5.2.4利用去分母解一元一次方程（课件）--2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“利用去分母解一元一次方程”，通过复习去括号注意事项、等式性质2及最小公倍数计算导入，搭建新旧知识桥梁，以学习支架形式帮助学生自然过渡到新知识学习。 其亮点在于以问题链驱动教学，结合例题变式与火车过桥、教室人数等实际应用问题，培养学生运算能力和模型意识。强调去分母步骤规范及漏乘、分子添括号等易错点，助力学生形成严谨数学思维，教师可利用分层练习提升教学效率，学生能在解决实际问题中发展应用意识。

授课教师： . 班 级： 七年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学七年级上册教学课件 第五章 一元一次方程 5.2.4利用去分母解一元一次方程 2026年8月1日 北师大版七年级上册数学5.2.4 利用去分母解一元一次方程 练习题 本节是一元一次方程解法的最后核心步骤，承接去括号、移项、合并同类项知识点，重点掌握含分数系数一元一次方程的去分母解法。熟练掌握找最简公分母、等式同乘公倍数、去分母不漏乘、分子整体加括号的核心规则，掌握“去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1”的完整解方程流程，规避漏乘常数项、分子不括括号、符号出错等高频易错点，是初中方程计算的重难点基础。 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 解含分母的一元一次方程，去分母的依据是（ ） A. 等式性质1 B. 等式性质2 C. 乘法分配律 D. 加法结合律 2. 解方程$$\frac{x}{2}=3$$，去分母正确的是（ ） A. $$x=3$$ B. $$x=6$$ C. $$x=1.5$$ D. $$2x=3$$ 3. 解方程$$\frac{x-1}{3}=2$$，去分母正确的是（ ） A. $$x-1=2$$ B.$$x-1=6$$ C. $$x+1=6$$ D. $$3(x-1)=2$$ 4. 解方程$$\frac{x}{2}-\frac{x-1}{4}=1$$，最简公分母是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 解方程去分母时，对于方程中的常数项，正确操作是（ ） A. 不用乘公分母 B. 也要同乘最简公分母 C. 随意乘一个数 D. 只乘1即可 6. 解方程$$\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{6}=1$$，去分母后正确的是（ ） A. $$2(2x-1)-(x+2)=6$$ B. $$2(2x-1)-x+2=6$$ C. $$2x-1-(x+2)=6$$ D. $$2(2x-1)-(x+2)=1$$ 7. 方程$$\frac{x}{3}+1=2$$的解为（ ） A. $$x=1$$ B. $$x=3$$ C. $$x=6$$ D. $$x=9$$ 8. 下列去分母变形正确的是（ ） A. $$\frac{x}{5}=1\Rightarrow x=1$$ B. $$\frac{x+1}{2}=3\Rightarrow x+1=3$$ C. $$\frac{x-2}{3}=1\Rightarrow x-2=3$$ D. $$\frac{x}{4}=2\Rightarrow x=2$$ 9. 解一元一次方程的完整正确步骤是（ ） A. 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 B. 去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化为1 C. 去分母→移项→去括号→合并同类项→系数化为1 D. 移项→去分母→去括号→合并同类项→系数化为1 10. 解方程$$\frac{x+3}{2}=4$$，最终解为（ ） A. $$x=5$$ B. $$x=8$$ C. $$x=11$$ D. $$x=2$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 去分母的依据是等式性质________，等式两边同时乘所有分母的________。 12. 去分母时，方程中的________项容易漏乘最简公分母，是高频易错点。 13. 当分子是多项式时，去分母后必须给分子整体添加________，避免符号错误。 14. 解方程$$\frac{x}{4}=5$$，去分母得________，解得$$x=$$________。 15. 方程$$\frac{x+1}{2}=3$$去分母得________。 16. 解含分母一元一次方程的第一步是________。 三、解答题（共36分） 17.（12分）解下列一元一次方程： （1）$$\frac{x}{3}-1=2$$ （2）$$\frac{x+2}{4}=3$$ （3）$$\frac{2x-1}{5}=1$$ 18.（12分）解下列一元一次方程： （1）$$\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}=1$$ （2）$$\frac{2x+1}{3}-\frac{x-2}{6}=1$$ 19.（12分）简述去分母的操作步骤、核心规则，写出去分母过程中三个最常见的易错点，并完整写出含分母一元一次方程的解题流程。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：去分母是等式两边同乘一个不为0的数，依据等式性质2。 2.B 解析：两边同乘2，得$$x=6$$。 3.B 解析：分母为3，两边同乘3，得$$x-1=6$$，分子整体参与运算。 4.B 解析：分母2和4的最小公倍数为4，最简公分母是4。 5.B 解析：去分母必须给方程每一项同乘公分母，常数项不能漏乘。 6.A 解析：公分母为6，两边同乘6，分子是多项式需整体加括号，得$$2(2x-1)-(x+2)=6$$。 7.B 解析：去分母得$$x+3=6$$，移项解得$$x=3$$。 8.C 解析：其余选项均去分母错误，A、B、D均漏乘右边常数项。 9.A 解析：含分母方程标准步骤：先去分母，再去括号，依次移项、合并、系数化为1。 10.A 解析：去分母得$$x+3=8$$，解得$$x=5$$。 二、填空题 11. 2；最简公分母 12. 常数 13. 括号 14. $$x=20$$；20 15. $$x+1=6$$ 16. 去分母 三、解答题 17. 解：（1）去分母得$$x-3=6$$，移项解得$$x=9$$； （2）去分母得$$x+2=12$$，移项解得$$x=10$$； （3）去分母得$$2x-1=5$$，移项合并得$$2x=6$$，解得$$x=3$$。 18. 解：（1）最简公分母6，去分母得$$3x-2(x-1)=6$$，去括号得$$3x-2x+2=6$$，合并得$$x+2=6$$，解得$$x=4$$； （2）最简公分母6，去分母得$$2(2x+1)-(x-2)=6$$，去括号得$$4x+2-x+2=6$$，合并得$$3x+4=6$$，移项得$$3x=2$$，解得$$x=\frac{2}{3}$$。 19. 操作步骤：①找出方程中所有分母的最简公分母；②方程左右两边每一项同乘最简公分母；③分子为多项式时，整体添加括号，再化简计算。核心规则：等式所有项统一同乘、分子多项式整体括号、符号同步变化。常见易错点：①漏乘方程中的常数项；②分子是多项式时不加括号，导致去括号符号错误；③找错最简公分母，计算繁琐出错。标准解题流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 03 新知导入 1．去括号时应该注意什么？ 　　 2．等式的性质2是怎样叙述的？ 　　 3．求12，4，9的最小公倍数． 用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 12，4，9的最小公倍数是36． 02 新知探究 例1、解方程： 你还有不同的解法吗？ 解：去括号，得 移项、合并同类项，得 方程两边同除以，得 02 新知探究 解方程： 解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 方程两边同除以，得 第 1 页：情境导入 —— 含分数系数的方程如何简化？ 实际问题（配图提示：分物场景）： 问题：把一堆苹果分给若干人，若每人分\(\frac{1}{2}\)筐，还剩\(\frac{1}{3}\)筐；若每人分\(\frac{1}{3}\)筐，还多\(\frac{1}{2}\)筐，求人数\(x\)。 列方程：\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}\)； 思考：方程中含有分数系数，计算繁琐，如何消除分母转化为整数系数方程？去分母的依据是什么？ 复习回顾：等式的基本性质 2（等式两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍成立），这是去分母的核心依据。 第 2 页：核心法则 —— 去分母的规则与步骤 去分母的原理（基于等式性质 2）： 找到方程中所有分母的最小公倍数； 等式两边同时乘这个最小公倍数，消除所有分母（注意：每一项都要乘，包括不含分母的常数项）。 关键词强调： 确定最小公倍数（如分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，分母 2、4、6 的最小公倍数是 12）； “每一项都要乘”，不能漏乘常数项或整数项； 若分母是小数，可先转化为分数（如 0.5=\(\frac{1}{2}\)，0.25=\(\frac{1}{4}\)），再去分母。 去分母的完整步骤： 找分母的最小公倍数（记为\(m\)）； 等式两边同时乘\(m\)，逐项相乘消除分母； 若分子是多项式，乘完后需加括号（避免符号错误）； 后续按 “去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 求解。 第 3 页：完整解题流程 —— 去分母→全步骤求解 含分数系数的一元一次方程求解口诀：“分母先找最小公倍，两边同乘莫漏项；分子多项式加括号，去括号后再移项；合并同类项化最简，系数为 1 得解方”。 具体步骤： 去分母：乘最小公倍数，消去所有分母； 去括号：按去括号法则处理括号（若有）； 移项：未知项左移，常数项右移，移项变号； 合并同类项：化为 “\(ax = b\)（\(a≠0\)）” 形式； 系数化为 1：两边除以\(a\)，得\(x = \frac{b}{a}\)； 验证：代入原方程，验证左右两边是否相等。 第 4 页：实例解析 —— 分步示范求解过程 例 1：解方程\(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5\) 步骤 1：去分母（分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，两边乘 6）→ \(6×\frac{x}{2} + 6×\frac{x}{3} = 6×5\)； 计算：\(3x + 2x = 30\)（每一项都乘 6，无漏项）； 步骤 2：合并同类项 → \(5x = 30\)； 步骤 3：系数化为 1 → \(x = 6\)； 验证：左边 =\(\frac{6}{2} + \frac{6}{3}=3+2=5\)= 右边，解正确。 例 2：解方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = 1\) 步骤 1：去分母（分母 3 和 4 的最小公倍数是 12，两边乘 12）→ \(12×\frac{2x - 1}{3} - 12×\frac{x + 2}{4} = 12×1\)； 计算：\(4(2x - 1) - 3(x + 2) = 12\)（分子是多项式，加括号）； 步骤 2：去括号 → \(8x - 4 - 3x - 6 = 12\)； 步骤 3：移项 → \(8x - 3x = 12 + 4 + 6\)； 步骤 4：合并同类项 → \(5x = 22\)； 步骤 5：系数化为 1 → \(x = \frac{22}{5}\)（或 4.4）； 验证：左边 =\(\frac{2×\frac{22}{5} - 1}{3} - \frac{\frac{22}{5} + 2}{4} = \frac{\frac{44}{5} - \frac{5}{5}}{3} - \frac{\frac{22}{5} + \frac{10}{5}}{4} = \frac{39}{15} - \frac{32}{20} = \frac{13}{5} - \frac{8}{5}=1\)= 右边，解正确。 例 3：解方程\(\frac{x - 1}{0.5} - \frac{2x + 3}{0.3} = 1\)（分母是小数） 步骤 1：转化分母为分数 → \(\frac{x - 1}{\frac{1}{2}} - \frac{2x + 3}{\frac{3}{10}} = 1\)； 步骤 2：去分母（最小公倍数是 10，两边乘 10）→ \(10×2(x - 1) - 10×\frac{10}{3}(2x + 3) = 10×1\)？ 修正：更简便的方法是分子分母同乘 10 消去小数→ \(\frac{10(x - 1)}{5} - \frac{10(2x + 3)}{3} = 1\) → \(2(x - 1) - \frac{10(2x + 3)}{3} = 1\)； 正确步骤：分母 0.5 和 0.3 的最小公倍数是 1.5，两边乘 1.5 → \(1.5×\frac{x - 1}{0.5} - 1.5×\frac{2x + 3}{0.3} = 1.5×1\) → \(3(x - 1) - 5(2x + 3) = 1.5\)； 步骤 3：去括号 → \(3x - 3 - 10x - 15 = 1.5\)； 步骤 4：移项 → \(3x - 10x = 1.5 + 3 + 15\)； 步骤 5：合并同类项 → \(-7x = 19.5\)； 步骤 6：系数化为 1 → \(x = -\frac{39}{14}\)（或 - 2.7857）； 验证：左边 =\(\frac{-\frac{39}{14} - 1}{0.5} - \frac{2×(-\frac{39}{14}) + 3}{0.3} = \frac{-\frac{53}{14}}{0.5} - \frac{-\frac{78}{14} + \frac{42}{14}}{0.3} = -\frac{53}{7} - \frac{-\frac{36}{14}}{0.3} = -\frac{53}{7} + \frac{36}{4.2} = -\frac{53}{7} + \frac{60}{7}=1\)= 右边，解正确。 第 5 页：易错辨析 —— 去分母常见 “雷区” 错误类型 错误解法（以方程\(\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 1\)为例） 正确解法 错误原因 漏乘常数项 \(3x - 2(x - 1) = 1\) → \(3x - 2x + 2 = 1\) → \(x = -1\) \(3x - 2(x - 1) = 6\) → \(3x - 2x + 2 = 6\) → \(x = 4\) 两边乘最小公倍数 6 时，漏乘右边的常数项 1 分子多项式不加括号 \(3x - 2x - 1 = 6\) → \(x - 1 = 6\) → \(x = 7\) \(3x - 2(x - 1) = 6\) → \(3x - 2x + 2 = 6\) → \(x = 4\) 分子\(x - 1\)是多项式，乘 2 后未加括号，导致符号错误 最小公倍数找错 两边乘 2 → \(x - (x - 1) = 2\) → \(x - x + 1 = 2\) → 无解 \(3x - 2(x - 1) = 6\) → \(x = 4\) 分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，误找为 2，未完全消去分母 分母是小数转化错误 方程\(\frac{x}{0.2} = 5\) → 两边乘 0.2 → \(x = 1\)（正确）；方程\(\frac{x - 1}{0.2} - 1 = 5\) → 两边乘 0.2 → \(x - 1 - 1 = 1\) → \(x = 3\) 两边乘 0.2 → \(x - 1 - 0.2 = 1\) → \(x = 2.2\) 漏乘不含分母的常数项 1（应乘 0.2 得 0.2） 第 6 页：基础练习 —— 巩固去分母与求解 解下列方程（要求写出去分母步骤）： （1）\(\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7\)； 去分母（最小公倍数 12）→ \(4x + 3x = 84\) → \(7x = 84\) → \(x = 12\)； （2）\(\frac{2x - 5}{6} - \frac{3x + 1}{4} = -1\)； 去分母（最小公倍数 12）→ \(2(2x - 5) - 3(3x + 1) = -12\) → \(4x - 10 - 9x - 3 = -12\) → \(-5x = 1\) → \(x = -\frac{1}{5}\)； （3）\(\frac{x + 1}{0.3} = \frac{2x - 1}{0.5}\)； 转化为分数 → \(\frac{10(x + 1)}{3} = \frac{10(2x - 1)}{5}\) → \(\frac{10(x + 1)}{3} = 2(2x - 1)\)； 去分母（最小公倍数 3）→ \(10(x + 1) = 6(2x - 1)\) → \(10x + 10 = 12x - 6\) → \(x = 8\)。 选择题： （1）解方程\(\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} = 1\)时，去分母正确的是（ ） A. \(3(x - 1) - 2(x + 2) = 1\) B. \(3x - 3 - 2x + 4 = 6\) C. \(3(x - 1) - 2(x + 2) = 6\) D. \(3x - 1 - 2x + 2 = 6\)（答案：C） （2）方程\(\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 1}{6} = 1\)的解是（ ） A. \(x = 1\) B. \(x = \frac{5}{3}\) C. \(x = \frac{3}{5}\) D. \(x = -1\)（答案：A，步骤：\(4x + 2 - x + 1 = 6\) → \(3x = 3\) → \(x = 1\)） 第 7 页：拓展练习 —— 含多重分母与逆向应用 解方程：\(\frac{1}{2}(\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) = 1\)（多重分母：先去小括号，再去分母）； 步骤：\(\frac{1}{2}(\frac{4x - 3x}{12}) = 1\) → \(\frac{x}{24} = 1\) → \(x = 24\)； 或直接去分母（最小公倍数 24）→ \(12(\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) = 24\) → \(4x - 3x = 24\) → \(x = 24\)； 已知\(x = 2\)是方程\(\frac{ax - 1}{3} + \frac{x + a}{2} = 1\)的解，求\(a\)的值； 解：代入\(x = 2\) → \(\frac{2a - 1}{3} + \frac{2 + a}{2} = 1\)； 去分母（最小公倍数 6）→ \(2(2a - 1) + 3(2 + a) = 6\) → \(4a - 2 + 6 + 3a = 6\) → \(7a = 2\) → \(a = \frac{2}{7}\)。 第 8 页：生活应用 —— 含分数系数的实际问题 情境 1：小明读一本书，第一天读了全书的\(\frac{1}{3}\)，第二天读了全书的\(\frac{1}{4}\)，还剩 25 页，求全书页数\(x\)； 列方程：\(x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 25\)； 去分母（最小公倍数 12）→ \(12x - 4x - 3x = 300\) → \(5x = 300\) → \(x = 60\)； 答：全书 60 页。 情境 2：甲、乙两人合作加工零件，甲每小时加工\(\frac{1}{5}\)个，乙每小时加工\(\frac{1}{6}\)个，合作\(x\)小时完成 11 个零件，求\(x\)； 列方程：\((\frac{1}{5} + \frac{1}{6})x = 11\)； 去分母（最小公倍数 30）→ \((6 + 5)x = 330\) → \(11x = 330\) → \(x = 30\)； 答：合作 30 小时完成。 第 9 页：知识小结 核心法则：去分母（找最小公倍数，两边同乘莫漏项，分子多项式加括号）； 解题流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1（整合前几节所有步骤）； 易错点：漏乘常数项、分子多项式不加括号、最小公倍数找错、分母是小数转化错误； 关键衔接：本节课完成了一元一次方程解法的完整体系（移项、去括号、去分母），后续将聚焦一元一次方程的实际应用，综合运用所有解法解决复杂问题； 思想方法：“转化思想”—— 将分数系数转化为整数系数，将复杂方程转化为简单方程，体现数学中 “化繁为简” 的核心思路。 一级标题：黑体， 5 知识点 用去分母解一元一次方程 1.将方程的两边同乘____，可得到 ，这 种变形叫________，其依据是_________________。 12 去分母 等式的基本性质2 举一反三 6 2.解一元一次方程 时，去分母正确的是( ) D A. B. C. D. 举一反三 7 3.方程 的解为( ) B A. B. C. D. 举一反三 8 思考2：解一元一次方程有哪些步骤？与同伴进行交流。 方法总结： 解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x = a的形式。 例1 解方程： ×30 ×30 ×30 解：去分母，得 6(x + 15) = 15 - 10(x - 7)。 去括号，得 6x + 90 = 15 - 10x + 70。 移项、合并同类项，得 16x = -5。 方程两边同除以 16，得 。 如果先去括号呢？ 4.（18分）解方程： （1） ； 解：去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边都除以2，得 。 举一反三 11 （2） ； 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 两边都除以，得 。 举一反三 12 （3） ； 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 两边都除以13，得 。 （4） ； 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 。 举一反三 13 （5） ； 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 两边都除以14，得 。 举一反三 14 （6） 。 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 两边都除以26，得 。 举一反三 15 1. 解方程： 。 解：去分母，得 3(x - 3) - 2(x＋1) = 1。 去括号，得 3x - 9 - 2x - 2 = 1。 移项，得 3x - 2x = 1 + 9 + 2。 合并同类项，得 x = 12。 1. 去分母时，应将方程的左右两边同乘分母的 ； 2. 去分母的依据是 ，去分母时 不能漏乘 ； 3. 去分母与去括号这两步分开写，尽量不要跳步， 防止忘记变号. 最小公倍数 等式的基本性质 2 没有分母的项 例2 火车用 26 秒的时间通过一个长 256 米的隧道 (即从车头进入入口到车尾离开出口)，这列火车又以同速 16 秒的时间通过了长 96 米的隧道，求火车的长度。 解：设火车的长度为 x 米，列方程得 解得 x = 160. 答：火车的长度为 160 米. 方法总结：火车过桥问题中，火车行驶的路程等于桥的长度加上火车的长度。 练一练 1.有一个关于教室人数的回答：“在所有学生中，除了 在学数学， 在学音乐，以及 沉默无言的学生以外，还有 3 名学生在探讨问题.”到底有多少人在教室里呢? 分析： 学数学人数＋学音乐人数＋沉默无言人数＋探讨问题人数＝总人数 解：设教室里共有 x 人. 去分母(方程两边乘以 28)，得 －3x＝－84. 系数化为 1，得 答：教室里共有 28 人. 根据总人数一定，列得 x＝28. 移项及合并同类项，得 14x＋7x＋4x＋84＝28x. 5.（8分）［2025郑州模拟］小红在解方程 时，第一步出现 了错误： 举一反三 21 （1）请在小红错误处的下方画横线； 解：小红的错误处如图所示。 （2）写出你的解答过程。 解：，，， 。 举一反三 22 6. 已知方程与方程 的解相 同，则 的值为( ) B A. B. C. D. 举一反三 23 7. 如图，，为数轴上的两点，为原点，点， 表示的数分别是，。若，两点之间的距离等于， 两点之间的 距离，则 的值是____。 举一反三 24 8.［教材习题 变式］父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的 年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿年龄是父亲现在年龄的 ，女儿现在 的年龄是____岁。 28 举一反三 25 9.（4分）解方程： 。 解：去分母，得 ，去括号， 得，移项、合并同类项，得 ， 两边都除以18，得 。 举一反三 26 10.（8分） 阅读以下材料，完成任务。 解方程： 。 解：原方程可化为 ， 去分母，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 。 举一反三 27 任务： （1）由变形到 是利用了( ) C A.等式的基本性质 B.乘法分配律 C.分数的基本性质 D.去分母 举一反三 28 （2）请仿照上述方法解方程： 。 解：原方程可化为 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 。 举一反三 29 变形名称 具体的做法 去分母 乘所有分母的最小公倍数. 依据是等式的基本性质2. 去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号. 依据是去括号法则和乘法分配律. 移项 把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式的基本性质1. 合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加. 依据是乘法分配律. 系数化为 1 在方程的两边除以未知数的系数. 依据是等式的基本性质2. 解一元一次方程的一般步骤 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) Content Adaptive Encoding 3.0 eq \f(1,2) eq \f(1,4) eq \f(1,7) eq \f(1,2) x＋ eq \f(1,4) x＋ eq \f(1,7) x＋3＝x. $