2.3.1二次根式及乘除运算法则（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的定义、双重非负性、乘除运算法则及最简二次根式，通过“旧识回顾”复习平方根与算术平方根性质，结合“探究一”从具体实例抽象概念，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以计算器计算实例归纳乘除法则培养推理意识，结合中考题与讲练结合强化应用意识，通过双重非负性等核心考点渗透抽象能力。学生能夯实基础提升运算能力，教师可借助系统资源高效教学。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第二章 实数 2.3.1二次根式及乘除运算法则 2026年8月1日 2.3.1 二次根式及乘除运算法则（新北师大版八年级上册） 在学习平方根的基础上，本节课正式学习二次根式的定义、取值要求、最简二次根式标准，以及二次根式的乘法、除法核心运算法则。本节是根式计算的基础，是后续根式化简、混合运算、求值题型的必考核心内容。 一、二次根式的定义 一般地，形如 $$\sqrt{a}$$（$$a\geq0$$）的式子叫做二次根式。 两大判断条件（缺一不可）： 1. 根指数为2（可省略不写）； 2. 被开方数 $$a$$ 是非负数，即 $$a\geq0$$。 二、二次根式的双重非负性（必考考点） 二次根式 $$\sqrt{a}$$ 具有双重非负性： 1. 被开方数非负：$$a\geq0$$； 2. 根式结果非负：$$\sqrt{a}\geq0$$。 经典结论：几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。（常考填空、解方程） 三、二次根式两大基础公式 1. $$(\sqrt{a})^2=a \ \ (a\geq0)$$ 2. $$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a & (a\geq0)\\-a & (a<0)\end{cases}$$ 易错区分：平方再开方必须加绝对值，开方再平方直接等于被开方数。 四、最简二次根式（化简标准） 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 解读：根号内无分数、无平方数，不能再拆分化简。 五、二次根式乘除运算法则（核心重点） 1. 乘法法则 $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab} \ \ (a\geq0,b\geq0)$$ 口诀：根式相乘，被开方数相乘，根号不变。 逆用（化简核心）：$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \ \ (a\geq0,b\geq0)$$，用于拆分大数化简根式。 2. 除法法则 $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \ \ (a\geq0,b>0)$$ 口诀：根式相除，被开方数相除，根号不变。 逆用：$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ \ (a\geq0,b>0)$$，用于化简分数型根式。 六、根式化简常用思路 1. 拆分被开方数，分离出平方因数； 2. 利用乘法逆运算法则开方； 3. 结果必须化为最简二次根式。 七、典型例题精讲 例题1：判断下列式子是否为二次根式： $$\sqrt{5}、\sqrt{-2}、\sqrt{x}(x<0)、\sqrt{0}$$ 解析：是二次根式：$$\sqrt{5}、\sqrt{0}$$； 负数不能开平方，$$\sqrt{-2}、\sqrt{x}(x<0)$$不是二次根式。 例题2：乘法化简计算 $$\sqrt{2}\times\sqrt{8}$$、$$\sqrt{3}\times\sqrt{12}$$ 解析： $$\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$$ $$\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$$ 例题3：除法化简计算 $$\sqrt{\frac{16}{9}}$$、$$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$$ 解析： $$\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}$$ $$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$$ 例题4：根式化简 $$\sqrt{48}$$、$$\sqrt{50}$$ 解析： $$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$ $$\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$ 八、同步专项练习题 1. 填空：二次根式 $$\sqrt{x-3}$$ 有意义，则 $$x$$ 的取值范围是______。 2. 计算： （1）$$\sqrt{5}\times\sqrt{20}$$ （2）$$\sqrt{\frac{25}{16}}$$ （3）$$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$$ 3. 化简为最简二次根式：$$\sqrt{72}$$、$$\sqrt{28}$$、$$\sqrt{\frac{1}{2}}$$ 4. 判断正误： （1）$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$ 对任意实数成立； （2）被开方数含分数的根式不是最简二次根式。 九、参考答案与解析 1. 解析：由 $$x-3\geq0$$，得 $$\boldsymbol{x\geq3}$$。 2. 解析： （1）$$\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10$$ （2）$$\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$$ （3）$$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4$$ 3. 解析： $$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$，$$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$$，$$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 4. 解析：（1）错误（需满足 $$a\geq0,b\geq0$$）；（2）正确。 十、本节必考易错点 1. 忽略二次根式有意义的条件：被开方数必须大于等于0； 2. 乘除法则不能随意乱用，必须保证被开方数非负； 3. 化简根式不彻底，残留可开方因数，结果必须化为最简； 4. $$\sqrt{a^2} eq a$$，必须根据正负去绝对值； 5. 除法法则分母不能为0，开方分母必须大于0。 通过掌握二次根式的概念，能确定被开方式中字母的取值范围，理解二次根式的双重非负性，提高学生的理解能力． 通过借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想 通过从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，发展应用意识； 旧识回顾 1．什么是平方根？ 2．什么是算术平方根？ 3．算术平方根的性质是什么？ 平方根又叫二次方根，表示为± 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根 双重非负性： ≥0(a≥0)．互逆性： ＝|a|＝ ( )2＝a(a≥0) 03 新知探究 探究一 二次根式概念 上面各式的共同特点是什么？ 都是二次根式，被开方数都是非负数. 03 讲练结合 请指出下列哪些是二次根式？ 二次根式有：（1）；（4）；（5）；（8） 03 讲练结合 x取何值时,下列二次根式有意义? （1） ； （2）； （3）； （4）; （ 5）; (6) 解 （1）x≥1 （2）x≤0 （3）x为任意实数 （4） x>0 （5）x≥0 （6）x≠0 知识点1 二次根式的定义及其有意义的条件 1.下列各式中，是二次根式的是( ) A A. B. C.2 D. 返回 举一反三 7 2.［2024常州中考］若二次根式有意义，则 可取的值是( ) D A. B.0 C.1 D.2 返回 举一反三 8 03 新知探究 探究二 二次根式乘除法计算法则 6 6 20 用计算器计算下列各式，你能得到什么猜想? 20 = = 知识要点2 二次根式乘除法计算法则 强调:用字表示二次根式乘除法计算法则，注意字母的取值范围。 03 新知讲解 例1 计算下列各题（课本第42页例题1） 知识点2 二次根式的乘法 3.对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ，该运算法则成 立的条件是( ) D A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 12 4.［2024湖南中考］计算 的结果是( ) D A. B. C.14 D. 返回 举一反三 13 5.［2024南通中考］计算 的结果是( ) B A.9 B.3 C. D. 返回 举一反三 14 03 新知讲解 计算下列各题（课本第42页例题2） 6.下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 16 7.［2024天津中考］计算 的结果为____。 10 返回 举一反三 17 8.［教材P随堂练习T 变式］ 计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） ； 解：原式 。 举一反三 18 （4） ； 解：原式 。 （5） 。 解：原式 。 返回 举一反三 19 知识点3 二次根式的除法 9.［2025西安三中月考］计算 的结果是( ) B A.4 B.2 C.3 D. 返回 举一反三 20 10.某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为 ，则另一条直 角边长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 21 二次根式 · = (a≥0，b≥0)， =(a≥0，b>0). 一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数. 乘除运算法则 定义 课堂小结 谢谢观看 THANKS $