第二章 实数【章末复习】 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了实数的分类、性质及运算，涵盖有理数与无理数、平方根与立方根、二次根式等核心内容，通过知识结构表将各节次从概念到运算的逻辑脉络串联，构建完整知识网络。 其亮点在于结合高频易错汇总与对比表格，如算术平方根、平方根、立方根的性质对比培养抽象能力，“夹值法”估算及变式训练（如无理数判断、二次根式化简）发展推理意识，分层练习设计让学生巩固知识，助力教师精准复习教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 章末复习 第二章 实数 第二章 实数 全章精讲总结（北师大版八年级上册） 2.1 认识实数 1. 有理数与无理数 有理数：整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数。包含正整数、0、负整数、分数。 无理数：无限不循环小数，无法化成分数。常见四类：开方开不尽的数、π及含π的式子、特殊无限不循环小数、无法化简的无理式。注意：带根号的数不一定是无理数，如$$\sqrt{4}=2$$是有理数。 2. 实数的分类 按定义分：实数分为有理数、无理数；按正负分：正实数、0、负实数。0是有理数，非正非负。 3. 实数核心性质 实数与数轴上的点一一对应（有理数不满足）。数轴上右边的数大于左边的数，大小规律：正实数＞0＞负实数。 全体实数适用相反数、绝对值、倒数性质：实数$$a$$的相反数为$$-a$$，绝对值$$|a|\ge0$$，非零实数有倒数，0无倒数。 2.2 算术平方根与平方根 1. 算术平方根 定义：若正数$$x^2=a$$，则$$x$$为$$a$$的算术平方根，记作$$\sqrt{a}$$，0的算术平方根为0。 核心：双重非负性$$a\ge0，\sqrt{a}\ge0$$。公式：$$(\sqrt{a})^2=a(a\ge0)$$，$$\sqrt{a^2}=|a|$$。 2. 平方根 定义：若$$x^2=a$$，则$$x$$为$$a$$的平方根，记作$$\pm\sqrt{a}$$。 性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数无平方根。 核心区别：算术平方根唯一非负，平方根正负成对，审题务必区分。 2.3 立方根与估算 1. 立方根 定义：若$$x^3=a$$，则$$x$$为$$a$$的立方根，记作$$\sqrt[3]{a}$$。 性质：全体实数都有唯一立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。 公式：$$(\sqrt[3]{a})^3=a$$，$$\sqrt[3]{a^3}=a$$，$$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$$（负号可直接移出）。 2. 无理数估算 核心方法：夹值法。平方根估算找相邻完全平方数，立方根估算找相邻完全立方数，锁定无理数取值范围。 通用公式：无理数小数部分 = 原无理数 − 整数部分，小数部分恒满足$$0\le$$小数部分$$<1$$。可通过估算实现实数大小比较。 2.4 二次根式及四则运算 1. 二次根式基础 定义：形如$$\sqrt{a}(a\ge0)$$的式子，具备双重非负性。最简二次根式要求：被开方数无分母、无开得尽方的因数。 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式，是加减运算的核心前提。 2. 二次根式乘除运算 乘法：$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\ge0,b\ge0)$$ 除法：$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a\ge0,b>0)$$ 运算规则：系数、根式分开运算，结果化为最简二次根式。 3. 二次根式加减运算 运算步骤：先化简、再找同类、最后合并。仅同类二次根式可合并，规则：系数相加减，被开方数不变，非同类根式直接保留。 4. 四则混合运算与分母有理化 运算顺序：有括号先算括号，无括号先乘除后加减，同级从左到右。可活用平方差、完全平方公式简便运算。 分母有理化：分母含根式必须化简，单项分母乘本身，两项分母利用平方差公式化简，保证结果最简。 第二章 高频易错总汇总 1. 混淆平方根与算术平方根，求平方根漏写负根； 2. 负数无平方根但有立方根，极易混淆两类根式取值范围； 3. $$\sqrt{a^2}=|a|$$化简漏加绝对值，符号出错； 4. 二次根式加减不化简直接运算，强行合并非同类根式； 5. 根式运算结果不化简、分母含根式，不符合答题规范； 6. 估算无理数小数部分时，忘记减去整数部分。 全章核心口诀 实数分有理无理，数轴对应唯一解； 平方根成对非负，立方根随原数走； 估算夹值定区间，小数部分判正负； 根式先化最简式，乘除全系加减类。 定义 性质 开立方 实数与数轴上的点一一对应 有理数与无理数 数轴 平方根 分类 算术平方根 实数的运算性质、运算法则、运算律与有理数相同 正实数、0、负实数 开平方 定义 定义 性质 性质 二次根式 立方根 二次根式的化简 二次根式的运算 运算 实数 本章知识结构 回顾与思考 无理数 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. 1 2 任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 3 估算无理数近似值的方法：“夹逼法”. 有理数和无理数有什么区别？分别举几个有理数和无理数的例子. 区别：任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 举例： 下列各数中，哪些属于有理数，哪些属于无理数？ 平方根 算术平方根： 1 2 平方根： ，一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根. 开平方：被开方数为非负数. 3 立方根 立方根： ，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0. 开立方：被开方数为任意实数. 1 2 3 算术平方根 平方根 立方根 表示方法 被开方数 a≥0 a≥0 a为任意数 性质 正数 正数（1个） 互为相反数（2个） 正数（1个） 0 0 0 0 负数 无 无 负数（1个） 是本身 0、1 0 0、1、-1 规律 开方运算与乘方运算有什么联系？举例说明. 开方运算是乘方运算的逆运算. a a 对于任何数a， －9的立方根是（ ） －3 ±3 没有立方根 C 对于任意一个直角三角形，已知其中两边的长，你能求出第三边的长吗？与同伴进行交流. 根据勾股定理 a2+b2=c2，已知其中两边的长，可以求出第三边的长. a b c 已知a、b，求c： 已知a、c，求b： 已知b、c，求a： 1. 在数轴上表示实数 如图，在长方形ABCD中，AB=3， AD=1，点A，B在数轴上， 若以点A 为圆心，以AC的长为半径作弧交数轴的正半轴与点M，则点M表示的数为( ). Rt△ABC BC=AD 点A表示-1 勾股定理 AM=AC A 2. 网格图中实数与勾股定理的综合运用 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上. 请按要求回答下列问题： （1）连接BC，线段BC的长度为______； （2）连接AB，AC，请你判断 △ABC的形状，并说明理由； （3）请计算△ABC的面积. 解：(2)连接AB，AC如图，△ABC是直角三角形. 理由：因为AB2=12+32=10，AC2=22+62=40，BC2=50，所以AB2+AC2=BC2. 因此，△ABC是直角三角形. (3)由(2)得 AB= ，AC = ，∠BAC=90°，所以△ABC的面积 为 估算 1 2 3 估算出所给无理数的近似值，再比较. 根据所要求的精确度，四舍五入确定最终估值. 利用估算比较两数大小：放缩法 、估算法、作差法、乘方法、作商法、倒数法. 你在生活中使用过估算的方法吗？你能用有理数估计一个无理数的大致范围吗？举例说明. 利用估算比较面积的大小， 利用估算判断材料是否够用等. 如估计 的大致范围： 0.62=0.36，0.72=0.49，所以0.6 < < 0.7. 1. 下列大小比较错误的是( ) A. ﹣2<﹣1 B. π< C. D. 2. 已知实数a为 的小数部分，b是9的平方根，则式子2b－a的值为__________________. C 注意：a= ，b=±3 实数 1 2 3 概念与性质：相反数、倒数、绝对值. 分类：根据概念——有理数和无理数； 根据性质符号——正实数、0、负实数. 数轴：实数和数轴上的点是一一对应的； 在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大. 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 4 有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用. 1. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（ ） A. a B. b C. c D.无法确定 0 1 2 3 -1 -2 -3 a b c 2. 的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_________. A 二次根式 二次根式： ，a可以是数或式； 最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式. 1 2 性质： 运算法则：先化简，再合并； 实数的运算法则、运算律对二次根式仍然适用. 3 举例说明如何化简二次根式. 如：化简 . 化：如果被开方数中的分母不是完全平方数，可以通过分数的基本性质，令分子、分母同时乘一个数，将分母化成完全平方数 分：把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式 移：把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外 1. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ） A. －2 B. 0 C. －2a D.2b 0 1 2 3 -1 -2 -3 a b 2. 若 ，则 =_______. A 2 举例说明二次根式的运算法则. 如： 例1 下面四个数中，属于无理数的是 ( ) A. 0 B. π C. D. -3.14 B 考点一 无理数的概念 中无理数的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 A 1. 下列各数 2. 一个长方形的长与宽分别是 6、3，它的对角线的长是( ) A. 整数 D. 无理数 C. 有理数 B. 分数 D 【变式训练1】 随堂练习 例2 有一个数值转换器，原理如下： 当输入的 x 为 81 时， 输出的 y 是 ( ) A. 9 B. C. 3 D. D 考点二 平方根与立方根 例3 下列说法正确的是 ( ) A. (-3)2 的平方根是 3 B. = ±4 C. 4 的算术平方根是 2 D. 9 的平方根是 3 C 随堂练习 3. 下列语句中正确的是（ ） A. -9 的平方根是 -3 B. 9 的平方根是 3 C. 9 的算术平方根是±3 D. 9 的算术平方根是 3 D 【变式训练2】 4. 下列运算中，正确的是（ ） A 考点二 平方根与立方根 随堂练习 6. 下列等式正确的是（ ） 【变式训练3】 例4 下列结果为 -1 的是 ( ) A. B. C. D. 例5 若 ，则 a = 。 C a = (-2)3 = -8 -8 考点二 平方根与立方根 D 随堂练习 例6 与 最接近的整数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 分析：32＜15＜42， 且 15 更接近 16， C 例7 已知 的整数部分为 a，则 2a - 1 = . 分析：∵ 22＜5＜32， ∴ 的整数部分 a 为 2. ∴ 2a - 1 = 3. 3 考点二 平方根与立方根 随堂练习 8. 估计 的值在 ( ) A. 5 到 6 之间 B. 6 到 7 之间 C. 7 到 8 之间 D. 8 到 9 之间 C 9. 已知 a 的立方根是 2，b 是 的整数部分， 则 a + b 的算术平方根是 . 分析： a = 23 = 8 32＜12＜42 → b = 3 a + b = 11 考点讲练 【变式训练4】 考点二 平方根与立方根 随堂练习 考点三 实数 1.实数的概念与分类 例7 将下列各数填入相应的集合中： 无理数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 正数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}。 随堂练习 2.实数的性质 例7 有下列语句： ① 带根号的数都是无理数； ② 任何实数的绝对值都是非负数； ③ 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数； ④ 若两个非负数的和为零，则这两个数都为零. 其中，错误的是 . ①③ 考点三 实数 随堂练习 3.实数的性质与大小比较 例8 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则 将它们用“ < ”连接是 . c d 0 b a 其中： c < d < b < a a + b -d - c b - c a - d | c－b|= | a－d|= 考点三 实数 随堂练习 11. 比较大小： 与 解：∵ (-2 + )-(-2+ ) = -2+ +2- = - ＞0， ∴ -2+ ＞-2+ 另解：直接由正负决定-2+ ＞-2+ 【变式训练5】 考点三 实数 随堂练习 4.实数的运算 例9 计算： (2) 原式 解：(1) 原式 = 3 + 1 - 3 + 6 = 7. = -1. 考点三 实数 随堂练习 1.二次根式有意义的条件 例10 若要使 有意义，则 x 的取值范围为 . 分析：被开方数为非负数 分母不为 0 → x - 4 ≠ 0 x≤3 → 3 - x ≥ 0 x≤3 考点四 二次根式 随堂练习 13. 已知 ，那么 xy = . 分析：被开方数为非负数 2x - 1≥0，1 - 2x≥0， ∴ y = 2. 1 考点四 二次根式 随堂练习 2.二次根式的化简 例11 下列各式中，计算正确的是 ( ) C (a≥0) 考点讲练 考点四 二次根式 随堂练习 14. 先化简再求值：当 a = 时， 求 的值. 解：原式 当 a = 时， 原式 考点四 二次根式 考点讲练 随堂练习 3.二次根式的运算 例12 计算: 解：(1) 原式 (2) 原式 考点四 二次根式 随堂练习 15. 计算: 解：(1) 原式 = (2) 原式 = = 6 - 5 = 1. = 5 + 1 = 6. 考点讲练 考点四 二次根式 随堂练习 $