2.1.2实数及相关概念（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦实数及相关概念，涵盖无理数定义、实数分类、与数轴关系及性质等核心知识点。通过复习旧知中有理数分类练习，自然引出无理数，构建从有理数到实数的知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于融入数学史（无理数发现的第一次数学危机）和实例辨析（如π与3.14的区别），培养数学眼光的抽象能力与创新意识。通过典型例题、易错点总结及生活应用（硬币滚动问题），发展数学思维的推理能力，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第二章 实数 2.1.2实数及相关概念 2026年8月1日 在七年级我们学习了有理数，本章将扩充数的范围，引入无理数，最终合并得到实数。实数是初中数学最大的数系范围，后续根式、函数、几何计算全部建立在实数基础之上，是本学期核心基础知识点。 一、核心知识点：无理数的概念 有理数回顾：整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数 $$\frac{p}{q}$$（$$p、q$$ 为整数，$$q eq0$$）的形式，有限小数、无限循环小数都属于有理数。 无理数定义（必考）：无限不循环小数叫做无理数。 无理数三大常见类型： 1. 开方开不尽的数：$$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}、\sqrt{6}$$ 等； 2. 特殊常数：圆周率 $$\pi$$、$$2\pi$$ 等含 $$\pi$$ 的不化简数； 3. 有规律但不循环的无限小数：如 0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）。 易错提醒：带根号的数不一定是无理数，例如 $$\sqrt{4}=2$$、$$\sqrt{9}=3$$ 是有理数。 二、实数的定义与分类 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 实数两种分类方式（考试常考） 分类一：按定义分类 实数 $$\begin{cases} 有理数\begin{cases}整数\\分数\end{cases} \\ 无理数（无限不循环小数） \end{cases}$$ 分类二：按正负性分类 实数 $$\begin{cases}正实数（正有理数、正无理数）\\ 0\\ 负实数（负有理数、负无理数） \end{cases}$$ 重要结论：0 是有理数，是实数，但 0 既不是正数，也不是负数。 三、实数与数轴的关系（核心考点） 1. 一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 2. 有理数不能铺满数轴，加入无理数之后，数轴上的点被实数全部填满。 3. 数轴大小规则：数轴上右边的点表示的实数，永远大于左边的点表示的实数。 四、实数的基本性质 有理数的所有性质，对实数全部适用： 1. 相反数：实数 $$a$$ 的相反数为 $$-a$$；互为相反数的两数和为0。 2. 绝对值：正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数。 3. 倒数：非零实数 $$a$$ 的倒数为 $$\frac{1}{a}$$，0没有倒数。 五、典型例题解析 例题1：判断下列数中，哪些是有理数，哪些是无理数。 $$3.14、\sqrt{7}、0、\frac{2}{3}、\pi、\sqrt{16}、0.101001\cdots$$ 解析： 有理数：$$3.14、0、\frac{2}{3}、\sqrt{16}=4$$（有限小数、整数、分数、开得尽方的数） 无理数：$$\sqrt{7}、\pi、0.101001\cdots$$（无限不循环） 例题2：下列说法正确的是（） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 实数分为正实数和负实数 解析：选C A错：无限循环小数是有理数；B错：$$\sqrt{4}$$是有理数；D错：实数包含0。 六、同步专项练习题 1. 下列各数：$$\sqrt{5}、-3、\frac{1}{7}、0、3\pi、\sqrt{9}$$，其中无理数有几个？ 2. 判断正误： （1）无理数一定是无限小数；（2）无限小数一定是无理数； （3）实数包括有理数、无理数和0。 3. 写出 $$\sqrt{3}-2$$ 的相反数和绝对值。 4. 将实数 $$-\sqrt{2}、3、0、\pi、-1$$ 按从小到大的顺序排列。 七、参考答案与解析 1. 解析：无理数为 $$\sqrt{5}、3\pi$$，共2个。$$\sqrt{9}=3$$为有理数。 2. 解析：（1）正确；（2）错误（无限循环小数是有理数）；（3）错误（0属于有理数）。 3. 解析：相反数：$$2-\sqrt{3}$$；$$\sqrt{3}\approx1.732$$，$$\sqrt{3}-2<0$$，绝对值：$$2-\sqrt{3}$$。 4. 解析：$$-\sqrt{2}\approx-1.414$$，大小关系：$$-\sqrt{2} < -1 < 0 < 3 < \pi$$。 八、本节易错点汇总 1. 混淆概念：无限小数≠无理数，只有无限不循环小数才是无理数； 2. 误区：所有带根号的数都是无理数，开方能开尽的是有理数； 3. 分类易错：实数分类不能单独把0拿出来，0属于有理数； 4. $$3.14$$ 是有限小数（有理数），$$\pi$$ 是无限不循环小数（无理数），二者绝不相等。 2.1.2 实数及相关概念 在掌握实数的定义、分类及实数与数轴的关系基础上，本节课重点学习实数的相反数、绝对值、倒数、大小比较与基础运算性质。实数的所有相关性质均承接有理数体系，是后续二次根式化简、实数运算的核心基础，为考试基础必考题型。 一、实数的三大核心概念 有理数范围内的相反数、绝对值、倒数定义，完全适用于全体实数，规则不发生改变。 有理数范围内的相反数、绝对值、倒数定义与性质，完全适用于全体实数，无理数可直接套用规则。 1. 实数的相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，任意实数$$a$$的相反数是$$-a$$。 核心性质：① 互为相反数的两数之和为0，即$$a+(-a)=0$$；② 0的相反数是0；③ 无理数求相反数，仅改变符号，数值不变。 举例：$$\sqrt{3}$$的相反数是$$-\sqrt{3}$$，$$2-\pi$$的相反数是$$\pi-2$$。 2. 实数的绝对值 定义：数轴上表示实数$$a$$的点到原点的距离，记作$$|a|$$，距离恒为非负数。 绝对值化简法则：$$|a|=\begin{cases}a & (a\geq0)\\-a & (a<0)\end{cases}$$ 核心规则：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。化简含根式的绝对值，必须先判断式子正负，再化简。 举例：$$|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$$（式子为正，直接去绝对值）；$$|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3$$（式子为负，去绝对值取相反数）。 3. 实数的倒数 定义：乘积为1的两个实数互为倒数，非零实数$$a$$的倒数为$$\frac{1}{a}$$。 核心性质：① 0没有倒数（必考）；② 1的倒数是1，-1的倒数是-1；③ 无理数、小数均可求倒数。 二、实数的大小比较（四种必考方法） 实数大小比较适用于所有有理数、无理数，是选择填空题高频考点，四种方法灵活选用： 1. 数轴法：数轴上右侧的实数始终大于左侧的实数（通用所有实数）； 2. 正负分级法：正数＞0＞负数，所有正数大于任意负数； 3. 平方比较法（仅正数）：两个正实数，平方值越大，原数越大； 4. 作差法（通用）：若$$a-b>0$$，则$$a>b$$；若$$a-b<0$$，则$$a<b$$。 三、实数的运算性质 实数范围内，有理数的全部运算法则和运算律完全成立，包含加减乘除、乘方运算，以及加法、乘法的交换律、结合律、分配律。 重要运算规律： 1. 有理数+、-、×、÷有理数（除数不为0），结果仍为有理数； 2. 有理数±无理数，结果一定是无理数； 3. 非零有理数×、÷无理数，结果一定是无理数。 四、典型例题精讲 例题1：求$$\sqrt{6}-3$$的相反数和绝对值。 解析：相反数：$$-(\sqrt{6}-3)=3-\sqrt{6}$$； 估算得$$\sqrt{6}\approx2.45$$，则$$\sqrt{6}-3<0$$， 绝对值：$$|\sqrt{6}-3|=3-\sqrt{6}$$。 例题2：比较$$\sqrt{7}$$和3的大小。 解析：采用平方比较法，$$(\sqrt{7})^2=7$$，$$3^2=9$$，$$7<9$$，因此$$\sqrt{7}<3$$。 例题3：下列说法正确的是（） A. 无理数没有相反数 B. 实数的绝对值一定是正数 C. 0是最小的实数 D. 互为相反数的两个实数绝对值相等 解析：选D。A错误：所有实数都有相反数；B错误：0的绝对值是0，不是正数；C错误：负实数可以无限小，没有最小实数。 五、同步专项练习题 1. 求$$\sqrt{10}-4$$、$$5-\sqrt{2}$$的相反数和绝对值。 2. 比较大小：（1）$$\sqrt{11}$$与4 （2）$$-\sqrt{5}$$与$$-\sqrt{7}$$ 3. 已知$$|a-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-a$$，写出实数$$a$$的取值范围。 4. 判断正误： （1）无理数的相反数一定是无理数；（2）所有实数都有倒数；（3）正数的绝对值是它本身。 六、参考答案与详细解析 1. 解析：$$\sqrt{10}-4$$：相反数为$$4-\sqrt{10}$$，绝对值为$$4-\sqrt{10}$$； $$5-\sqrt{2}$$：相反数为$$\sqrt{2}-5$$，绝对值为$$5-\sqrt{2}$$。 2. 解析：（1）$$\sqrt{11}<4$$；（2）$$-\sqrt{5}>-\sqrt{7}$$（负数绝对值越大，数值越小）。 3. 解析：由绝对值非负性质可得$$a-\sqrt{3}\leq0$$，即$$a\leq\sqrt{3}$$。 4. 解析：（1）正确；（2）错误（0无倒数）；（3）正确。 七、本节易错点总结 1. 绝对值化简易错：含根式的式子去绝对值，必须先判断正负，不能直接去掉符号； 2. 概念误区：所有实数都有相反数和绝对值，但0没有倒数； 3. 负数无理数比较大小易混淆：绝对值大的负无理数，数值反而更小； 4. 运算误区：无理数加减运算结果不一定是无理数，存在特殊化简情况。 了解无理数的概念，会判断一个数是不是无理数. 了解实数的概念，类比有理数，能按要求对实数进行分类. 了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 02 复习旧知 到目前为止,我们认识了哪些数? 试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方: 按数的大小来分： 正数的有：( ) 负数的有:( ) 非正非负数：( ) 0, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 , 0.35 ,1,5.34 , -12 , -3.14 , -58 , 0 02 复习旧知 试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方: 0, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 , 按数 的概 念来 分： 整数有：( ) 分数有:( ) 有理数的有 :( ) 上述各数中除了有理数，还剩下的数有:( ) 0, -12 , 1 ,-58 0.35 , -3.14 ,5.34, 0, -12 , 1 ,-58, 0.35 , -3.14 ,5.34, 03 新知探究 探究一 实数 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 知识要点1 方法点拔: 判定一个数是否无理数: (1)是看它是不是无限小数,(2)看它是不是不循环小数. 具体从以下几方面来判断: (1)开方开不尽的数是无理数; (2)π是无理数; (3)无理数与有理数的和、差一定是无理数； (4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数； 03 新知探究 实数、有理数、无理数的关系？ 整数 有理数 无理数 实数 分数 有限小数或无限循环小数 ：无限不循环小数 知识点1 无理数的概念 1.［2024泸州中考］下列各数中，无理数是( ) D A. B.3.14 C.0 D. 返回 举一反三 8 2.下列说法中正确的是( ) D A.有理数是有限小数 B.无限小数都是无理数 C.0既不是有理数，也不是无理数 D.无理数是无限不循环小数 返回 举一反三 9 03 新知探究 探究二 无理数的大小比较 解：5.232232223≈5.23223 2π≈2×3.1415962=6.2831852 由于5.23223＜5.47225＜6.2831852 ∴ 知识要点2 1、在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内相反数、倒数、绝对值完全一样。 2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应. 3、在实数运算中，无理数求近似数的方法与有理数求近似数的方法相同。 03 新知讲解 探究三 无理数在数轴表示 知识要点3 1、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数。 2、用数轴上的点来表示无理数时，构建一个直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径，与数轴的交点就是斜边的长度。与正半轴相交就是正无理数，与负半轴相交就是负无理数。 3.［教材例题变式］ 在，，0， （相邻两个1之间2的个数逐次加1），， 中，有理数是__________ _____________， 无理数是______________________________________________________。 3.， 0，， ， （相邻两个1之间2的个数逐次加1） 返回 举一反三 14 知识点2 实数的概念及分类 4.下列说法不正确的是( ) B A.实数包括正实数、零、负实数 B.正整数和负整数统称整数 C.无理数一定是无限小数 D.负实数包括负有理数和负无理数 返回 举一反三 15 5.［教材尝试·思考变式］ 将下列各数：， ， ，，，，， （相邻两个3之间0的个数逐次加1）， （小数部分由 相继的正奇数组成）填入相应的大括号内（填序号） （1）正整数集合：{____…}； （2）负实数集合：{________…}； （3）无理数集合：{________…}。 ② ①③④ ⑦⑧⑨ 返回 举一反三 16 03 新知讲解 阅读课本第29页，无理数的发现 希伯索斯第一次发现边长为1的正方形的对角线并不能用整数比来表达，出现了无理数。他的发现引起了第一次数学危机。毕达哥拉斯学派最终建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。而希伯索斯为此献出了年轻的生命。 第二次数学危机，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。 第三次数学危机发生在1902年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾. 03 典例精析 例1 把下列各数填入相应的集合. 0.351 3.14159 6 有理数集合 无理数集合 0.351 3.14159 6 04 课堂练习 【综合拓展类作业】  解：(1) ；无理数 (2)由题意得a＋b＝π， 所以CD＝(5a＋2b)－(2a－b)＝3a＋3b＝3(a＋b)＝3π， 故C，D之间的距离为3π. 19 知识点3 实数的性质及实数与数轴的关系 6.实数 的倒数是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 20 7.与数轴上的点一一对应的数是( ) D A.分数 B.有理数 C.无理数 D.实数 返回 举一反三 21 8.如图，数轴上表示实数 的点可能是( ) C A.点 B.点 C.点 D.点 返回 举一反三 22 9. 的相反数是__________，绝对值是__________。 返回 举一反三 23 10. 下列说法正确的是( ) C A.无理数与无理数的和一定是无理数 B.无理数与无理数的差一定是无理数 C.无理数与有理数的和一定是无理数 D.无理数与有理数的积一定是无理数 返回 举一反三 24 11. 如图，将一枚直径为 的硬币放在数轴上，硬币 上的一点与数轴原点重合，将硬币沿数轴向右滚动一圈后，点 落在 数轴上的处，已知数轴的单位长度为，则点 表示的数为______。 返回 举一反三 25 12.［教材思考·交流变式］ 已知两个正方形的边长分别是， ，且 满足， 。 （1）如图①，，数轴上点对应， 中的数___； 举一反三 26 （2）请在图②的数轴上找到另一个数对应的点。 解：如图，点对应数 。 2平方根与立方根 返回 举一反三 27 谢谢观看 THANKS $