2.3.1二次根式及乘除运算法则（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的定义、最简条件、乘除运算法则及化简公式，通过旧识回顾平方根与算术平方根性质，结合具体代数式观察，引导学生抽象二次根式特征，构建新旧知识学习支架。 其亮点在于以归纳法抽象概念培养数学眼光，通过猜想验证证明乘除法则发展推理意识，分层练习题融入生活实例（如庐山云雾茶包装容积计算）强化应用意识。学生能深化理解与运算能力，教师可借助系统资源提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 2.3.1二次根式及乘除运算法则 第二章 实数 北师大版八年级上册 二次根式及乘除运算法则 练习题 【核心知识点回顾】 1. 二次根式定义：形如$$\sqrt{a}$$（$$a\geq0$$）的式子叫做二次根式，其中被开方数$$a$$必须是非负数，二次根式的结果也恒为非负数，具备双重非负性。 2. 最简二次根式条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足两点即为最简二次根式。 3. 二次根式乘法法则：$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$（$$a\geq0，b\geq0$$），两个非负二次根式相乘，等于被开方数乘积的算术平方根。 4. 二次根式除法法则：$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$（$$a\geq0，b>0$$），二次根式相除，等于被开方数商的算术平方根，分母不能为0。 5. 基础化简公式：$$(\sqrt{a})^2=a$$（$$a\geq0$$）、$$\sqrt{a^2}=|a|$$，是二次根式化简、运算的核心依据。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子中，属于二次根式的是（） A. $$\sqrt{-5}$$ B. $$\sqrt{3}$$ C. $$\sqrt[3]{4}$$ D. $$\frac{1}{\sqrt{-2}}$$ 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（） A. $$\sqrt{8}$$ B. $$\sqrt{12}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. $$\sqrt{\frac{1}{3}}$$ 3. 计算$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$$的结果是（） A. 4 B. $$\sqrt{10}$$ C. 16 D. 2 4. 计算$$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$$的结果是（） A. 3 B. 9 C. $$\sqrt{9}$$ D. $$3\sqrt{3}$$ 5. 式子$$\sqrt{x-2}$$有意义，则x的取值范围是（） A. $$x>2$$ B. $$x\geq2$$ C. $$x<2$$ D. $$x\leq2$$ ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次根式乘法法则：$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=$$________（$$a\geq0，b\geq0$$）。 2. 计算：$$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=$$________。 3. 计算：$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}=$$________。 4. 化简：$$\sqrt{18}=$$________。 5. 若$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-3}=\sqrt{x(x-3)}$$成立，则x的取值范围是________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）化简下列二次根式：（1）$$\sqrt{50}$$ （2）$$\sqrt{\frac{4}{25}}$$ （3）$$\sqrt{27\times3}$$ 2.（20分）计算下列二次根式乘除算式：（1）$$\sqrt{6}\times\sqrt{24}$$ （2）$$\sqrt{72}\div\sqrt{8}$$ 3.（20分）先化简，再计算：$$\sqrt{12}\times\sqrt{3}-\sqrt{48}\div\sqrt{4}$$ ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 填空题答案：1.$$\sqrt{ab}$$ 2.10 3.4 4.$$3\sqrt{2}$$ 5.$$x\geq3$$ 解答题解析 1. 解：（1）$$\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$$；（2）$$\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}$$；（3）$$\sqrt{27\times3}=\sqrt{81}=9$$。 2. 解：（1）原式$$=\sqrt{6\times24}=\sqrt{144}=12$$；（2）原式$$=\sqrt{72\div8}=\sqrt{9}=3$$。 3. 解：原式$$=2\sqrt{3}\times\sqrt{3}-4\sqrt{3}\div2=6-2\sqrt{3}$$。先将根式化为最简，再依据乘除法则运算，最后合并化简结果。 ### 易错知识总结 1. 二次根式运算必须满足定义域，被开方数非负，除法中被开方数分母不为0；2. 乘除运算可先合并再化简，也可先化简再计算，优先简化大数更简便；3. 运算结果必须化为最简二次根式，保留规范形式；4. 切勿忽略公式取值范围，避免出现无意义运算。 通过掌握二次根式的概念，能确定被开方式中字母的取值范围，理解二次根式的双重非负性，提高学生的理解能力． 通过借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想 通过从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，发展应用意识； 旧识回顾 1．什么是平方根？ 2．什么是算术平方根？ 3．算术平方根的性质是什么？ 平方根又叫二次方根，表示为± 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根 双重非负性： ≥0(a≥0)．互逆性： ＝|a|＝ ( )2＝a(a≥0) 问题 观察下列代数式： ， ， ，， (其中b=24，c=25). 这些式子它们有什么共同特征呢? 它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数. 一般地，形如(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数. ，，(a≥0)都是二次根式. 二次根式的 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ”； ②内在特征：被开方数a≥0. 知识点1 二次根式的概念 5 二次根式的被开方数a可以是一个非负数，也可以是一个非负的代数式，如(其中m-1≥0即m≥1). 一般地，形如(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数. ，，(a≥0)都是二次根式. 知识点1 二次根式的概念 6 跟踪训练 判断下列各式是否一定为二次根式，并说明理由． (1) ；(2)；(3) ；(4) +1(a≥0). 解：(1)不是. 因为的根指数是3，所以不是二次根式. (2)是. 因为不论x为何值，都有+1>0，且的根指数为2， 所以是二次根式. 知识点1 二次根式的概念 7 跟踪训练 判断下列各式是否一定为二次根式，并说明理由． (1) ；(2)；(3) ；(4) +1(a≥0). (3)不一定是. 当-5a ≥0，即a≤0时， 是二次根式； 当a>0时，-5a<0，则不是二次根式. 所以不一定是二次根式. (4)不是. +1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式. 知识点1 二次根式的概念 8 (1)计算下列各式，你能得到什么猜想? = ， = ；= ， = ； = ，= ；= ，= . 6 6 猜想： 两个正数算术平方根的积（商）等于这两个数积（商）的算术平方根. 知识点2 二次根式的乘除法法则 思考 20 20 9 (2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证. 与， 与. 相等 相等 知识点2 二次根式的乘除法法则 10 (3)用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗? · = (a≥0，b≥0)，=(a≥0，b>0). m， =n， 则m²=a，n²=b， 所以m²n²=ab，即(mn)²=ab， 所以mn= ， 所以· = . 可证= 知识点2 二次根式的乘除法法则 11 二次根式的乘法法则和除法法则 · = (a≥0，b≥0)，=(a≥0，b>0). 知识点2 二次根式的乘除法法则 12 例1 计算：(1) ×； (2) . 解： (1) ×= = =2； (2) = = = =3. 知识点2 二次根式的乘除法法则 注意：化简时，被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式. 13 例2 计算： (1) 3×2；(2) ×-5；(3)(+1)2； (4) (+3)(-3)；(5) (-)×；(6) . 解：(1) 3×2= 3= 3=6； (2) ×-5= -5 = -5 =6-5=1； (3) (+1)2= ()2+2+12 =5+2+1 = 6+2； 知识点2 二次根式的乘除法法则 14 例2 计算： (1) 3×2；(2) ×-5；(3)(+1)2； (4) (+3)(-3)；(5) (-)×；(6) . 解：(4) (+3)(-3) = ()2-32 =13-9=4； (5) (-)×= ×-= -=6-1=5； (6) = + ==2+3=5. 知识点2 二次根式的乘除法法则 15 知识点1 二次根式的定义 1.在式子(x＞0)，，(y＝－2)，(x＜0)，3，，，x＋y中，二次根式有(　　) A.2个　　 B.3个　　 C.4个　　 D.5个 返回 C 基础提优题 返回 判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非. • • • 基础提优题 2.若式子＋(3m－6)0有意义，则m的值可以是(　　) A.　　 B.－　　 C.3　　 D.2 返回 C 基础提优题 知识点2 二次根式的乘法 3.计算×的结果是(　　) A.6　　　 B.4　　　 C.2　　　 D.1 返回 C 基础提优题 4.［2026重庆期末］估算×(＋)的结果在(　　) A.5和6之间　　　 B.6和7之间　 C.7和8之间　　　 D.8和9之间 返回 【点拨】×(＋)＝×＋×＝＋＝6＋.因为＜＜，所以2＜＜3，所以8＜6＋＜ 9，故选D. D 基础提优题 5. 若一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是　　　　　　　　. 返回 (答案不唯一) 基础提优题 6. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部是底面半径为2 cm，深为6 cm的圆柱，则其容积为　　　　cm3(结果保留根号和π). 返回 120π 基础提优题 7.计算：(1)×； 返回 【解】原式＝××(×) ＝×18 ＝3. 基础提优题 (2)(－)2(8＋2). 返回 【解】原式＝［()2＋()2－2××］(8＋2) ＝(8－2)(8＋2) ＝64－60＝4. 基础提优题 知识点3 二次根式的除法 8.［2026苏州期中］下列计算错误的是(　　) A.×＝　　　　 B.÷＝2 C.÷＝9 　　　 D.＝3 返回 C 基础提优题 9.已知a＞0，b＞0，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为　　　　. 返回 基础提优题 10.计算： (1)； 返回 【解】原式＝－＝－＝4－2＝2. 基础提优题 (2)＋5； 返回 【解】原式＝＋＋5＝＋＋5＝2＋5＋5＝12. (3)÷(a＞0，b＞0). 【解】原式＝＝＝2a. 基础提优题 11.如果是整数，那么整数x是(　　) A.6或3　　 B.3或1 C.2或18　　 D.18 返回 C 综合应用题 12.问题探究：因为(－1)2＝3－2，所以＝－1.因为(＋1)2＝3＋2，所以＝＋1.请你根据以上规律，结合你的经验化简＝　　　　　. 返回 －1　 综合应用题 二次根式 · = (a≥0，b≥0)， =(a≥0，b>0). 一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数. 乘除运算法则 定义 中考考法 $