4.2.3用尺规作角（课件）--2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“用尺规作角”核心内容，涵盖工具规范、作等角步骤、SSS全等依据及角的和差作图。通过打台球反射角情境导入，衔接角的比较大小知识，为后续复杂作图应用搭建学习支架。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，通过规范作图步骤与推理依据（如SSS全等）培养数学思维，用精确作法描述强化数学语言。实例丰富，如作2∠α、地图定位城市C，助力学生养成规范作图习惯与逻辑推理能力，教师可借助系统习题与清晰小结提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 七年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学七年级上册教学课件 第四章 基本平面图形 4.2.3用尺规作角 2026年8月1日 北师大版七年级上册数学4.2.3 用尺规作角 练习题 本节是几何作图的基础核心内容，重点掌握尺规作图的工具规范、作一个角等于已知角的完整步骤，能独立完成基础尺规作角操作，会作角的和、差，了解尺规作图的严谨性与规范性。熟记作图痕迹保留要求、工具使用规则，是初中几何规范作图的入门必考知识点。 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 尺规作图中“尺规”指的是（ ） A. 刻度尺和量角器 B. 无刻度直尺和圆规 C. 刻度尺和圆规 D. 量角器和圆规 2. 尺规作角的过程中，不能使用的工具是（ ） A. 无刻度直尺 B. 圆规 C. 量角器 D. 以上都不对 3. 尺规作图的核心要求是（ ） A. 无需保留作图痕迹 B. 必须保留清晰作图痕迹，不度量、不估算 C. 可以目测画图 D. 可使用刻度尺测量长度 4. 作一个角等于已知角的依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 边边边（SSS）全等判定原理 C. 角平分线定义 D. 两点之间线段最短 5. 下列操作属于尺规作角规范步骤的是（ ） A. 用量角器量出角度再画图 B. 用圆规截取等长线段 C. 徒手描摹角度 D. 用刻度尺定位角度 6. 尺规作图时，直尺的作用是（ ） A. 测量线段长度 B. 画直线、射线、线段，连接两点 C. 截取等长线段 D. 画圆弧 7. 尺规作图时，圆规的主要作用是（ ） A. 画直线 B. 截取相等线段、画圆弧 C. 测量角度 D. 测量线段长度 8. 作一个角等于已知角，最后一步操作是（ ） A. 画初始射线 B. 截取圆弧交点 C. 连接端点画出终边 D. 随意补全角 9. 下列关于尺规作角的说法错误的是（ ） A. 可以作一个角等于已知角 B. 可以作两个角的和与差 C. 作图痕迹可随意擦除 D. 作图无需度量角度数值 10. 已知∠α，利用尺规可以作出的图形是（ ） A. 只能画出∠α的近似角 B. 精准作出与∠α相等的角 C. 只能画大于∠α的角 D. 只能画小于∠α的角 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 尺规作图的工具：________直尺和________。 12. 尺规作角全程________度量角度、不估算，必须保留完整________。 13. 尺规作一个角等于已知角的数学原理是________全等原理。 14. 直尺用于画直线、连接两点，圆规用于________线段、画圆弧。 15. 利用尺规不仅可以作一个角等于已知角，还可以作角的________与________。 16. 尺规作图中，直尺________（填“能”或“不能”）测量长度。 三、解答题（共36分） 17.（12分）简述尺规作一个角等于已知角的完整操作步骤。 18.（12分）已知∠α，利用尺规作图作∠AOB=2∠α，简述作图思路与核心步骤。 19.（12分）说明尺规作角的规范性要求，以及作图中常见的两处易错点。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：标准尺规作图工具为无刻度直尺和圆规，禁止使用量角器、刻度尺测量。 2.C 解析：尺规作角严禁使用量角器度量角度，仅用无刻度直尺和圆规。 3.B 解析：尺规作图核心规范：无度量、无估算、保留全部作图痕迹。 4.B 解析：作等角通过截取三组等线段构造全等三角形，依据SSS全等原理。 5.B 解析：尺规作角依靠圆规截取等弧、等线段完成，禁止测量与徒手画图。 6.B 解析：无刻度直尺仅用于连线、画直线射线，不可测量长度。 7.B 解析：圆规核心功能：截取等长线段、绘制圆弧，是尺规作图的核心工具。 8.C 解析：作等角最后通过交点连接端点，画出角的终边，完成作图。 9.C 解析：尺规作图必须保留所有作图痕迹，严禁擦除、涂改痕迹。 10.B 解析：尺规作图可精准复刻已知角，作出完全相等的角，无误差。 二、填空题 11. 无刻度；圆规 12. 不；作图痕迹 13. SSS（边边边） 14. 截取相等 15. 和；差 16. 不能 三、解答题 17. 解：①画一条射线OA，作为所作角的始边；②以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交已知角两边于两个交点；③以点O为圆心，用相同半径画弧，交射线OA于一点；④以新交点为圆心，截取已知角弧上的弦长为半径画弧，与前弧交于一点；⑤过交点和点O画射线OB，∠AOB即为等于已知角的角。 18. 解：作图思路：在同一顶点处，连续作两个与∠α相等的角，两角相加即为2∠α。步骤：①作基础射线OA；②用尺规作∠AOC=∠α；③以OC为始边，在同侧再作∠COB=∠α；④最终∠AOB=2∠α，即为所求角。 19. 规范要求：仅使用无刻度直尺和圆规作图，不测量、不估算、不徒手画；全程保留圆弧、交点等所有作图痕迹；作图线条清晰、端点明确。易错点：①作图后擦除圆弧、交点等关键痕迹，作图不规范；②使用刻度尺、量角器辅助测量，违背尺规作图规则；③截取半径长度不一致，导致所作角度不准确。 03 新知导入 打台球时，球的反射角总是等于入射角。 如右图。红球能否被击入右下角的袋中？ 你能画出红球在第一次反弹后的运动路 线吗？ 2 02 新知探究 我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大小。如何移动一个角呢?比如，如何将图4-28(1)中的∠AOB移动到图4-28(2)的位置，使 OA与 O'A'重合? 这个角的大小由什么来决定? 03 新知讲解 (1)请你用三角尺、量角器、圆规等工具解决这一问题。 (2)如果只用尺规，如何解决这个问题?请你试一试，并与同伴进行交流。 第 1 页：情境导入 —— 为什么需要尺规作角？ 生活需求（配图提示）： 木工师傅制作对称家具时，需要复制一个与已知角相等的角，没有量角器如何精确绘制？ 数学作图要求 “无刻度工具精确作图”，用直尺和圆规（尺规）如何作出指定大小的角？ 回顾：用尺规可以作线段、作线段的垂直平分线，能否用类似思路作角？ 思考：尺规作角的关键是什么？（利用圆规截取等长线段，构造全等三角形，从而得到等角） 第 2 页：尺规作角的工具与原理 核心工具：无刻度的直尺（用于画直线、射线）和圆规（用于截取等长线段、画弧）。 作图原理（核心逻辑）： 利用圆规在已知角和待作角中，截取相等的线段（即 “等半径画弧”），构造两个全等的三角形； 全等三角形的对应角相等，因此待作角与已知角相等。 关键：作图过程中，圆规的半径（截取的线段长度）保持不变，是保证角相等的核心。 第 3 页：核心作图 —— 作一个角等于已知角（重点分步） 已知：∠AOB（配图），求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。 作图步骤（配图分步标注，关键步骤用红笔强调）： 作射线 O′A′： 用直尺画一条射线 O′A′，端点为 O′（这是待作角的一条边）； 注意：射线 O′A′的方向可任意，但要与已知角∠AOB 的边 OA 方向大致一致，便于后续作图。 在已知角∠AOB 上画弧，截取等长线段： 以已知角的顶点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； 关键：“任意长” 是指半径可自行选择，但后续步骤中圆规半径需保持一致，不能改变。 在射线 O′A′上画弧，对应截取等长线段： 以 O′为圆心，同样的半径（与步骤 2 中圆规半径相同） 画弧，交 O′A′于点 C′； 注意：必须保持半径不变，否则截取的线段 O′C′≠OC，后续角不相等。 确定待作角的另一条边的端点 B′： 以 C′为圆心，CD 的长度为半径（用圆规截取 CD 的长度：将圆规的一脚落在 C，另一脚落在 D，固定半径）画弧； 该弧与步骤 3 中所画的弧交于点 D′； 关键：此步骤半径为 CD 的长度，是连接已知角和待作角的桥梁。 作射线 O′B′： 用直尺连接 O′和 D′，并延长为射线 O′B′； 此时，∠A′O′B′即为所求作的角，且∠A′O′B′=∠AOB。 作图结论：射线 O′A′和 O′B′组成的∠A′O′B′与已知角∠AOB 相等。 第 4 页：作图步骤简化与口诀记忆 简化步骤（四步核心）： 作射线（定一边）； 已知角上画弧（截 CD）； 新射线画弧（截 C′）； 截 CD 长画弧交弧得 D′，连射线（定另一边）。 口诀记忆： “一作射线二画弧，三截等长四连弧； 半径不变是关键，等角就此作出来。” 第 5 页：作图规范与几何语言表达 作图规范（必记）： 直尺只能用于画直线、射线，不能用刻度测量长度； 圆规每次画弧前，需明确半径（“以某点为圆心，某长度为半径”）； 作图痕迹要清晰（弧的交点、线段端点需标记），不能遗漏关键标记（如 C、D、C′、D′）； 最终结果需标注所求角（如∠A′O′B′）。 几何语言表达（作图题必写）： 已知：∠AOB； 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB； 作法： ① 作射线 O′A′； ② 以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D； ③ 以 O′为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′于 C′； ④ 以 C′为圆心，CD 长为半径画弧，交步骤③中的弧于 D′； ⑤ 作射线 O′B′； ⑥ ∠A′O′B′即为所求。 第 6 页：实例解析 —— 尺规作角的应用（作角的和差） 例 1：已知∠α 和∠β（∠α > ∠β，配图），求作一个角，使它等于∠α + ∠β。 作法（简要）： ① 作∠AOB=∠α； ② 以 OB 为一边，在∠AOB 的外部作∠BOC=∠β（用尺规作角等于∠β）； ③ 则∠AOC 即为所求（∠AOC=∠α + ∠β）。 关键：作第二个角时，要以第一个角的一边为公共边，且在外部（避免重叠）。 例 2：已知∠α 和∠β（∠α > ∠β，配图），求作一个角，使它等于∠α - ∠β。 作法（简要）： ① 作∠AOB=∠α； ② 以 OB 为一边，在∠AOB 的内部作∠BOC=∠β； ③ 则∠AOC 即为所求（∠AOC=∠α - ∠β）。 关键：作第二个角时，在第一个角的内部，公共边不变。 第 7 页：易错辨析 —— 尺规作角 “雷区” 错误类型 错误做法 正确做法 错误原因 半径改变 步骤 2 和步骤 3 中圆规半径不一致 始终保持 “以 O 为圆心” 和 “以 O′为圆心” 的半径相同 半径改变导致 O′C′≠OC，角不相等 遗漏标记 未标记弧的交点 C、D、C′、D′ 所有弧的端点和交点都需用字母标记 痕迹不清晰，无法证明角相等 直尺用刻度 用直尺的刻度测量 CD 的长度 用圆规截取 CD 的长度（无刻度操作） 违反尺规作图 “无刻度” 的要求 作和差时位置错误 作∠α + ∠β 时，在∠α 内部作∠β 在∠α 外部作∠β，保证两角不重叠 位置错误导致角的和差计算错误 弧画不完整 步骤 2 中画弧未同时交 OA、OB 于 C、D 弧需完整穿过 OA 和 OB，确保有两个交点 弧不完整无法截取等长线段 CD 第 8 页：基础练习 —— 巩固尺规作角 填空题： （1）尺规作角的工具是____和____，作图的核心是保持____不变；（答案：无刻度直尺，圆规，圆规半径） （2）作一个角等于已知角时，第一步是____，第二步是在已知角上____；（答案：作一条射线，以顶点为圆心画弧交两边） （3）作∠α + ∠β 时，需以∠α 的____为公共边，在____作∠β；（答案：一边，∠α 的外部） 作图题（按规范写出作法和结论）： 已知∠1（配图），求作∠2，使∠2=2∠1。 作法提示： ① 作∠AOB=∠1； ② 以 OB 为一边，在∠AOB 外部作∠BOC=∠1； ③ ∠AOC 即为∠2（∠2=2∠1）。 第 9 页：生活应用 —— 尺规作角的实际价值 情境 1：建筑工人绘制图纸时，需要精确复制一个 30° 的角（无量角器），可先用尺规作等边三角形，再用尺规作角等于 60°，进而平分得到 30°； 情境 2：剪纸艺术中，制作对称图案时，用尺规作角等于已知角，保证图案左右对称； 情境 3：机械加工中，零件的角度校准需要精确作图，尺规作角是基础操作。 第 10 页：知识小结 核心技能：用尺规作一个角等于已知角（五步完整流程，半径不变是关键）； 作图规范：无刻度工具、痕迹清晰、标记完整、几何语言规范； 拓展应用：作角的和、差、倍（以基本作图为基础，公共边 + 内外位置控制）； 易错点：半径改变、遗漏标记、位置错误、违反无刻度要求； 衔接：本节课是几何作图的核心内容，为后续作角平分线、作三角形、作垂线等复杂作图提供基础，也是中考作图题的高频考点。 一级标题：黑体， 5 利用尺规，作一个角等于已知角． 已知：∠AOB（如图）． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′ =∠AOB． B O A (1)作射线 O′A′； 作法： (2)以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； (3)以点 O′ 为圆心，OC长为半径作弧，交 O′A′ 于点 C′； (4)以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于点 D′； (5)过点 D′ 作射线 O′B′. 则∠A′O′B′ 就是所求作的角. O D' C' B A C D B' O' A' 思考：用尺规作一个角等于已知角是尺规作图中的 基本作图，你能利用它作出其他图形吗？ 提示：可以作角的和、差、倍角及与角有关的图. 如图，已知∠AOB，∠EO'F，利用尺规作图， 比较它们的大小. A O B E O' F 知识点 用尺规作一个角等于已知角 （第1题） 1.［2025太原月考］如图，点在 的边 上，用尺规作出了 ，在作图 痕迹中，弧 是( ) D A.以点为圆心，为半径的弧 B.以点为圆心， 为半径的弧 C.以点为圆心，为半径的弧 D.以点为圆心， 为半径的弧 举一反三 10 2.求作一个角等于已知角 。如图，根据图形，补全作法。 （第2题） （1）作射线_____； （2）以_____为圆心，________为半径 画弧，交于点，交于点 ； 点 任意长 （3）以_____为圆心，_______________ ______________为半径画弧，交 于点 ； 点 的长 （或的长） （4）以______为圆心，________为半径画弧，交前面的弧于点 ； 点 的长 （5）过_____作射线 。 则 就是所求作的角。 点 举一反三 11 1.已知：∠AOB. 利用尺规作：∠A’O’B’ ， 使∠A’O’B’ = 2∠AOB. B O A 独立思考、合作交流； 口述作法、保留作图痕迹. 作法一: A’ ∠A’OB’即为所求作的角. B O A 作法二: E B’ O’ A’ ∠A’O’B’即为所求作的角. C B’ D C C’ 1.将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表： ∠1 ∠3 ∠4 ∠BCA ∠ABC ∠2 ∠5 ∠BCE ∠BAC ∠DAB 习题4.2 解：（1）7.5′，450″；（2）100′， 2.计算： （1） （ ）°等于多少分？等于多少秒？ （2）6000″等于多少分？等于多少度？ 解：∠B=30°,∠E=60°，∠BAD=180°－∠BAC=180°－60°=120°，∠DCE=90°. ∠B<∠E<∠DCE<∠BAD. 3.把两个三角尺如图所示那样拼在一起，试确定图中∠B、∠E、∠BAD、∠DCE的度数及其大小关系. 解：当点A从左向右运动时，∠α逐渐变小，∠β逐渐变大. ∠α+∠β=180°. 4.如图，直线m外有一定点O，A是m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察∠α和∠β是如何变化的,∠α和∠β之间有关系吗？ 3.（4分）［2025成都月考］如图，已知 ， ，用尺规作 ， 使 。 举一反三 17 解：如图， 即为所作。 举一反三 18 （第4题） 4.如图，已知。①以点 为圆心，任意长为半径画 弧，交于点，交于点；②以点为圆心， 的长为半径画弧，交已画的弧于点；③作射线 。 那么下列角的数量关系不正确的是( ) B A. B. C. D. 举一反三 19 5.如图， ， ，根据图中尺规作图的痕迹， 可知 的度数为_____。 （第5题） 举一反三 20 6.（4分）［教材P随堂练习T变式］如图，已知， ，求作一个 角，使它等于 。（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图， 就是所求的角。 举一反三 21 7.（4分）如图，在一张地图上有，，三个城市，其中城市 的位置 被墨迹污染了，但知道， ，请你在图中确定城市 的具体位置。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 解：如图，点 即为所求。 举一反三 22 课堂小结 一级标题：黑体， 23 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v1.0.8 $