数学方法论标注：转化思想(三维立体 → 二维视图)、对应思想(三视图与几何体尺寸的对应关系)。 三、题型精讲 【题型一】截面形状判断 例1 用平面去截正方体，可能得到哪些形状的截面？请画出示意图并说明每种截面经过几个面。 【答案】用平面截正方体，可以得到三角形、四边形(正方形、长方形、梯形)、五边形、六边形截面。 【解析】 (1)三角形截面：截平面只经过正方体的3个面，且不经过任何顶点时，得到三角形。当截平面经过正方体的一个顶点及与之不相邻的两个面时，可得等腰三角形；当截平面经过三个相邻面的对角线时，可得等边三角形。 (2)四边形截面：截平面经过正方体的4个面。当截平面与正方体的四个侧面平行时，得正方形；当截平面与一组棱平行但倾斜时，得长方形；当截平面不与任何棱平行时，可得梯形。 (3)五边形截面：截平面经过正方体的5个面，截平面只与一个面不相交。 (4)六边形截面：截平面经过正方体的全部6个面，这是截面边数的最大值。 示意图说明： 三角形：连接正方体一个顶点处三个相邻面上的三点 四边形：平行于某一组棱截切 五边形：截平面倾斜，经过5个面 六边形：截平面充分倾斜，经过全部6个面 [命题意图] 本题考查截面形状的判断能力，要求学生理解截面边数与截平面经过面数的关系，培养空间想象力和分类讨论能力。 💡思维路径：先观察截平面与正方体哪些面相交——每相交一个面产生一条边，n个面就是n边形。从最简单的三角形(3个面)开始，逐步增加经过的面数，直到六边形(6个面)。为什么不能是七边形？因为正方体只有6个面，截面最多与6个面相交。这就是"数经过的面数→定边数"的核心方法。 【题型二】圆柱和圆锥的截面 例2 用平面截圆柱，可以得到哪些形状的截面？分别说明截平面的位置与所得截面形状的关系。 【答案】用平面截圆柱，可以得到圆形、长方形(或正方形)、椭圆三种截面。 【解析】 (1)圆形截面：截平面与圆柱的底面平行(水平截切)，截面是一个圆，且与底面圆大小相同。 (2)长方形(或正方形)截面：截平面与圆柱的轴线平行(竖直截切)，截面是一个长方形。长方形的长等于圆柱的高，宽等于截平面与圆柱相交的弦长。当截平面经过圆柱的轴线时，弦长等于直径，此时截面为最大的长方形(若高等于直径则为正方形)。 (3)椭圆截面：截平面与圆柱的轴线既不平行也不垂直(倾斜截切)，截面是一个椭圆。倾斜角度越大，椭圆越扁。 补充说明：圆柱的截面不可能得到三角形，因为圆柱的侧面是曲面，不存在棱，截平面与侧面相交得到的是曲线而非直线。 [命题意图] 本题考查圆柱截面的分类判断，要求学生根据截平面的不同位置分析截面形状，培养空间想象力和分类讨论能力，同时理解曲面与平面的区别。 💡思维路径：圆柱有两个底面(圆形)和一个侧面(曲面)。截平面与底面平行时截出圆——这是最直观的。截平面竖直时，与两个底面各交出一条直线，与侧面交出两条直线(母线)，围成长方形。截平面倾斜时，与侧面交出曲线，形成椭圆。关键在于：圆柱侧面是曲面，所以截面边界含曲线，不可能出现三角形这种全直边的截面。 【题型三】三视图画法与还原 例3 一个由小正方体搭成的几何体，从正面看有3列，每列小正方形个数分别为1、2、1(从左到右)；从上面看有3列，每列小正方形个数分别为1、1、1(从左到右排成一行)。画出从左面看的图形，并说明这个几何体最少由几个小正方体组成。 图4：小正方体组合体及其三视图 【答案】从左面看是2个正方形竖直排列(1×2)；这个几何体最少由4个小正方体组成。 【解析】 第一步：根据俯视图确定位置。俯视图为1×3排列(一行三列)，说明几何体有3列小正方体，从左到右排列在同一行上。 第二步：根据主视图确定高度。主视图从左到右每列高度为1、2、1，即第1列1层、第2列2层、第3列1层。 第三步：确定几何体结构。 第1列：1个小正方体(1层) 第2列：2个小正方体叠放(2层) 第3列：1个小正方体(1层) 总数：1 + 2 + 1 = 4个小正方体 第四步：画左视图。从左面看，几何体的高度取决于最高的列。第2列有2层，其余列1层。从左面看只能看到2层(最高层为2)，所以左视图是2个正方形竖直排列(1列，高2)。 验证：主视图高 = 左视图高 = 2(高平齐✓)；俯视图宽 = 左视图宽 = 1(宽相等✓)。 [命题意图] 本题综合考查三视图的画法与几何体还原，要求学生运用长对正、高平齐、宽相等的对应关系进行空间推理，培养几何直观和逻辑推理能力。 💡思维路径：先从俯视图"读位置"——确定小正方体在水平面上的排列方式。再从主视图"读高度"——确定每一列叠放了几层。然后就能算出小正方体的总数。画左视图时，关键看"从左面看能看到几列几层"——由于三列在前后方向只排了一行，从左面看只能看到一列，高度取最大值2层。最后用"高平齐"和"宽相等"验证，形成闭环。 四、分层检测 【基础检测】 1. 用平面截正方体，截面可以是________边形、________边形、________边形、________边形。 【答案】三；四；五；六 【解析】正方体有6个面，截面经过几个面就是几边形。截面经过3个面得三角形，4个面得四边形，5个面得五边形，6个面得六边形。截面不可能少于三边形(至少3个面才能围成封闭图形)，也不可能超过六边形。 2. 圆柱的截面不可能是( ) A. 圆形 B. 长方形 C. 三角形 D. 椭圆 【答案】C 【解析】圆柱的侧面是曲面，截平面与侧面相交得到曲线，不会产生直线棱。因此截面不可能出现三角形(三角形需要三条直线边)。水平截得圆形，竖直截得长方形，斜截得椭圆，都是可能的。 3. 从正面、左面、上面观察一个正方体，得到的三个视图都是________。 【答案】正方形 【解析】正方体的长、宽、高都相等，从任何方向看(正面、左面、上面)，看到的都是一个同样大小的正方形。 4. 一个几何体从上面看是圆形，从正面看也是圆形，这个几何体可能是________。 【答案】球(或圆柱) 【解析】球从任何方向看都是圆形，符合条件。圆柱从上面看是圆形(底面)，从正面看也是圆形(当圆柱较高时，正面看到的是长方形，但如果圆柱较矮或理解为轮廓线，也可以得到圆形。最准确的答案是球)。最标准的答案是球。 5. 画出一个圆柱的主视图、左视图和俯视图(用文字描述三个视图的形状)。 【答案】主视图：长方形；左视图：长方形；俯视图：圆形。 【解析】圆柱竖直放置时：从正面看，看到的是一个长方形(高×直径)；从左面看，同样是一个长方形(高×直径)，且与主视图大小相同；从上面看，看到的是一个圆形(底面圆)。验证：主视图与左视图高平齐✓，主视图与俯视图长对正✓(长方形的宽=圆的直径)，左视图与俯视图宽相等✓。 【提升检测】 6. 用平面截正方体，最多可以得到几边形？为什么不能得到七边形截面？请说明理由。 【答案】最多可以得到六边形。不能得到七边形截面。 【解析】正方体共有6个面。截平面与正方体的面相交时，每经过一个面就产生一条交线(截面的一条边)，n条边围成n边形。因为正方体最多只有6个面，截平面最多只能与6个面相交，所以截面最多是六边形。要得到七边形需要截平面经过7个面，但正方体只有6个面，因此不可能得到七边形截面。 [命题意图] 本题考查截面边数与几何体面数的关系，要求学生理解截面边数的上限由几何体的面数决定，培养逻辑推理和说理能力。 💡思维路径：截面是几边形取决于截平面经过几个面——每经过一个面产生一条边。正方体只有6个面，所以截面最多经过6个面，最多是六边形。要得到七边形就需要经过7个面，但6 < 7，所以不可能。核心方法就是"数面数→定边数"。 7. 一个由小正方体搭成的几何体，从正面看是"田"字形(2×2排列)，从上面看是一个"一"字形(1×4排列)。这个几何体由几个小正方体组成？画出从左面看的图形。 【答案】这个几何体由8个小正方体组成。从左面看是2个正方形竖直排列(1列2层)。 【解析】 分析俯视图：1×4排列说明几何体有4列小正方体排成一行。 分析主视图：2×2"田"字形说明从正面看有2行2列，每列高度为2层。 结合两个视图：4列小正方体排成一行(前后只有1排)，每列2层，因此总个数为4×2=8个小正方体。 左视图：从前到后只有1排，所以从左面看只有1列；每列最高2层，所以左视图为1列2层，即2个正方形竖直排列。 验证：主视图高=左视图高=2(高平齐✓)；俯视图宽=左视图宽=1(宽相等✓)。 [命题意图] 本题考查由主视图和俯视图推断几何体结构并画出左视图的能力，综合运用三视图的对应关系进行空间推理。 💡思维路径：先从俯视图"读位置"——4列排成1行，说明前后只有1排。再从主视图"读高度"——2×2说明每列2层。总数=列数×每层数=4×2=8。画左视图时，前后只有1排所以只看到1列，高度取最大值2层。用"高平齐"和"宽相等"验证。 8. 深圳平安金融中心大楼的外形可以近似看作什么几何体？如果用一个竖直的平面从中间截开，截面大致是什么形状？请画出示意图并说明。 【答案】深圳平安金融中心大楼外形可近似看作棱柱(具体为四棱柱，即长方体)。用竖直平面从中间截开，截面大致是长方形。 【解析】深圳平安金融中心是一座超高层建筑，外形近似为四棱柱(长方体)，底面为矩形。用一个竖直的平面从正中间截开(截平面平行于建筑的侧面)，截面与两个底面各交出一条水平直线，与四个侧面中的两个侧面交出竖直直线，围成一个长方形。截面长对应建筑的高度，宽对应建筑的底面宽度。 示意图说明： 建筑外形：矩形底面，竖直向上延伸的柱体 竖直截面：长方形(高×底面宽) [命题意图] 本题将截面知识与深圳本土建筑结合，考查学生将实际物体抽象为几何体并分析截面的能力，体现数学与生活的联系，培养几何直观和应用意识。 💡思维路径：先把实际建筑"翻译"为几何模型——平安金融中心外形近似的四棱柱。再思考截平面与四棱柱哪些面相交：竖直平面平行于侧面，与上下两个底面各交一条线，与两个侧面各交一条线，共4条线围成长方形。这就是"数经过的面数→定截面形状"的方法在棱柱上的应用。 【探究检测】 9. 探索截面的奥秘： (1) 用平面截三棱柱(即三角柱)，可以得到哪些形状的截面？请列举至少4种。 (2) 比较正方体和三棱柱的截面，你发现了什么规律？(提示：截面最多是几边形与什么有关？) (3) 从"对应"和"统一"的角度，描述几何体面数与截面边数之间的关系。 【答案】(1) 三角形、四边形、五边形。(2) 截面最多是几边形与几何体的面数有关，面数越多，截面可能的边数越多。(3) 截面边数 ≤ 几何体面数。 【解析】 (1) 三棱柱共有5个面(2个三角形底面 + 3个四边形侧面)，因此截面可以是： • 三角形：截平面平行于底面截切，经过3个侧面，得到与底面相同的三角形。 • 四边形：截平面经过3个侧面和1个底面(共4个面)，得到四边形。 • 五边形：截平面经过全部5个面(2个底面 + 3个侧面)，得到五边形。 因此，三棱柱的截面可以是三角形、四边形或五边形(列举3种，其中三角形又可分为不同类型的三角形)。 (2) 规律发现： • 正方体有6个面，截面最多是六边形(6边形)。 • 三棱柱有5个面，截面最多是五边形(5边形)。 • 规律：截面最多是几边形 = 几何体的面数。截面经过几个面就是几边形，而截面最多经过所有面，所以截面最大边数等于几何体的面数。 (3) 对应与统一的描述： • 对应关系：截面边数 ↔ 截平面经过的面数。每经过一个面，截面多一条边，这是一一对应的。 • 统一关系：对于任意多面体，截面边数 ≤ 多面体面数。无论几何体形状如何，这一规律统一成立。 • 更一般地：设多面体有n个面，则截面可以是三边形、四边形、…、n边形，截面边数的最大值等于面数n。 [命题意图] 本题以探究性任务的形式，引导学生从特殊(正方体、三棱柱)到一般(任意多面体)发现截面边数与几何体面数的规律，培养归纳推理能力和数学抽象能力，体现对应和统一的思维维度。 💡思维路径：先从具体例子入手——正方体6个面最多截六边形，三棱柱5个面最多截五边形。然后归纳发现规律：截面最大边数 = 几何体面数。这是因为截面每经过一个面就产生一条边，最多经过全部面。最后从"对应"角度理解(面数↔边数一一对应)，从"统一"角度概括(所有多面体都满足截面边数≤面数)。这就是从"看结构"到"做压缩"再到"求证明"的完整思维路径，体现了从特殊到一般的归纳推理。 五、四维认知小结 请从以下四个维度对本专题进行总结： 翻译：将三维几何体"翻译"为二维截面图或三视图(空间→平面的表征转换)。截面是将立体"切开看里面"，三视图是将立体"投影看外面"，两种方式都是空间到平面的翻译。 对应：截面边数 ↔ 截平面经过的面数(每经过一个面产生一条边)；三视图 ↔ 几何体的长/宽/高(主视图对应长和高，左视图对应宽和高，俯视图对应长和宽)。 转化：截面是"用平面截"(主动切割)，三视图是"从方向看"(被动观察)，两种方式都是将三维转化为二维。截面将立体问题转化为多边形问题，三视图将立体问题转化为平面图形问题，都是降维转化的体现。 统一：无论截面还是三视图，本质都是"高维→低维"的降维思维，核心不变量是几何体的结构特征。截面的边数不超过几何体的面数，三视图的尺寸受几何体长宽高约束，这些不变量在降维过程中保持不变，体现了统一性。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $