2.1.1 认识实数（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“认识实数”核心内容，涵盖无理数概念、实数分类及与数轴关系，通过有理数回顾和拼图活动（两个边长1的小正方形拼大正方形）引入，衔接七年级有理数知识，构建数系扩展的学习支架。 其亮点是以拼图实践和小组探究为核心，结合计算器估算活动，发展学生几何直观与推理能力，通过典型例题和易错点汇总强化概念辨析，帮助学生用数学语言表达数系知识，提升学习效率，也为教师提供结构化教学资源。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第二章 实数 2.1.1 认识实数 2026年8月1日 2.1.1 认识实数（新北师大版八年级上册） 在七年级我们学习了有理数，本章将扩充数的范围，引入无理数，最终合并得到实数。实数是初中数学最大的数系范围，后续根式、函数、几何计算全部建立在实数基础之上，是本学期核心基础知识点。 一、核心知识点：无理数的概念 有理数回顾：整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数 $$\frac{p}{q}$$（$$p、q$$ 为整数，$$q eq0$$）的形式，有限小数、无限循环小数都属于有理数。 无理数定义（必考）：无限不循环小数叫做无理数。 无理数三大常见类型： 1. 开方开不尽的数：$$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}、\sqrt{6}$$ 等； 2. 特殊常数：圆周率 $$\pi$$、$$2\pi$$ 等含 $$\pi$$ 的不化简数； 3. 有规律但不循环的无限小数：如 0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）。 易错提醒：带根号的数不一定是无理数，例如 $$\sqrt{4}=2$$、$$\sqrt{9}=3$$ 是有理数。 二、实数的定义与分类 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 实数两种分类方式（考试常考） 分类一：按定义分类 实数 $$\begin{cases} 有理数\begin{cases}整数\\分数\end{cases} \\ 无理数（无限不循环小数） \end{cases}$$ 分类二：按正负性分类 实数 $$\begin{cases}正实数（正有理数、正无理数）\\ 0\\ 负实数（负有理数、负无理数） \end{cases}$$ 重要结论：0 是有理数，是实数，但 0 既不是正数，也不是负数。 三、实数与数轴的关系（核心考点） 1. 一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 2. 有理数不能铺满数轴，加入无理数之后，数轴上的点被实数全部填满。 3. 数轴大小规则：数轴上右边的点表示的实数，永远大于左边的点表示的实数。 四、实数的基本性质 有理数的所有性质，对实数全部适用： 1. 相反数：实数 $$a$$ 的相反数为 $$-a$$；互为相反数的两数和为0。 2. 绝对值：正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数。 3. 倒数：非零实数 $$a$$ 的倒数为 $$\frac{1}{a}$$，0没有倒数。 五、典型例题解析 例题1：判断下列数中，哪些是有理数，哪些是无理数。 $$3.14、\sqrt{7}、0、\frac{2}{3}、\pi、\sqrt{16}、0.101001\cdots$$ 解析： 有理数：$$3.14、0、\frac{2}{3}、\sqrt{16}=4$$（有限小数、整数、分数、开得尽方的数） 无理数：$$\sqrt{7}、\pi、0.101001\cdots$$（无限不循环） 例题2：下列说法正确的是（） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 实数分为正实数和负实数 解析：选C A错：无限循环小数是有理数；B错：$$\sqrt{4}$$是有理数；D错：实数包含0。 六、同步专项练习题 1. 下列各数：$$\sqrt{5}、-3、\frac{1}{7}、0、3\pi、\sqrt{9}$$，其中无理数有几个？ 2. 判断正误： （1）无理数一定是无限小数；（2）无限小数一定是无理数； （3）实数包括有理数、无理数和0。 3. 写出 $$\sqrt{3}-2$$ 的相反数和绝对值。 4. 将实数 $$-\sqrt{2}、3、0、\pi、-1$$ 按从小到大的顺序排列。 七、参考答案与解析 1. 解析：无理数为 $$\sqrt{5}、3\pi$$，共2个。$$\sqrt{9}=3$$为有理数。 2. 解析：（1）正确；（2）错误（无限循环小数是有理数）；（3）错误（0属于有理数）。 3. 解析：相反数：$$2-\sqrt{3}$$；$$\sqrt{3}\approx1.732$$，$$\sqrt{3}-2<0$$，绝对值：$$2-\sqrt{3}$$。 4. 解析：$$-\sqrt{2}\approx-1.414$$，大小关系：$$-\sqrt{2} < -1 < 0 < 3 < \pi$$。 八、本节易错点汇总 1. 混淆概念：无限小数≠无理数，只有无限不循环小数才是无理数； 2. 误区：所有带根号的数都是无理数，开方能开尽的是有理数； 3. 分类易错：实数分类不能单独把0拿出来，0属于有理数； 4. $$3.14$$ 是有限小数（有理数），$$\pi$$ 是无限不循环小数（无理数），二者绝不相等。 通过阅读课本，了解无理数的概念；会区分有理数与无理数，发展推理能力． 通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，尝试用计算器对无理数进行计算并感知 通过小组交流讨论与探索活动，充分调动学生参与的积极性，发展合作精神与钻研精神． 02 新知导入 1、有理数的分类 有理数 整数 （如-1，0，1，2 ） 分数 （如 ） 正整数 0 负整数 正分数 负分数 02 新知导入 2、有理数不够用了 圆周率 π ，0.020020002， ，中的a， 中的b是不是整数？是不是分数？ 03 新知探究 探究一 拼图实践 把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 03 新知探究 方法展示 03 新知探究 设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？ 问题思考：大正方形的面积是2，那么边长是多少？ 是整数吗？是分数吗？ 结论：存在既不是整数，也不是分数的数！ 知识点1 非有理数的发现 1.若,则 为( ) D A.整数 B.分数 C.有理数 D.以上都不是 返回 举一反三 8 2.在中， ，,,所对的边分别为,, 。 （1）①当，时， ___； ②当，时， ____； ③当，时， _____。 3 16 0.64 （2）通过（1）中计算出的的值，我们知道：是整数的是____； 是分数的是____； 既不是整数，也不是分数的是____。（填序号） ② ③ ① 返回 举一反三 9 03 新知探究 （1） a可能是整数吗？说说你的理由. （2）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流. 因为12=1，22=4，32=9， 越来越大，所以a不可能是整数 因为分数乘以分数结果还是分数， （3）a是有理数吗？为什么？ a既不是整数也不是分数， 所以a不是有理数. 所以a不能是分数. 03 新知探究 （1）如图，2-2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3） b是有理数吗？ 正方形的面积为： 12+22=5 b2=5 b不是有理数. 活动与探究(二） 03 新知探究 活动与探究(三） 1、利用计算器活动一和活动二正方形的边长 a= 1．41421356… b= 2.236067… 知识点2 非有理数的估算 3.小明想了解一个面积是5的正方形的边长 的近似值,首先,他通过计算 得到,，所以的整数部分是___。又因为 , ,所以他得到____ ____。 2 2.2 2.3 返回 举一反三 13 4.已知在中， ，，，则 的值在 ( ) B A.3.0与3.1之间 B.3.1与3.2之间 C.3.2与3.3之间 D.3.3与3.4之间 返回 举一反三 14 5.估计面积等于7的正方形的边长 的值（结果精确到十分位）是( ) B A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8 返回 举一反三 15 我们把无限不循环小数叫做无理数。如1．41421356… ，2.236067…。 探究小结 无理数的概念 别强调圆周率 π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，所以π是无理数。 探究小结 实数的分类 特别强调：任何一个有理数都可以化成分数 形式（q ≠0， p，q 为整数且互质），而无理数则不能。 实数 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 整数 分数 04 典例精析 例：在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10cm，BC=8cm，（1）求以AD的长为边长的正方形的面积；（2）判断AD是否为有理数，并说明理由. 解：（1）∵AB=AC=10cm，BC=8cm， AD⊥BC， ∴BD=CD=4cm ∴AD2=AB2-BD2=102-42=84 ∴以AD的长为边长的正方形的面积84cm2； 04 典例精析 例：在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10cm，BC=8cm，（1）求以AD的长为边长的正方形的面积；（2）判断AD是否为有理数，并说明理由. 解：（2）∵AD2=84， ∴AD既不是整数也不是分数， 即AD不是有理数. 6.［2025西安铁一中月考］下列各数中，不是有理数的是( ) C A.面积为16的正方形的边长 B.体积为27的正方体的棱长 C.直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D.长为4,宽为3的长方形的对角线长 返回 举一反三 20 （第7题） 7. ［2025北京丰台区校级期中］ 将相邻边 长分别为3和6的长方形按如图剪开，拼成一个正 方形，则该正方形的边长最接近整数( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 返回 举一反三 21 （第8题） 8. ［教材习题 变式］ 如图是由16 个边长为1的小正方形拼成的大正方形，,,,, 都在 小正方形的顶点上，连接，，， ，这四条线 段中长度是非有理数的有____条。 三 返回 举一反三 22 9. 如图是由五个边长为 1的正方形组成的图案，如果把它剪拼成一个正方形。 （1）拼成的正方形的面积是___； 5 （2）若拼成的正方形的边长为, 应满足什么条件？ 解：满足 。 （3） 是整数吗？是分数吗？是有理数吗？ 解： 不是整数，不是分数，也不是有理数。 举一反三 23 （4）画出你拼成的正方形。 解：拼成的正方形如图所示。 返回 举一反三 24 04 课堂总结 1、无理数的定义： 我们把无限不循环小数叫做无理数。 例如：π， 任何一个有理数都可以化成分数，而无理数则不能化成分数。 2、实数的分类（有理数、无理数） 实数 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 整数 分数 谢谢观看 THANKS $