4.4.3两个一次函数图象的应用（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两个一次函数图象的应用”，通过复习一次函数性质、《龟兔赛跑》故事导入及销售收入与成本图象的课前检测，搭建从一次函数性质到实际应用的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于结合行程、费用等生活情境，通过数形结合分析交点意义和图象位置关系，培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（推理解决问题）和数学语言（函数表达式描述规律）。实例丰富如费用方案比较题，分层练习适合不同学生，助力学生提升应用能力，教师可高效开展分层教学与重难点巩固。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第四章 一次函数 4.4.3两个一次函数图象的应用 2026年8月1日 北师大版八年级上册4.4.3两个一次函数图象的应用练习题 本套练习题紧扣4.4.3两个一次函数图象的应用核心考点，重点考查两条一次函数图象的交点意义、利用两个函数模型对比分析实际问题、根据图象判断数量大小关系、求解相遇与追赶问题、费用方案比较等经典题型。本节重在利用数形结合思想，通过两个一次函数图象解决双重变量的实际情境问题，习题分层设置，贴合课本重难点，适合课后巩固与专项拔高训练。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 在同一个平面直角坐标系中，两条一次函数图象的交点坐标，同时满足________个函数解析式。 2. 两个一次函数图象的交点横、纵坐标，对应实际问题中两种数量________的时刻与数值。 3. 在图象中，位于上方的函数图象对应的函数值更________，下方的图象对应的函数值更________。 4. 行程问题中，两个匀速运动的一次函数图象交点，代表两车________的时刻。 5. 费用对比问题中，交点左侧通常一种方案更优惠，交点右侧________方案更优惠。 6. 若直线y₁=k₁x+b₁与y₂=k₂x+b₂交于点（4，12），则当x=4时，y₁________y₂。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 两条一次函数图象的交点坐标表示的意义是（） A. 两个函数值相等 B. 自变量为0 C. 函数值为0 D. 无特殊意义 2. 在同一坐标系中，若y₁图象在y₂上方，则当x取对应值时（） A.y₁＞y₂ B.y₁＜y₂ C.y₁=y₂ D.无法比较 3. 甲、乙两车匀速行驶图象相交，下列说法正确的是（） A. 两车速度相同 B. 两车在此刻路程相等 C. 两车同时出发 D. 两车终点相同 4. 当两个一次函数图象无交点时，两条直线的位置关系是（） A.相交 B.平行 C.垂直 D.重合 5. 费用函数图象中，交点是两种收费方案的（） A.最贵点 B.最便宜点 C.费用分界点 D.固定点 三、中档解答题（每题10分，共30分） 1. 已知两个一次函数y₁=2x+1，y₂=-x+4，求两个函数图象的交点坐标。 2. 甲、乙两人骑行，路程y（千米）与时间x（小时）均为一次函数关系，两图象交于（2，12），说明该交点的实际意义。 3. 两种手机套餐费用分别为y₁=10x+20、y₂=5x+50（x为使用时长），求两种套餐费用相等时的使用时长。 四、拓展提升题（20分） 甲、乙两车从同一地点出发，甲车先出发匀速行驶，路程函数为y₁=40x；乙车晚出发追赶，路程函数为y₂=60x-60。（1）求两车相遇的时间与路程；（2）分析相遇前后谁的行驶路程更远。 参考答案及简要解析 一、填空题 1.两；2.相等；3.大、小；4.相遇；5.另一种；6.=。核心：交点是两个函数值相等的临界点，是对比两类问题的关键。 二、选择题 1.A 2.A 3.B 4.B（平行直线k相等，无交点） 5.C（交点为费用优劣分界点）。 三、解答题 1.联立方程2x+1=-x+4，解得x=1，y=3，交点坐标（1，3）。2.实际意义：骑行2小时时，甲、乙两人行驶路程相等，均为12千米。3.令y₁=y₂，10x+20=5x+50，解得x=6，使用时长为6小时时费用相等。 四、拓展题 （1）联立y₁=y₂，40x=60x-60，解得x=3，y=120，出发3小时后相遇，路程120千米；（2）x＜3时甲车路程远，x＞3时乙车路程远。 核心知识点总结：两个一次函数图象应用的核心是读懂交点意义与图象上下位置关系。交点对应两类变量数值相等的临界状态，图象上下位置直接反映函数值大小，常用于行程追赶、方案优选、费用对比等实际题型，是数形结合思想的典型应用。 能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系. 进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；在解决实际问题过程中，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识. 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣. 复习导入 想一想一次函数具有什么性质? 在一次函数 中: 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限. 当 时，y随x的增大而减小， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限. 一级标题：黑体， 3 02 故事导入 《龟兔赛跑》 时间(分) 起点 0 终点 1200 路程(米) 20 60 40 70 小树 800 关于这个故事你能提出那些数学问题?并解答自己的问题. 02 故事导入 乌龟 兔子 （1）这一次是 　 米赛跑。 （2）那条直线表示兔子的图象？ 哪条直线表示乌龟的图像？ （3）当乌龟到达终点时，兔子到 终点还需要 　 分钟。 （4）兔子睡觉前的速度是 ，睡觉后的速度是 。 乌龟的速度是 。 （5）乌龟和兔子在 分钟处于同一位置，这位置距离终点 米 时间(分) 起点 0 终点 1200 20 60 40 70 小树 800 1200 10 40米/分 40米/分 20米/分 20 400 03 课前检测 如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： 03 课前检测 （1）当销售量为2t时，销售收入＝　 元，销售成本= 　 　 元. 2000 3000 （2）当销售量为6t时，销售收入＝ 　 　元， 销售成本＝　 　　元。 6000 5000 （3）当销售量等于　　时，销售收入等于销售成本. 4t （4）当销售量　　　　　时,该公司赢利 (收入大于成本)；当销售量　　　　　时, 该公司亏损(收入小于成本)； 大于4t 小于4t 03 课前检测 (6)L1对应的函数表达式是 　　　　　　　　， L2对应的函数表达式是 　　　　　　　　，　　　　 y=1000x y=500x+2000 （5）当销售量等于　　时，该公司盈利1000元. 6t 03 课前检测 （7）由于收入与销售量的关系式是Y=1000x, 成本与销售量的关系式是y=500x+2000 利用关系式验证当销售量等于6吨时，该公司盈利1000元. 解：1000x-(5000x+2000)=1000 500x-2000=1000 500x=3000 x=6 所以当销售量等于6吨时，该公司盈利1000元 知识点 两个一次函数图象的应用 （第1题） 1.如图， 反映了某产品的销售收入与销 售量之间的关系， 反映了该产品的销售 成本与销售量之间的关系，根据图中信 息判断两个函数图象的交点表示的实际 意义为______________________。 销售收入等于销售成本 返回 举一反三 10 2.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，甲、乙两卡所需费用 （元），（元）与入园次数（次）的函数关系如图所示。当 满足 ________时， 。 （第2题） 返回 举一反三 11 3.［教材习题 变式］ 一艘轮船和一艘快艇沿 相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化 的图象如图所示，下列结论错误的是( ) C A.轮船的速度为 B.轮船比快艇先出发 C.快艇的速度为 D.快艇比轮船早到 返回 举一反三 12 03 新知探究 收入与销售量的关系式是Y=1000x, 成本与销售量的关系式是y=500x+2000 1000,500,2000实际意思是什么？ 1000的实际意义是每销售1吨收入1000元 500的实际意义是每销售1吨需要成本500元 2000表示固定成本，与销售量无关，如租金、设备折旧等。 03 新知探究 2条一次函数图像获取信息解决问题 课本第99页例题3：图4--11是某景区游览线路图，甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿游览线路追赶乙，图4-12中 分别是两人分别到观景台1的路程S(单位：m)和时间t(单位min)之间的关系， 03 新知探究 假设两人的速度保持不变，回答下列问题 （1）哪条直线表示甲到观景台1路程与追赶时间的关系？ 当t=0，甲到观景台1的路程s=0，所以 是甲到观景台1路程与追赶时间的关系。 （2）甲、乙两人的速度哪个快？ t从0增加到20时， 甲从0增加到1000，速度是1000÷20=50m/min 乙从800到1400，速度是（1400-800）÷20=30m/min， 所以甲速度快。 03 新知探究 （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否追上乙？ 延长 ，可以看出t=30时 对应点 在 下方，说明30min甲没有追上乙。 （3）30min甲能否追上乙 到达观景台3， 交点纵坐标小于 800+1300=2100（m),这说明甲能够在 到达观景台3前能够追上乙 03 新知探究 （5）甲追上乙的时间是多少？ 