4.4.3　借助两个一次函数图象解决实际问题 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“借助两个一次函数图象解决实际问题”，通过销售、行程、决策等实际案例，引导学生先观察图象获取信息，再结合函数表达式解决问题，衔接一次函数概念与图象性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实问题为载体，发展数学眼光（观察图象交点、增减趋势）、数学思维（推理数量关系、运算求解）和数学语言（构建函数模型）。如销售问题通过图象交点判断盈利临界点，行程问题用表达式求追及时间。采用探究式教学，小结梳理“观察图象-求表达式-解决问题”逻辑，助力学生提升应用能力，为教师提供丰富案例与清晰教学思路。

第四章　一次函数 第3课时 借助两个一次函数图象解决实际问题 4 探究与应用 如图4-4-13,l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系,l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系,根据图象回答下列问题: (1)当销售量为2 t时,销售收入为　　　元, 销售成本为　　　　元.  应用1　借助图象解决销售问题 2000 图4-4-13 例 1 3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)当销售量为6 t时,销售收入为　　　　元,销售成本为 　　　　元.  (3)当销售量　　　　时,销售收入等于销售成本.  (4)当销售量　　　　时,销售收入大于销售成本,该公司赢利;当销售量　　　　时,销售收入小于销售成 本,该公司亏损.  图4-4-13 6000 5000 等于4 t 大于4 t 小于4 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图4-4-13 (5)当销售量为　　　　t时,该公司赢利1000元.  (6)l1对应的函数表达式是　 　　　,l2对应的函数表达式是 　　 　　　　.  (7)你能借助(6)的结论求解(5)吗? 6 y=1000x y=500x+2000 (7)能.由1000x-(500x+2000)=1000,解得x=6. 因此,当销售量等于6 t时,该公司赢利(收入减成本)1000元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在同一坐标系中,同时出现两个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关系,交点坐标,获取其中要表达的信息,进而解决有关问题. 学 方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 思考交流 图4-4-13中,设l1对应的一次函数为y=k1x+b1,k1和b1的实际意义各是什么?设l2对应的一次函数为y=k2x+b2,k2和b2的实际意义各是什么?与同伴进行交流. 解:k1的实际意义为每销售1 t产品的销售收入,b1的实际意义为未销售时,销售收入为0元;k2的实际意义为每销售1 t产品的销售成本,b2的实际意义为未销售时,销售成本为2000元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 例 2 (教材典题)图4-4-14①是某景区游览路线示意图.甲在观景台1联系乙,发现乙在观景台2,于是沿着游览路线追赶乙.图②中l1,l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. 应用2　借助图象解决行程问题 图4-4-14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　假设甲、乙两人保持现有的速度,根据图象回答下列问题: (1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系? 图4-4-14 解:(1)当t=0时,甲到观景台1的路程为0 m,即s=0,故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图4-4-14 (2)甲和乙哪个人的速度快? (2)t从0增加到20时,l1上点的纵坐标增加了1000,l2上点的纵坐标增加了600,即20 min内,甲行走了1000 m,乙行走了600 m,所以甲的速度快. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图4-4-14 (3)30 min内甲能否追上乙? (3)如图,延长l1,l2,可以看出,当t=30时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,30 min时甲尚未追上乙. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (4)到达观景台3后道路分岔,甲能否在到达观景台3前追上乙? 图4-4-14 (4)如图,l1与l2交点P的纵坐标小于(800+1300)=2100,这说明,甲能在到达观景台3前追上乙. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 图4-4-14 (5)设l1与l2对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1与s=k2t+b2,k1,k2的实际意义各是什么?甲、乙两人的速度各是多少? (5)k1表示甲的速度,k2表示乙的速度.甲的速度是50 m/min,乙的速度是30 m/min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 变式 (1)请用其他方法解决例2(1)~(4)(写出解决方法即可,不用写具体解题过程); (2)借助函数表达式求出甲追上乙的时间. 解:(1)可用代数方法求解,先分别求出l1,l2对应的速度,于是例2(1),(2)立即解决,(3),(4)可根据解决行程问题的一般方法求解.(合理即可) (2)l1的函数表达式为s=50t,l2的函数表达式为s=30t+800,由50t=30t+800,解得t=40, 因此,甲追上乙的时间为40 min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 应用3　借助图象解决决策问题 某单位要印制“市民文明出行,遵守交通安全”的宣传材料.甲、乙两印刷厂的收费y甲(元)、y乙(元)与印制数量x(份)之间的关系如图4-4-15所示. (1)分别写出两个印刷厂的收费 y甲(元)、y乙(元)与印制数量x(份) 之间的关系式(不用写出自变量 的取值范围); 例 3 图4-4-15 解:(1)y甲=2x+1000,y乙=3x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)当印制多少份宣传材料时,两个印刷厂的收费相同?此时费用为多少? (2)当y甲=y乙时,可得2x+1000=3x,所以x=1000,此时y甲=y乙=3000,所以当印制1000份宣传材料时,两个印刷厂的收费相同,此时费用为3000元. 图4-4-15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)结合图象回答:选哪家印刷厂印制宣传材料更省钱? (3)由图象可知,当印制宣传材料不足1000份时,选择乙印刷厂更省钱;当印制宣传材料为1000份时,两家费用都一样;当印制宣传材料超过1000份时,选择甲 印刷厂更省钱. 图4-4-15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 看图象作决策 巧 总结 图像 获取信息 当自变量的取值为x0时，两个函数值相等，都是 y0.当自变量x>x0时，函数值y1>y2，即对于同一自变量x的值，图象在上方的函数值大.当自变量的值x<x0时，函数值y1<y2，即对于同一自变量x的值,图象在下方的函数值小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $