5.3.1形积问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程形积问题，核心为“形变、量不变”，涵盖等积变形、周长不变等题型及几何公式。通过橡皮泥捏圆柱情境导入，引导学生观察变化中的不变量，搭建从具体操作到数学抽象的学习支架。 特色在于以问题驱动探究，如饮料罐改造、铁丝围图形等实例，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识）。用表格梳理信息、规范解题步骤，小结分类解决方案，帮助学生形成模型意识，教师可借助系统资源提升教学效率。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 5.3.1形积问题 第五章 一元一次方程 北师大版七年级上册数学5.3.1形积问题 一、本节核心知识点 1. 形积问题核心等量关系（必考） 形积问题全称图形面积、体积形变问题，核心口诀：形变、量不变。 物体形状改变、摆放方式改变、熔铸、拉伸、裁剪后，体积不变、周长不变、面积不变（根据题型对应），以此列方程。 2. 常用几何公式（解题必背） （1）平面图形公式 长方形：周长 $$C=2(a+b)$$ 面积 $$S=ab$$ 正方形：周长 $$C=4a$$ 面积 $$S=a^2$$ 三角形：面积 $$S=\frac12ah$$ 圆：面积 $$S=\pi r^2$$ （2）立体图形公式 长方体体积：$$V=abc$$ 正方体体积：$$V=a^3$$ 圆柱体体积：$$V=\pi r^2h$$ 3. 形积问题两大经典题型 题型一：等积变形问题（最常考） 铁块熔铸、橡皮泥重塑、水的转移、金条锻造等。 等量关系：变形前体积 = 变形后体积 题型二：周长/面积不变变形 铁丝围图形：同一根铁丝围成正方形、长方形、圆形。 等量关系：铁丝总长不变 = 图形周长不变 4. 形积问题标准解题步骤 ① 审：判断是体积不变还是周长不变； ② 设：设未知的边长、高、半径为$$x$$； ③ 列：套公式，根据“变形前=变形后”列一元一次方程； ④ 解：解方程； ⑤ 验：结果符合实际长度（正数）。 5. 经典例题（考试原题模板） 例题：一根长80cm的铁丝，围成一个长方形，长是宽的3倍，求长方形的长和宽。 解：设长方形宽为$$x\ \text{cm}$$，则长为$$3x\ \text{cm}$$。 根据周长不变列方程：$$2(x+3x)=80$$ 去括号：$$8x=80$$ 系数化为1：$$x=10$$ 长：$$3\times10=30\ \text{cm}$$ 答：长方形宽10cm，长30cm。 6. 高频易错点 ① 混淆周长不变和体积不变，找错等量关系； ② 周长公式忘记乘2，面积、体积公式记混； ③ 设未知数不带单位，作答不写单位； ④ 长方形长与宽倍数关系搞反。 二、同步练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 铁丝围不同图形，不变的量是（） A. 面积 B. 周长 C. 体积 D. 边长 2. 橡皮泥捏成不同形状，不变的是（） A. 表面积 B. 体积 C. 周长 D. 底面积 3. 长方形周长公式正确的是（） A. $$C=a+b$$ B. $$C=2(a+b)$$ C. $$C=ab$$ D. $$C=a^2$$ 4. 正方体体积公式是（） A. $$V=a^2$$ B. $$V=a^3$$ C. $$V=2a$$ D. $$V=ab$$ 5. 形积问题的核心等量关系是（） A. 形状不变 B. 形变总量不变 C. 面积变大 D. 体积变小 6. 用铁丝围长方形，长增大则宽会（） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 形积问题核心规律：形变________不变。 2. 同一根铁丝围图形，________不变。 3. 物体熔铸重塑，________不变。 4. 长方形周长$$C=$$________。 5. 正方形周长$$C=$$________。 6. 长方体体积$$V=$$________。 三、判断题（每题3分，共18分） 1. 铁丝围长方形变正方形，周长不变。（） 2. 橡皮泥捏扁后体积变小。（） 3. 形积问题关键是找不变量列方程。（） 4. 长方形周长一定时，长越大宽越小。（） 5. 物体形状改变，面积一定不变。（） 6. 等积变形问题用体积相等列方程。（） 四、应用题（每题17分，共34分） 1. 一根铁丝长60cm，围成一个长方形，长是宽的2倍，求长方形的长和宽。 2. 一块正方体铁块棱长4cm，熔铸成长8cm、宽4cm的长方体，求长方体的高。 三、参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 二、填空题 1. 总量 2. 周长 3. 体积 4. $$2(a+b)$$ 5. $$4a$$ 6. $$abc$$ 三、判断题 1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.√ 四、应用题 1. 解：设宽为$$x\ \text{cm}$$，长为$$2x\ \text{cm}$$。 $$2(x+2x)=60$$，$$6x=60$$，$$x=10$$ 长：$$2\times10=20\ \text{cm}$$ 答：长20cm，宽10cm。 2. 解：设长方体高为$$x\ \text{cm}$$。 正方体体积：$$4\times4\times4=64\ \text{cm}^3$$ 长方体体积：$$8\times4\times x=32x$$ 列方程：$$32x=64$$，解得$$x=2$$ 答：长方体的高为2cm。 能根据几何图形问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想. 通过对几何图形问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系. 经历运用方程解决几何图形问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识. 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题： (1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了? (2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢? 创设情境，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决几何图形问题 1.图形的等积变化 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、 高、容积 活动引入，合作探究 “容积不变” 等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积 容积不变，但直径(半径)和高有变 改造前 改造后 直径(半径)减少，高如何变化？ 　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 12 x 容积/cm3 (3)根据等量关系，列出方程 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 = 解得 x=14.52 答：新包装的高度为14.52cm 1.列方程的关键 找出问题中的等量关系 2.解决实际问题的基本步骤 理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答. 