此时甲、乙分别走了多少米？ 甲速度50m/min,乙速度30m/min, 甲追上乙应该多走800m, 所以追及时间=800÷（50-30）=40(min) 此时甲走40×50=2000（m) 乙走了40×30=1200（m) 03 新知探究 （6）图中的点P的含义是什么？ P点的含义是甲刚好追上乙。 （7）写出 的代数式，代数式中的K 值和b值分别是多少？各表示什么意义？ 的代数式是S=50t,K=50,表示甲的速度。 的代数式是S=30t+800,K=30,表示乙的速度。 b=800,表示观景台1和观景台2之间的距离。 知识要点1 图像法；直观分析问题中的变化趋势，图像位置、交点位置、参数K值和b值的含义。 应用一次函数解决问题的方法 代数法 根据一次函数的解析式，分析函数的增减性， 建立模型，利用一元一次方程求解与x轴、y轴的交点，利用一元一次方程组求解交点坐标。 4.［教材 问题变式］某手工作坊生产并销售某种 食品，假设销售量与产量相等，如图所示的线段 ，分别表示每天生产成本（元）、收入 （元）与产量 之间的函数关系。 （1）分别求出,关于 的函数表达式； 解：设，将代入，得，再将 代 入，易得，所以。设 ，把 代入，得，解得，所以 。 举一反三 20 （2）若该手工作坊每天工作，每小时生产 食品，则一天可获 利润为多少元？ 解：设一天可获利润为 元， 则 。由题意得 ，所以 ， 所以一天可获利润为1 040元。 返回 举一反三 21 （第5题） 5.［2024济南中考］某公司生产了， 两款新 能源电动汽车。如图，,分别表示款， 款 新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 与汽车行驶路程 的关系。当两 款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能 源电动汽车电池的剩余电量多____ 。 12 返回 举一反三 22 （第6题） 6. 假期将至，某游泳俱乐部面向学 生推出这个假期的优惠活动，活动方案如下：方案一， 购买一张学生假期专享卡，每次游泳费用按六折优惠； 方案二，不购买学生假期专享卡，每次游泳费用按八 折优惠。设某学生假期游泳 次，按照方案一 所需总费用为（元），且 ； C A.5 B.7 C.6 D.8 按照方案二所需总费用为（元），且 ，其函数图象 如图所示。若某位学生发现他购买与不购买假期专享卡所需总费用相同， 则他去游泳的次数 是( ) 返回 举一反三 23 7.［教材习题 变式］如图，甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线 由地行驶到地，两地之间的路程是 ，请根据图象解决下列问题： 举一反三 24 （1）求出甲行驶的路程与甲行驶的时间 之间的函数表达式； 解：设甲行驶的路程与甲行驶的时间 之间的函数表达式为 ， 因为该函数图象经过点 ， 所以，解得，所以甲行驶的路程 与甲行驶的时 间之间的函数表达式为 。 举一反三 25 （2）已知乙行驶的路程与甲行驶的时间 之间的函数表达式 为，若甲、乙都在行驶中且甲与乙相距的路程为 ， 求 的值。 解：甲、乙都在行驶中且甲与乙相遇前相距的路程为 时， ，解得 ； 甲、乙都在行驶中且甲与乙相遇后相距的路程为 时， ，解得 ， 所以甲、乙都在行驶中且甲与乙相距的路程为时， 的值为3.6或 4.4。 返回 举一反三 26 8.［教材习题 变式］ 为落实“双减”政策，丰富课 后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育 用品，两个体育专卖店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价的8.5折出售； 乙：购买商品总额不超过300元时，按原价出售；超过300元时，超过的 部分打7折。 举一反三 27 设需要购买体育用品的原价总额为 元，去甲体育 专卖店购买实付 元，去乙体育专卖店购买实付 元，其函数图象如图所示。 （1）分别求出，关于 的函数表达式； 解：由题意可得 。 当时， ； 当时， 。 举一反三 28 （2）两图象交于点，则点 的坐标为___________； [解析] 点拨：令,解得 。 将代入 ， 得 ， 即点的坐标为 。 举一反三 29 （3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品 更合算。 解：当 时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算； 当 时，去两个体育专卖店购买体育用品一样合算； 当 时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算。 返回 举一反三 30 05 课堂小结 一次函数的运用 直观分析问题中的变化趋势，图像位置、交点位置、参数K值和b值的含义。 图像 根据一次函数的解析式，分析函数的增减性， 建立模型，利用一元一次方程求解与x轴、y轴的交点，利用一元一次方程组求解交点坐标。 关系式 谢谢观看 THANKS $