5.3.1 形积问题 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程形积问题，核心为等积变形与等长变形，通过铁丝围图、圆柱改造等实际情境导入，连接图形周长面积公式与方程应用，以表格梳理信息、分步解题为学习支架。 其亮点在于结合生活实例培养数学眼光中的抽象能力与几何直观，通过等量关系推理发展数学思维中的推理意识，以“审设列解检答”步骤强化数学语言的模型意识。如长方形改正方形求边长等实例，助学生提升应用能力，教师可直接用于教学提高效率。

授课教师： . 班 级： 七年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学七年级上册教学课件 第五章 一元一次方程 5.3.1形积问题 2026年8月1日 北师大版七年级上册数学5.3.1 形积问题 练习题 本节是一元一次方程实际应用的基础题型，核心为等积变形问题。解题核心思想：图形切割、拉伸、重塑前后，体积（面积）保持不变，即形变积不变。重点掌握长方形、正方形、圆形的周长与面积公式，熟练利用“变形前面积=变形后面积”列方程求解，掌握边长变化、图形拼接、等长围图等经典题型，是几何与方程结合的必考基础题型。 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 形积等变形问题的核心等量关系是（ ） A. 图形周长不变 B. 图形面积（体积）不变 C. 边长不变 D. 形状不变 2. 用一根铁丝围成正方形，改围成长方形，不变的量是（ ） A. 面积 B. 周长 C. 边长 D. 形状 3. 一个长方形长为$$x$$，宽为4，面积为36，列方程正确的是（ ） A. $$4+x=36$$ B. $$2(x+4)=36$$ C. $$4x=36$$ D. $$x-4=36$$ 4. 正方形边长为$$x$$，周长为48，则边长为（ ） A. 4 B. 12 C. 24 D. 16 5. 将一个长方形拉伸变形，下列说法正确的是（ ） A. 周长改变 B. 面积一定不变 C. 边长总和不变 D. 形状不变 6. 用长为60cm的铁丝围成一个长方形，若长为$$x$$，则宽为（ ） A. $$60-x$$ B. $$30-x$$ C. $$60-2x$$ D. $$30-2x$$ 7. 长方形长增加2cm，宽不变，发生变化的是（ ） A. 周长和面积 B. 只有周长 C. 只有面积 D. 都不变 8. 一个长方形周长为40，长是宽的3倍，设宽为$$x$$，列方程正确的是（ ） A. $$x+3x=40$$ B. $$2(x+3x)=40$$ C. $$x+3=40$$ D. $$3x=40$$ 9. 等积变形问题中，下列公式错误的是（ ） A. 长方形周长$$=2(长+宽)$$ B. 长方形面积$$=长\times宽$$ C. 正方形周长$$=边长\times4$$ D. 正方形面积$$=边长\times2$$ 10. 一根铁丝围成长10、宽6的长方形，重新围成正方形，正方形边长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 形积等变形问题的核心规律：________不变，形状改变。 12. 铁丝围图问题：铁丝长度即为图形的________，围不同图形________不变。 13. 长方形面积公式：$$S=$$________，正方形面积公式：$$S=$$________。 14. 周长为56的正方形，边长为________，面积为________。 15. 长方形宽为5，长为$$x$$，周长为________，面积为________。 16. 图形切割、拼接后，________保持不变，周长可能改变。 三、解答题（共36分） 17.（12分）用一根长80cm的铁丝围成一个长方形，已知长方形的长是宽的3倍，求这个长方形的长、宽和面积。 18.（12分）一根铁丝可以围成一个长12cm、宽8cm的长方形，如果将这根铁丝重新围成一个正方形，求正方形的边长和面积。 19.（12分）一个长方形长为15cm，宽为10cm，将长缩短$$x$$cm，宽不变，面积减少30cm²，请列方程求出$$x$$的值。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：等积变形核心：形状改变，面积、体积保持不变。 2.B 解析：铁丝长度固定，围不同图形周长不变，面积改变。 3.C 解析：长方形面积=长×宽，直接列乘积方程。 4.B 解析：$$4x=48$$，解得$$x=12$$。 5.C 解析：拉伸图形边长总和不变，周长不变，面积改变。 6.B 解析：周长60，长+宽=30，宽=$$30-x$$。 7.A 解析：边长改变，周长和面积都会发生变化。 8.B 解析：宽$$x$$，长$$3x$$，周长$$2(x+3x)=40$$。 9.D 解析：正方形面积=边长×边长。 10.B 解析：原周长$$2\times(10+6)=32$$，正方形边长$$32\div4=8$$。 二、填空题 11. 面积（体积） 12. 周长；周长 13. $$长\times宽$$；$$边长\times边长$$ 14. 14；196 15. $$2(x+5)$$；$$5x$$ 16. 面积 三、解答题 17. 解：设长方形宽为$$x$$ cm，则长为$$3x$$ cm。 由题意得：$$2(x+3x)=80$$，合并得$$8x=80$$，解得$$x=10$$。 长：$$3\times10=30$$（cm），宽：10（cm），面积：$$30\times10=300$$（cm²）。 答：长方形长30cm，宽10cm，面积300cm²。 18. 解：长方形周长：$$2\times(12+8)=40$$（cm），铁丝总长不变。 设正方形边长为$$x$$ cm，$$4x=40$$，解得$$x=10$$。 正方形面积：$$10\times10=100$$（cm²）。 答：正方形边长10cm，面积100cm²。 19. 解：原面积：$$15\times10=150$$（cm²），缩短后长为$$(15-x)$$cm。 现面积：$$10(15-x)$$，根据面积差列方程：$$150-10(15-x)=30$$。 去括号得$$150-150+10x=30$$，解得$$x=3$$。 答：长缩短了3cm。 (1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ 在这个过程中什么没有发生变化？ 长方形的周长(或长与宽的和)不变 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形。 x m (x + 1.4) m 等量关系： （长 + 宽）× 2 = 周长 解： 设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x + 1.4)m. 根据题意，得 (x + 1.4 + x) ×2 = 10 解得 x = 1.8 1.8 + 1.4 = 3.2 答：此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m. (2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？ x m (x + 0.8) m 解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x + 0.8) m. 根据题意，得 (x + 0.8 + x) ×2 = 10 解得 x = 2.1 2.1 + 0.8 = 2.9 此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m， 面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2)， (1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2). 此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大了，增大了6.09－5.76 = 0.33(m2). (3) 如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比，又有什么变化？ x m (x + x)×2 = 10 解得 x = 2.5 正方形的面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2). 解：设正方形的边长为 x m. 根据题意，得 比(2)中面积增大 6. 25 - 6.09 = 0.16(m2). 正方形的边长为 2.5 m， 同样长的铁丝可以围更大的地方. 知识点1 周长、面积问题 1.已知长方形的周长为，长比宽多，设宽为 ，则可列方 程为( ) B A. B. C. D. 举一反三 8 （第2题） 2.［2025长沙月考］如图，一个长方形的周长为 26，如果这个长方形的长减少4，宽增加3，就可 围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别 为( ) B A.11，2 B.10，3 C.8，5 D.7，6 举一反三 9 02 新知探究 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、 高、容积 02 新知探究 “容积不变” 等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积 改造前 改造后 直径(半径)减少，高如何变化？ 03 新知讲解 　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 03 新知讲解 (3)根据等量关系，列出方程 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 = 答：新包装的高度为14.52cm 列方程的关键找出问题中的等量关系 解这个方程得：x=14.52 （第3题） 3.如图是用铁丝围成的一个梯形，若将其改成一个 长和宽之比为 的长方形，则该长方形的长为___， 宽为____。 11 5.5 举一反三 14 4.（6分）［教材习题 变式］如图，小刚将一个正 方形纸片剪去一个宽为 的长条后，再从剩下的长方 形纸片上剪去一个宽为 的长条，如果两次剪下的长 条面积正好相等，那么最终剩余的长方形纸片的面积为 多少？ 解：设正方形的边长为 ，由题意得 ，解得 。 。 答：最终剩余的长方形纸片的面积为 。 举一反三 15 知识点2 等积变形问题 5.［教材习题 变式］在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水 全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确 方程是( ) A A. B. C. D. 举一反三 16 6.一个底面半径为 的圆柱形储油器中，用油浸泡了若干个钢珠，从 中捞出一个体积为 的钢珠后，油面将下降( ) D A. B. C. D. 举一反三 17 7.［教材习题变式］一个底面半径为、高为 的圆柱 形大杯中存满了水，若把水全部倒入底面直径为 的圆柱形小杯中， 刚好倒满6杯，则小杯的高为( ) C A. B. C. D. 举一反三 18 8.有一个长、宽、高分别是，， 的长方体钢锭，现将 它锻压成一个底面是边长为 的正方形的长方体钢锭，它的高为 ________。（忽略锻压过程中的损耗） 举一反三 19 9.如图，周长为68的长方形 被分成7个完全一样的小长方形，则长 方形 的面积为( ) C （第9题） A.98 B.196 C.280 D.284 举一反三 20 （第10题） 10.如图，一个酒瓶的容积为 ，瓶子内还剩有一些黄 酒。当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为 ， 倒放时，空余部分的高度为 ，则瓶子的底 面积为( ) C A. B. C. D. 举一反三 21 应用一元一次方程 图形等积变化 应用一元一次方程解决实际问题的步骤 图形等长变化 列 ⑤检 ④解 设 审 ⑥答 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $