专题10解直角三角形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题10解直角三角形暑假预习讲义 ① 巩固直角三角形基础要素，熟记勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数定义，可根据已知边、角快速求出其余边角。 ② 掌握仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角核心概念，看懂实景示意图，把实际场景抽象为直角三角形模型。 ③ 熟练构造直角三角形，针对斜屋面、堤坝、测高、测距题型，通过作垂线拆分双直角三角形，梳理边角对应关系。 ④ 规范列式计算逻辑，优先选用合适三角函数列式，减少无理数运算失误，能根据要求结果取近似值。 ⑤ 理清解题固定步骤：审题标注条件→画几何示意图→构造直角三角形→选用三角函数计算→检验结果→完整作答。 ⑥ 处理双直角三角形综合题型，利用公共边作为等量桥梁列等式求解边长、高度、水平距离。 ⑦ 高频易错点总结：坡度直接当成坡角三角函数、仰角俯角识图方向错误、计算最后忘记近似取值、模型构建错误。 ⑧ 建立数形结合建模思维，学会把生活测量类问题转化为解直角三角形几何计算题。 预习必备 知识梳理 1.解直角三角形的定义 2.直角三角形三大依据 3.解直角三角形的类型及解法 4.解直角三角形通用解题步骤 5.四大实际问题核心概念 6.四大必考题型模 7.易错易混对照表 常考题型 精讲精练 1.解直角三角形的相关计算 2.解非直角三角形 3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4.仰角俯角问题 5.方位角问题 6.坡度坡比问题 7.其他实际问题 强化题型 解答题7题 知识点01:解直角三角形的定义 在Rt△ABC中，∠C=90∘，除直角外还有 5 个元素（2 条直角边、1 条斜边、2 个锐角），已知其中2 个元素（至少 1 个是边），求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 知识点02:解直角三角形的三大依据 1）三边之间的关系（边→边） 勾股定理a2+b2=c2 作用：已知两条边，求第三条边。 2）两锐角之间的关系（角→角） 两锐角互余∠A+∠B=90∘作用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 3）边角之间的关系（边↔角） 锐角三角函数 sinA cosA tanA​ 作用：已知一边一角或两边，求其余边 / 角。 知识点03.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点04：解直角三角形实际问题标准解题步骤（考试答题模板） 1.审题：提取已知长度、角度，区分仰角 / 俯角 / 坡角 / 方位角； 2.建模画图：根据题意画出平面图形； 3.构造直角三角形（核心步骤） 无直角三角形时，过关键点作水平线、竖直线； 4.寻找等量关系 多个直角三角形一般存在公共直角边，常设公共边为x； 5.选择三角函数列式 优先使用原始已知数值，减少中途近似； 6.计算、作答，结果带上单位。 知识点05：四大实际问题核心概念（课本标准定义） 1. 仰角与俯角 水平线为基准： 仰角：视线向上，视线与水平线的夹角； 俯角：视线向下，视线与水平线的夹角。 ✅重要性质：两点之间水平线互相平行，一处仰角 = 另一处俯角（内错角相等） ❌易错：不是视线与竖直线的夹角！ 2. 坡度（坡比）与坡角 坡面：倾斜斜面； α：坡角（坡面与水平面的夹角） h：坡面垂直高度；l：坡面水平宽度 坡度（坡比）i==tanα 规范书写：常写成 1∶m，例如 i=1: 规律：坡度越大 α越大 坡面越陡。 ❌易错：坡度是比值，坡度≠坡角 3. 方位角（方向角）【课本标准表述】 以正北、正南方向为基准，向东、向西偏转形成的角度。 规范写法：北偏东30、南偏西60； 禁止写成：东偏北、西偏南（不规范） 特殊名称：北偏东45= 东北方向；南偏东45= 东南方向。 知识点06：四大必考题型模型（教材例题对应分类） 题型 1：仰角、俯角模型（测量高度） 两类考法： ①单观测点测高（包含测角仪高度，图形 = 矩形 + 直角三角形） ②双观测点双仰角（高频压轴，设高度列方程） 典型场景：旗杆、楼房、山体高度测量。 题型 2：坡度、坡角模型（堤坝、道路斜坡） 常见图形：横断面为梯形； 已知坡度，先求出垂直高度与水平宽度之比； 设问：求斜坡长度、坝底宽度、堤坝加宽 / 加高问题。 题型 3：方位角模型（航海航行问题） 特征：多个方位角，利用 “正北线互相平行” 推导三角形内角； 若无直角，作南北 / 东西垂线构造 Rt△； 经常结合三角形内角和求出特殊角（30°、45°、60°）。 题型 4：水平测距模型（河宽、两地距离） 在河岸一侧选取两个观测点，利用两角，设河宽为未知数建立方程。 知识点07：易混易错对照表 概念 正确知识点 典型错误 仰角、俯角 视线与水平线夹角 当成视线和竖直线夹角 坡度i i==tanα（比值） 把坡度直接当成坡角 方位角 先说南北，再说东西 东偏北30这类不规范表述 近似计算 最后一步再取近似小数 中途四舍五入，误差放大 辅助线 作水平 / 竖直垂线构造直角 随意连线，无法形成有效直角三角形 题型1.解直角三角形的相关计算 【典例】在中，，O是的中点，连接．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，根据正弦和余弦的定义，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 设， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过人字梯顶端作底边的垂线构造直角三角形，结合已知斜边长和底角，利用正弦三角函数的定义计算得到顶端离地面的高度． 【详解】解：过人字梯顶端作于点， 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 【跟踪专练2】如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中利用正切函数求出，再在中利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，点E在上，F为延长线上一点，将沿翻折，点A恰好与点C重合，则的余弦值为_____． 【答案】 【分析】利用翻折性质得，，先后在和中用勾股定理列方程求出和，进而求出和，最后由余弦定义求． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 沿翻折，点与点重合， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 在中，， ， ． 题型2.解非直角三角形 【典例】已知锐角中，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 【跟踪专练2】如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可知，，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD＝_____． 【答案】 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案． 【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10， ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5． 故答案是：15﹣5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 【跟踪专练1】利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（    ） A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】B 【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB•AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30º，景点B在景点C的方向就知道了 【详解】过B作BD⊥AC于D， 在Rt△ADB中，，∠DAB=45º， ∴BD=AD=cos∠DAB•AB=， ∵， ∴CD=AC-AD=km， 在Rt△CDB中， ∵BD=1km，CD=km， ∴tan∠C=， ∵tan30º=， ∴∠C=30º， 景点B在景点C北偏东30º方向， 故选择：B． 【点睛】本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解题关键． 【跟踪专练2】如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出的长，从而可得的长，再根据解直角三角形可得的长，然后根据可得的长，从而可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，延长相交于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 坡度， 设米，则米， 在中，， 解得， 米，米， 米， 米， 由题意得：， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 【跟踪专练3】一艘轮船在处测得灯塔在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达处，这时测得灯塔在船的南偏西75°方向，则灯塔离观测点、的距离分别是（    ）    A．海里、15海里 B．海里、15海里 C．海里、海里 D．海里、海里 【答案】D 【分析】过B作BH⊥AS交AS延长线于H，然后利用直角三角形中特殊角的三角函数求出线段长即可． 【详解】解：如图，过B作BH⊥AS交AS延长线于H， 由题意可知∠CAS=60°，∠SBD=75°，∠CAB=∠DBA=90°，AB=30海里 ∴∠BAH=30°，∠ABS=15°， 又∵∠AHB=90°， ∴BH=15海里，∠ABH=60°， ∴∠SBH=45°，即△SHB为等腰直角三角形， ∴SH=BH=15海里， ， ∴海里， ∴海里， ， 海里， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型4.仰角俯角问题 【典例】如图，从热气球C上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离________米（结果精确到1米，）． 【答案】273 【分析】根据特殊三角函数值进行计算与的值，即可求出建筑物A、B之间的距离． 【详解】解：由题意知， ， 在中，， 解得， 在中，， 解得， ， 【跟踪专练1】阿斯哈图石林内的标志性景观之一——草原鲲鹏．它是由第四纪冰川作用和长期风化形成的花岗岩地貌，因酷似一只栖息在草原上的鲲鹏而得名．某综合与实践小组想要测量“草原鲲鹏”的最高点到水平地面的距离，绘制出如图1所示的示意图，为“草原鲲鹏”的最高点，表示水平地面，，在点处竖直安置测量仪器，在点处测得 ，已知（图中各点均在同一竖直平面内，且点A，B，E在同一条直线上），则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意四边形为矩形，再在中利用锐角三角函数即可求解． 【详解】解：∵，， ， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ， ． 【跟踪专练2】如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，在中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 即：气球A离地面的高度约为． 【跟踪专练3】小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】分别在和中，通过解直角三角形得到，，根据列出关于的式子，变形即可求解． 【详解】解∶∵在中，，， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ． 米． 题型5.方位角问题 【典例】如图，一艘轮船由南向北航行到处时，发现在处北偏东方向上相距的地方有一座岛．已知岛周围的水域内有暗礁，若不改变航向，轮船_______（填“有”或“没有”）触礁的危险（参考数据：）． 【答案】没有 【分析】本题考查直角三角形的三角函数应用，掌握通过作垂线构造直角三角形，利用正弦函数求垂线段长度是解题的关键． 通过作岛到轮船航线的垂线，构造直角三角形，利用三角函数求出垂线段的长度，再与暗礁范围比较，判断是否有触礁危险． 【详解】解：过点作轮船航线的垂线，垂足为： 在中，， 则， ， 轮船没有触礁的危险． 故答案为：没有． 【跟踪专练1】如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【答案】 【分析】过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答； 【详解】解：如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离， 依题意，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴灯塔到环海路的距离为米． 【跟踪专练3】上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】过点B作于点N，解直角三角形可求得的长；再根据直角三角形的性质可得，从而求得的长． 【详解】解：由已知得，（海里），，， ∴， 过点B作于点N， 在直角中，（海里）， 在直角中，（海里）， 即B处与小岛M的距离为海里． 题型6.坡度坡比问题 【典例】河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 【答案】 【分析】根据迎水坡的坡度是计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是（     ）米． A． B．20 C． D． 【答案】B 【分析】利用坡比求出米，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：迎水坡的坡比是， 米， 米， （米）． 【跟踪专练2】如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 【答案】 【分析】延长交于F，得到平行四边形，得到，，，通过解直角三角形得出结果． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在直角中， ∵， ∴． 【跟踪专练3】如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 题型7.其他实际问题 【典例】如图1，三脚支架直立在水平地面上，支架脚的长为，与水平地面的夹角为，其示意图如图2，若，则点A到水平地面的距离的长为______． 【答案】 【分析】在中，，利用正弦的定义，代入已知数值即可求出的长． 【详解】解：由题意得，是直角三角形，， ， ． 【跟踪专练1】如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，得出平分且为中点，从而求出的长和的度数，最后在中利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：，为形槽的深，即， 为等腰三角形，为底边上的高 ， ，， 在中，， ， ． 【跟踪专练2】西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为_____尺．（参考数据：，，，结果精确到0.1尺） 【答案】15.1 【分析】根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，尺， （尺）， 立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为15.1尺． 【跟踪专练3】如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数即可得到上升的高度． 【详解】解：过点P作于点D， 在中，， 根据题意可知，， ． 即木桩上升了． 解答题 1．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 【答案】档案盒的厚度为5 【分析】因为已知长度和的度数，所以可以利用三角函数求出直角三角形中的边长．明确的长度构成，等于的长加上10个档案盒的总厚度，所以可求出10个档案盒的厚度，进而得到单个档案盒的厚度． 【详解】解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 2．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 3．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．如图，淮安市西游乐园景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为100米，则两景点A、B间的距离为多少米？（结果保留根号）． 【答案】米 【分析】解直角三角形，求得即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 米， 米，米， （米）， 答：A、B之间的距离为米． 5．机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点D，如图所示，则．依次求出、，根据即可求出答案． 【详解】解：过点B作交的延长线于点D，如图所示，则． 由题意，可知，． 在中，． ∵，， ∴． ∴． 在中，， ∴ ∴ 答：A，C两点间的距离约为． 6．如图，电线杆在坡度为的山坡上，在A处测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P的仰角是． (1)求的度数； (2)求该电线杆的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）延长交的延长线于点，根据题意可得 ，，解直角三角形求出，再由角的和差关系可得答案； （2）设米，解直角三角形可得米，根据，得到，解方程求出的值，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 由题意得． ∵在B处测得杆顶端点P的仰角是， ∴； ∵电线杆在坡度为的山坡上， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． （2）解：设米， 在中，米， 在中，米， 又∵， ∴ ， 解得． 在中，米 ∴ 米， 答：该电线杆的高度为米． 7．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 【答案】(1) (2)不是，桌面应下调 【分析】（1）利用正切函数关系即可求解； （2）延长交于点，在中，利用正弦函数关系求得，进而求得，此时不是正确坐姿；在中，计算出调整后的，求得调整前后的差即可． 【详解】（1）解：在中，“视线角”为，，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10解直角三角形暑假预习讲义 ① 巩固直角三角形基础要素，熟记勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数定义，可根据已知边、角快速求出其余边角。 ② 掌握仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角核心概念，看懂实景示意图，把实际场景抽象为直角三角形模型。 ③ 熟练构造直角三角形，针对斜屋面、堤坝、测高、测距题型，通过作垂线拆分双直角三角形，梳理边角对应关系。 ④ 规范列式计算逻辑，优先选用合适三角函数列式，减少无理数运算失误，能根据要求结果取近似值。 ⑤ 理清解题固定步骤：审题标注条件→画几何示意图→构造直角三角形→选用三角函数计算→检验结果→完整作答。 ⑥ 处理双直角三角形综合题型，利用公共边作为等量桥梁列等式求解边长、高度、水平距离。 ⑦ 高频易错点总结：坡度直接当成坡角三角函数、仰角俯角识图方向错误、计算最后忘记近似取值、模型构建错误。 ⑧ 建立数形结合建模思维，学会把生活测量类问题转化为解直角三角形几何计算题。 预习必备 知识梳理 1.解直角三角形的定义 2.直角三角形三大依据 3.解直角三角形的类型及解法 4.解直角三角形通用解题步骤 5.四大实际问题核心概念 6.四大必考题型模 7.易错易混对照表 常考题型 精讲精练 1.解直角三角形的相关计算 2.解非直角三角形 3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4.仰角俯角问题 5.方位角问题 6.坡度坡比问题 7.其他实际问题 强化题型 解答题7题 知识点01:解直角三角形的定义 在Rt△ABC中，∠C=90∘，除直角外还有 5 个元素（2 条直角边、1 条斜边、2 个锐角），已知其中2 个元素（至少 1 个是边），求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 知识点02:解直角三角形的三大依据 1）三边之间的关系（边→边） 勾股定理a2+b2=c2 作用：已知两条边，求第三条边。 2）两锐角之间的关系（角→角） 两锐角互余∠A+∠B=90∘作用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 3）边角之间的关系（边↔角） 锐角三角函数 sinA cosA tanA​ 作用：已知一边一角或两边，求其余边 / 角。 知识点03.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点04：解直角三角形实际问题标准解题步骤（考试答题模板） 1.审题：提取已知长度、角度，区分仰角 / 俯角 / 坡角 / 方位角； 2.建模画图：根据题意画出平面图形； 3.构造直角三角形（核心步骤） 无直角三角形时，过关键点作水平线、竖直线； 4.寻找等量关系 多个直角三角形一般存在公共直角边，常设公共边为x； 5.选择三角函数列式 优先使用原始已知数值，减少中途近似； 6.计算、作答，结果带上单位。 知识点05：四大实际问题核心概念（课本标准定义） 1. 仰角与俯角 水平线为基准： 仰角：视线向上，视线与水平线的夹角； 俯角：视线向下，视线与水平线的夹角。 ✅重要性质：两点之间水平线互相平行，一处仰角 = 另一处俯角（内错角相等） ❌易错：不是视线与竖直线的夹角！ 2. 坡度（坡比）与坡角 坡面：倾斜斜面； α：坡角（坡面与水平面的夹角） h：坡面垂直高度；l：坡面水平宽度 坡度（坡比）i==tanα 规范书写：常写成 1∶m，例如 i=1: 规律：坡度越大 α越大 坡面越陡。 ❌易错：坡度是比值，坡度≠坡角 3. 方位角（方向角）【课本标准表述】 以正北、正南方向为基准，向东、向西偏转形成的角度。 规范写法：北偏东30、南偏西60； 禁止写成：东偏北、西偏南（不规范） 特殊名称：北偏东45= 东北方向；南偏东45= 东南方向。 知识点06：四大必考题型模型（教材例题对应分类） 题型 1：仰角、俯角模型（测量高度） 两类考法： ①单观测点测高（包含测角仪高度，图形 = 矩形 + 直角三角形） ②双观测点双仰角（高频压轴，设高度列方程） 典型场景：旗杆、楼房、山体高度测量。 题型 2：坡度、坡角模型（堤坝、道路斜坡） 常见图形：横断面为梯形； 已知坡度，先求出垂直高度与水平宽度之比； 设问：求斜坡长度、坝底宽度、堤坝加宽 / 加高问题。 题型 3：方位角模型（航海航行问题） 特征：多个方位角，利用 “正北线互相平行” 推导三角形内角； 若无直角，作南北 / 东西垂线构造 Rt△； 经常结合三角形内角和求出特殊角（30°、45°、60°）。 题型 4：水平测距模型（河宽、两地距离） 在河岸一侧选取两个观测点，利用两角，设河宽为未知数建立方程。 知识点07：易混易错对照表 概念 正确知识点 典型错误 仰角、俯角 视线与水平线夹角 当成视线和竖直线夹角 坡度i i==tanα（比值） 把坡度直接当成坡角 方位角 先说南北，再说东西 东偏北30这类不规范表述 近似计算 最后一步再取近似小数 中途四舍五入，误差放大 辅助线 作水平 / 竖直垂线构造直角 随意连线，无法形成有效直角三角形 题型1.解直角三角形的相关计算 【典例】在中，，O是的中点，连接．若，则的值为_______． 【跟踪专练1】人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，点E在上，F为延长线上一点，将沿翻折，点A恰好与点C重合，则的余弦值为_____． 题型2.解非直角三角形 【典例】已知锐角中，，，则的长为_______． 【跟踪专练1】如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【跟踪专练2】如图，在中，，则的长为___________． 【跟踪专练3】如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD＝_____． 【跟踪专练1】利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（    ） A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【跟踪专练2】如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 【跟踪专练3】一艘轮船在处测得灯塔在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达处，这时测得灯塔在船的南偏西75°方向，则灯塔离观测点、的距离分别是（    ）    A．海里、15海里 B．海里、15海里 C．海里、海里 D．海里、海里 题型4.仰角俯角问题 【典例】如图，从热气球C上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离________米（结果精确到1米，）． 【跟踪专练1】阿斯哈图石林内的标志性景观之一——草原鲲鹏．它是由第四纪冰川作用和长期风化形成的花岗岩地貌，因酷似一只栖息在草原上的鲲鹏而得名．某综合与实践小组想要测量“草原鲲鹏”的最高点到水平地面的距离，绘制出如图1所示的示意图，为“草原鲲鹏”的最高点，表示水平地面，，在点处竖直安置测量仪器，在点处测得 ，已知（图中各点均在同一竖直平面内，且点A，B，E在同一条直线上），则的长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【跟踪专练3】小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型5.方位角问题 【典例】如图，一艘轮船由南向北航行到处时，发现在处北偏东方向上相距的地方有一座岛．已知岛周围的水域内有暗礁，若不改变航向，轮船_______（填“有”或“没有”）触礁的危险（参考数据：）． 【跟踪专练1】如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【跟踪专练3】上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 题型6.坡度坡比问题 【典例】河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 【跟踪专练1】冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是（     ）米． A． B．20 C． D． 【跟踪专练2】如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 【跟踪专练3】如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 题型7.其他实际问题 【典例】如图1，三脚支架直立在水平地面上，支架脚的长为，与水平地面的夹角为，其示意图如图2，若，则点A到水平地面的距离的长为______． 【跟踪专练1】如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为_____尺．（参考数据：，，，结果精确到0.1尺） 【跟踪专练3】如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 解答题 1．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 2．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 3．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 4．如图，淮安市西游乐园景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为100米，则两景点A、B间的距离为多少米？（结果保留根号）． 5．机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 6．如图，电线杆在坡度为的山坡上，在A处测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P的仰角是． (1)求的度数； (2)求该电线杆的高度（结果保留根号）． 7．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $