2.1.1 认识实数（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“认识实数”核心知识点，涵盖实数定义、分类及性质。通过旧识回顾有理数概念，结合毕达哥拉斯学派故事导入，借助拼图、直角三角形问题引导学生发现无理数，构建从有理数到实数的知识支架。 其特色在于以故事激发兴趣，通过问题探究培养推理意识，融入跨学科应用题如浮力实验、贺卡问题发展应用意识。课堂小结系统梳理易错点，助力学生提升抽象能力和创新意识，教师可高效开展培优教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 2.1.1 认识实数 第二章 实数 北师大版八年级上册2.1 认识实数 练习题 【核心知识点回顾】 1. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。 2. 有理数：整数和分数的统称，有限小数或无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 3. 无理数：无限不循环小数。常见四类：①开方开不尽的数（如$$\sqrt{2}、\sqrt{3}$$）；②特殊常数（如$$\pi$$）；③无限不循环小数；④含无理数的简单运算结果。 4. 实数性质：实数分为正实数、0、负实数；实数具有相反数、绝对值、倒数性质，有理数的运算法则在实数范围内同样适用。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（） A. 3.14 B. $$\sqrt{4}$$ C. $$\sqrt{5}$$ D. $$-\frac{1}{3}$$ 2. 下列说法正确的是（） A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数 C. 带根号的数都是无理数 D. 实数分为正实数和负实数 3. 在实数$$0、-\sqrt{2}、\frac{22}{7}、3.1415、\pi$$中，无理数的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 与数轴上的点一一对应的数是（） A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数 5. 下列实数中，最小的数是（） A. $$-\sqrt{3}$$ B. 0 C. -1 D. 2 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. ________和________统称为实数。 2. 写出一个大于2且小于3的无理数：________。 3. 实数$$\sqrt{7}-3$$的相反数是________。 4. 绝对值等于$$\sqrt{5}$$的数是________。 5. 在实数范围内，最小的非负数是________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）将下列各数填入对应的集合内：$$-5、0、\frac{3}{4}、\sqrt{6}、\sqrt{9}、3.14、\pi、0.1010010001\cdots$$（相邻两个1之间0的个数依次增加1） 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝ 2.（20分）比较下列各组实数的大小：（1）$$\sqrt{10}$$与3；（2）$$-\sqrt{2}$$与$$-1.5$$ 3.（20分）已知实数$$a=\sqrt{5}-2$$，求$$a$$的相反数和绝对值。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 填空题答案：1.有理数、无理数 2.$$\sqrt{5}$$（答案不唯一） 3.$$3-\sqrt{7}$$ 4.$$\pm\sqrt{5}$$ 5.0 解答题解析 1. 有理数集合：$$-5、0、\frac{3}{4}、\sqrt{9}、3.14$$；无理数集合：$$\sqrt{6}、\pi、0.1010010001\cdots$$。解析：$$\sqrt{9}=3$$是整数，属于有理数；无限不循环小数、开方开不尽的数、$$\pi$$均为无理数。 2. （1）$$\sqrt{10}\gt\sqrt{9}=3$$，故$$\sqrt{10}\gt3$$；（2）$$\sqrt{2}\approx1.414\lt1.5$$，负数比较大小，绝对值大的数更小，故$$-\sqrt{2}\gt-1.5$$。 3. 相反数：$$-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}$$；因为$$\sqrt{5}\approx2.236$$，$$\sqrt{5}-2\gt0$$，正数的绝对值是本身，故$$|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$$。 ### 易错知识总结 1. 无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数；2. 带根号的数不一定是无理数，若开方能得整数或分数，即为有理数；3. 负数绝对值为其相反数，比较负实数大小需先比较绝对值；4. 0是实数，既不是正数也不是负数，是最小的非负数。 通过阅读课本，了解无理数的概念；会区分有理数与无理数，发展推理能力． 通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，尝试用计算器对无理数进行计算并感知 通过小组交流讨论与探索活动，充分调动学生参与的积极性，发展合作精神与钻研精神． 旧识回顾 什么叫有理数？ 整数(正整数、0、负整数)和分数统称为有理数 故事导入 公元前5—6世纪，古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯发现了毕达哥拉斯定理（也就是勾股定理），并因此受到众人拥护，创立了毕达哥拉斯学派.这个学派的信条是：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比(也就是我们现在说的有理数)”. 希伯索斯（Hippsaus）作为毕达哥拉斯的得意门生，自然也是对其敬仰万分.直到有一天，希伯索斯在演算中发现一个惊天的事实：一个边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比表示.这个奇怪数字的发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌. 希腊数学界的人害怕希伯索斯的发现动摇他们的统治地位，严令希伯索斯不得外传，但希伯索斯坚持将这一事实公布于众，为此他不停地遭受到迫害，最后竟被沉入 了大海.一代传奇的数学家，从此陨落. 究竟是怎样奇怪的数字，导致年轻的数学家丢掉了性命呢？ 一级标题：黑体， 4 思考 (1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件? (1) a是正方形的边长，所以a肯定是____数． 正 因为两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积， 所以新拼接后的大正方形的面积为____， 所以a2=2. 2 知识点 不是有理数的数 1 1 1 1 a 5 (2)a可能是整数吗?说说你的理由. (2)因为 a2 = 2，12 = 1，22 = 4， 所以 1 < a2 < 4， 所以1 < a < 2， 所以 a 一定不是整数. 知识点 不是有理数的数 1 1 1 1 a 6 (3)a可能是分数吗?说说你的理由. ① a是分母为2的分数吗？ ② a是分母为3的分数吗？ ③ a是分母为4的分数吗？ 知识点 不是有理数的数 1 1 1 1 a 7 事实上，满足等式a2=2的a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 知识点 不是有理数的数 8 思考 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件? (3)b是有理数吗? (1)两条直角边分别为 1 和 2， 根据勾股定理，得 12 + 22 = 5， 所以该正方形的面积是 5. 知识点 不是有理数的数 9 思考 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件? (3)b是有理数吗? (2) b2 = 5. (3) ① 因为22=4，32=9，4<5<9， 所以b不可能是整数. ② 没有最简分数的平方是 5，故b不可能是分数. 知识点 不是有理数的数 10 在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数. 知识点 不是有理数的数 a2=2 b2 = 5 11 （1）如图，这3个正方形的边长之间有怎样的大小 关系呢？ 1 1 a a 2 2 面积 为2 1＜a ＜2 知识点 不是有理数的数 （2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。 思考 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ 12 （3）小明将他的探索过程整理如下： 边长a 面积S 1<a<2 1<S<4 1.96<S<2.25 1.988 1<S<2.016 4 1.999 396<S<2.002 225 1.999 961 64<S<2.000 244 49 知识点 不是有理数的数 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.414 2<a<1.414 3 a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4 13 还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？ 能无限进行下去，所以a不可能是有限小数. 知识点 不是有理数的数 14 (4)面积为5的正方形的边长b的值是多少?b可能是有限小数吗? 利用刚刚的方法可以算得：b=2.236067978…， 它不是有限小数. 知识点 不是有理数的数 15 事实上，a=1.414 213 56…，b=2.236 067 977…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数. 知识点 不是有理数的数 16 例1 如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能分数吗？ A C D 2 h 解：因为h²=2²-1²=3， 所以h不可能是整数，也不可能是分数. 知识点 不是有理数的数 17 知识点1 认识非有理数 1.已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，那么斜边AB的长是(　　) A.整数　　 B.分数 C.有理数　　 D.非有理数 返回 D 基础提优题 2.以下各正方形的边长不是有理数的是(　　) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 返回 C 基础提优题 3. 已知一个等边三角形的边长为4，则这个三角形的高为　　 　　小数.(填“无限循环”或“无限不循环”) 返回 无限不循环 基础提优题 知识点2 非有理数的估算 4.某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是21 m2，现决定把此正方形菜地的边长增加1 m，则新的正方形菜地的边长范围是(　　) A.4 m与5 m之间　　 B.5 m与6 m之间 C.6 m与7 m之间　　 D.7 m与8 m之间 返回 B 基础提优题 5. 面积为17π的圆，它的半径的整数部分是　　　，十分位是　　　，百分位是　　　，千分位是　　　. 返回 4 1 2 3 基础提优题 6.［2026温州期中］如图，每个小正方形的边长 均为1，可以得到每个小正方形的面积为1. (1)图中阴影部分的面积是多少？ (2)估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间. 返回 【解】S阴影＝2×2＋×1×3×4＝4＋6＝10. 【解】因为32＜10＜42，所以边长的值在3与4之间. 基础提优题 7. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，若量得溢出水的体积为34 cm3，则该铁块棱长大小的范围是(　　) A.2 cm和3 cm之间　　 B.3 cm和4 cm之间 C.4 cm和5 cm之间　　 D.5 cm和6 cm之间 返回 B 综合应用题 8.［2026成都青羊区期中］如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则数a为(　　) A.有理数　　 B.无限不循环小数 C.－4.5　　 D.不存在 返回 B 综合应用题 9. 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，某校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动.小芳制作了一张面积为225 cm2的正方形贺卡.现有一个长方形信封，长、宽之比为3:2，面积为420 cm2，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断. 返回 综合应用题 【解】因为正方形贺卡的面积为225 cm2， 所以正方形贺卡的边长为15 cm. 设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm. 因为长方形信封的面积为420 cm2， 所以2x•3x＝420.所以x2＝70. 所以8＜x＜9.所以16＜2x＜18. 所以小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 返回 综合应用题 不是有理数的数 借助计算器探索不是有理数的数的取值范围 不是有理数的数的存在 课堂小结 $