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 12 x 容积/cm3 2.图形的等长变化 用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? ②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化? 长方形的周长(或长与宽的和)不变 ①本题涉及哪些量? 铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积. 例题分析 ④如图，结合(1)(2)问题意，若设长方形的宽为 x m，则长方形的长可怎么表示? 试用含 x 的代数式在下面图中表示出来. ③题中有怎样的等量关系? 等量关系： (长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度) x m (x+1.4)m x m (x+0.8)m (1) (2) 解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m. 根据题意，得2(x+1.4) +2x＝10 解得 x=1.8 1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? x m (x+1.4)m 解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m. 根据题意，得 2(x+0.8)＋2x＝10 解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m， 长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2) (1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)，6.09-5.76＝0.33(m2) 此时(2)中长方形的面积比(1)中长方形的面积增大0.33m2 (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? x m (x+0.8)m (3)设正方形的边长为x m 根据题意，得 4x=10 解得 x=2.5 正方形的边长为 2.5m，面积为 2.5×2.5＝6.25(m2)， 比(2)中长方形的面积增大 6.25-6.09＝0.16(m2) (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? 所列方程的两边分别表示 长方形的周长和铁丝的长度 列方程的思路 先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程. 思考　 在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量? 列方程的思路是什么? 　总结：周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时(即为正方形时)，长方形(正方形)的面积最大. 1. 用一根铁丝围成的长方形围成正方形，则这个正 方形与原来的长方形比较(　C　) A. 面积与周长都不变化 B. 面积相等但周长发生变化 C. 周长相等但面积发生变化 D. 面积与周长都发生变化 C 随堂练习 2. 已知底面半径为5cm，高为7cm的圆柱体的体积 是底面直径为4cm，高为xcm的圆柱体的体积的5 倍，则下列方程正确的是(　D　) A. 5π·42·x＝π·52·7 B. π·42·x＝5π·102·7 C. 5π·()2·x＝π·()2·7 D. 5π·()2·x＝π·52·7 D 随堂练习 3. 如图，一个正方形先剪去宽为3的长方形，再剪 去宽为4的长方形，且剪下来的两个长方形面积相 等，那么原正方形的边长为(　D　) A. 16 B. 15 C. 13 D. 12 D 4. 一个长方体合金底面长为80cm，宽为60cm，高 为100cm，现要锻造成新的长方体，其底面是边长 为40cm的正方形，则新长方体的高为 ⁠. 300cm　 随堂练习 5. [教材变式]如图，将内半径为20cm的圆柱形水桶 里的水往另一小的圆柱形水桶倒，直到倒满为止.已 知小圆柱体内半径为10cm，高为15cm.当小水桶倒 满时，问大水桶的水面下降了多少厘米？ 随堂练习 （第1题） 1. 如图，正方形的一边长减少 后，得到一 个长方形（图中阴影部分）.若长方形的周长为 ，求正方形的边长.设正方形的边长为 ， 可列方程为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 19 2. ［2025深圳月考］有一位工人师傅将底面直径为10，高为 80的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40的“矮胖”形圆柱， 则“矮胖”形圆柱的高为( ) B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 返回 考试考法 20 （第3题） 3. 如图，一块长、宽 的长方形纸 板和一块长、宽 的长方形纸板、一 块正方形纸板以及另两块长方形纸板恰好拼 成一个大正方形，则大正方形的面积是 ( ) C A. B. C. D. 考试考法 21 （第3题） 【点拨】设正方形纸板的边长为 ，则大 正方形的边长为 或 ，由题意，得 ，解得 ，所以大 正方形的边长为 ，所以拼 成的大正方形的面积是 . 返回 考试考法 22 （第4题） 4. 如图，一个瓶子的容积是 ，瓶内装着一些水.当 瓶子正放时，瓶内水的高度为 ，倒 放时，空余部分的高度为 ，则瓶子的 底面积为( ) B A. B. C. D. 考试考法 23 5.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图所示 （单位： ）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳 钉成一个长方形.小颖所钉成的长方形的长为_______. （第5题） 返回 考试考法 24 6. 用 的篱笆围成一个长方形场地. （1）如果宽是长的 ，则这个长方形场地的长为______，宽 为______. 【点拨】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根据 题意,得，解得，此时 .所以 这个长方形场地的长为，宽为 . 考试考法 25 （2）如果长比宽多 ，求这个长方形场地的面积. 【解】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根 据题意,得 ， 解得.此时 . 所以这个长方形场地的面积为 . 考试考法 26 （3）如果长方形场地的一边靠墙，墙长 ，长比宽多 （长边与墙平行），这样设计是否可行？请说明理由. 不可行.理由如下: 设长方形场地的长为，则宽为 ， 根据题意,得，解得 . 因为 ，所以这样设计是不可行的. 返回 考试考法 27 课堂小结 利用一元一次方程解决一般几何图形问题 一般几何图形问题的大致类别 解决方案 等体积变形 以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解 等面积变形 以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解 等周长变形 以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解 $