专题07一元一次方程的应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

专题07一元一次方程的应用暑假预习讲义 ① 牢记解题完整流程：掌握审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答六大步骤；理解检验的两层要求，既要验证数值是方程的解，还要判断结果符合现实情境。 ② 学会寻找等量关系：阅读应用题时抓取关键语句，梳理已知量、未知量之间的联系，能够借助文字、线段图分析数量关系，找准构建方程的核心等式。 ③ 掌握两种设元方法：优先直接设元（求什么设什么）；了解间接设元适用场景，能根据题目特点灵活选择，规范书写未知数附带单位。 ④ 吃透课本基础题型：熟练处理和差倍分问题、长方形周长面积几何问题、简单行程问题，能用代数式正确表达题目中的各类数量。 ⑤ 规范书写格式要求：统一单位，分清代数式书写规范；完整保留解题步骤，杜绝省略作答、漏写单位等格式问题。 ⑥ 建立方程建模思想：对比算术解法，体会方程思路的优势，学会把生活实际问题转化为一元一次方程数学模型。 ⑦ 梳理高频易错点：等量关系理解颠倒、单位不统一、求出解后忽略实际意义取舍、设元不带单位；细心审题，规避文字理解误区，提升应用题解题能力。 预习必备 知识梳理 1.一元一次方程应用解题步骤 2.常见题型、等量关系汇总表 3.分析问题中的等量关系 4.重点题型细节解读 5.解题通用思路技巧 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.配套问题（常） 2.工程问题（重） 3.销售盈亏问题（常） 4.比赛积分问题（重） 5.方案问题（难） 6.数字问题 7.几何问题（难） 8.动点问题（难点） 9..和差倍分问题（常+重） 10.电费和水费问题（常考） 11.行程问题（重） 12.比例分配问题（难点） 13.日历问题 14.古代问题（难点） 15.其他实际应用问题 知识点01：列一元一次方程解应用题标准步骤 五大规范步骤（考试书写要求，缺一易扣分） 1.审：仔细读题，梳理已知量、未知量，找出题目中的等量关系（最关键） 2.设：设未知数 ✅直接设元：问什么设什么（基础题型首选） ✅间接设元：直接列式复杂时，先设中间量，求出后再计算最终问题 ⚠️注意：设未知数必须带单位！ 3.列：用含未知数的代数式表示相关数量，根据等量关系列出一元一次方程 4.解：按照一元一次方程解法求出未知数的值 5.验、答 两层检验：①检验数值是否是方程的解；②检验结果符合实际意义（人数、物品数量不能是负数、小数；长度、速度不能为负）；最后完整写答句，带上单位。 口诀：审、设、列、解、验、答 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点02：常见题型、等量关系汇总表 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。 例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04重点题型细节解读 1. 行程问题区分要点 1）相向相遇：两人面对面走，路程相加等于全程 2）同向追及：快的在后，慢的在前，路程差等于初始距离 ⚠️易错：先后出发的题目，两者运动时间不相等，需要单独表示时间！ 2. 工程问题 常规思路： 工作效率 = 1单独完成时间 多人合作：合作效率 = 每个人效率相加 例：甲单独 10 天完成，则甲效率 3. 等积变形（高频基础题） 核心思想：物体只是形状改变，体积不变。 等 量关系：变化前体积 = 变化后体积 知识点05解题通用思路技巧 1.遇到复杂文字题，可以画图（线段图）帮助寻找等量关系；行程、和差倍分画图效果最好 2.优先寻找题目里带有 “相等、等于、刚好、总和、剩余” 这类语句，一般就是等量关系式 3.尽可能选择更容易列式的量设为未知数，降低计算难度 知识点06高频易错汇总表 易错类型 错误示例 正确分析 设元不带单位 设路程为 x 规范写法：设路程为x千米 答句漏单位、不完整 答：x=20 答：路程为 20 千米 忽略实际检验 算出人数 = 4.5 直接作答 人数必须是正整数，4.5 不符合现实，说明列式错误 数字问题列式错误 十位 2、个位 3，写成 23x 两位数正确表示：10×2+3 行程时间混淆 先后出发，默认时间相同 先出发的人用时更长，需要加减时间差 工程问题总量理解错误 默认工作总量随便取值 无总量时统一设总量为 1 等量关系列反 追及问题：快路程 + 慢路程 = 距离 追及：路程之差 = 相距距离 题型1.配套问题（常） 【典例】某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排________个船坞用于建造航母． 【跟踪专练1】某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】炒米饼是阳江本地特色小吃，某食品厂赶制春节组合大礼包，每个礼包含3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼．已知工人每人每天手工制作咸香味炒米饼30盒或原味炒米饼40盒，工厂共安排20名工人生产这两种口味．怎样分配工人，才能让每天生产的炒米饼刚好配套成大礼包？（用方程解决问题） 【跟踪专练3】小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 题型2.工程问题（重） 【典例】一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 【跟踪专练2】某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 【跟踪专练3】随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 题型3.销售盈亏问题（常） 【典例】某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】南昌市胜利路蜜雪冰城推出营销活动，每人限购1杯，价格如图，已知某团体中购买茉莉奶绿的人数是蜜桃四季春的2倍，而买新鲜冰淇淋的人数是买蜜桃四季春的一半，共花费80元，则这个团体共有________人． 【跟踪专练2】几个小伙伴打算去德州看音乐演出，他们准备用180元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话： 小红说：如果今天去看演出，我们每人一张票，正好会差一张票的钱． 小明说：过两天就是“儿童节”了，那时候去看演出，票价会打六折，我们每人一张票，还能剩36元钱呢！ 根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数． 【跟踪专练3】列方程解决下列问题： 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共24个，且描金琉璃瓶的数量是内画瓶数量的2倍，该校科技馆准备了900元，请通过计算说明这些钱够吗？ 题型4.比赛积分问题（重） 【典例】足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了场比赛，负5场，共得分，那么这个队胜了（  ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【跟踪专练1】暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，那么这个队胜了______场． 【跟踪专练2】用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 【跟踪专练3】2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 题型5.方案问题（难） 【典例】学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，设有x辆汽车，可列方程（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠_____元． 【跟踪专练2】某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用2000元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件36元． (1)若用表示每月销售该种玩具的件数，请你用含的式子分别表示这两种销售方式所得的利润． (2)在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？ (3)若每个月的销售量为600件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？ 【跟踪专练3】2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 题型6.数字问题 【典例】幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即． 一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？ 如：无限循环小数写为分数形式是．解：设，由可知，， 所以．解方程，得．于是，得．请阅读理解以上材料，依据你的理解，无限循环小数写为分数形式应该是___________． 【跟踪专练2】如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上都标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和． (2)若相对的两个叶片上的数字的和相等，求的值． 【跟踪专练3】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数是“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”． (1)判断四位数5324是不是“递减数”； (2)若一个“递减数”为，求这个“递减数”． 题型7.几何问题（难） 【典例】将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】课外活动时，小兵用超轻黏土刀竖直切割一块超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图，若这两个长方体体积之比为，则______． 【跟踪专练2】如图，长方形的周长为34，求长方形的长、宽． 【跟踪专练3】竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          题型8.动点问题（难点） 【典例】在数轴上，点表示5，从点出发，沿数轴移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A．2或8 B．2 C．8 D．−2或−8 【跟踪专练1】如图，，两点在数轴上，点表示的数为6，，点以每秒1个单位长度的速度从点向左运动，点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动（点，同时出发），点在数轴上表示的数是___________，经过__________秒，点，到原点的距离相等． 【跟踪专练2】已知数轴上A，B两点对应的数分别为和6，点P为数轴上一动点，对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数_____； (2)若点P在原点的左侧，且到点A，B的距离之和为16，求x的值； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 (1)补全表格； (2)判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； (3)运动时间为，若，直接写出的值． 题型9.和差倍分问题（常+重） 【典例】今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 【跟踪专练1】“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”，春暖花开的一天，西安市某中学初三（一）班的一些同学相约去植物园赏花，若每5人乘一车，则剩余1辆空车；若每3人乘一车，则13人无车可乘．则此次一同赏花的同学人数为______． 【跟踪专练2】西湖位于杭州市区西部，风景名胜众多．学校组织同学们游“西湖十景”并写游记，五年级有95人参加，比四年级参加人数的2倍多3人，四年级有多少人参加？（用方程解） 【跟踪专练3】某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 题型10.电费和水费问题（常考） 【典例】某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【跟踪专练1】为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为__________． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 【跟踪专练2】某市为鼓励市民节约用水，增强节水意识，决定对居民用水实行“阶梯收费”办法．规定：每户每月不超过月用水标准部分的水价为2.5元/吨，超过月用水标准部分的水价为3.5元/吨．该市小明家5月用水量为12吨，交水费32元． (1)请判断小明家5月用水是否超过标准用水量． (2)该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 【跟踪专练3】为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过度的电量 0.50 二档 至度之间的电量 0.55 三档 超过度的电量 0.80 (1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交电费__________元； (2)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度? 题型11.行程问题（重） 【典例】小明与小红的家相距公里，小明打算从家里出发骑自行车去小红家，于是小明电话告诉小红要求小红骑自行车去接他．小明出发分钟，小红才从家里出发去接小明，已知小明骑自行车每小时行驶公里，小红骑自行车每小时行驶公里，若小红出发小时后两人相遇，根据题意列方程是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】极端天气下，输电线路覆冰是电网安全的“心腹大患”，飞行除冰机器人的应用，使电网运维从“人海战术”转向“科技制胜”．已知一台除冰机器人清理一段覆冰线路，前一半路程以的速度清理，后一半路程为了加快进度，速度提高到，全程共用了，则这段线路的总长是___________m． 【跟踪专练2】周末，小明骑自行车从家出发去郊外的湿地公园游玩，平均速度为．1小时后，爸爸发现小明忘带了野餐垫，于是爸爸开车从家出发沿同一路线追赶，爸爸开车的平均速度为．求爸爸多久后能追上小明？ 【跟踪专练3】小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．如果李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14千米/小时，从宜昌到荆州的速度约为10千米/小时．从奉节到荆州的水上距离约为350千米．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： (1)奉节到宜昌的水上距离是多少千米？ (2)李白能在一日（24小时）之内从白帝城到达江陵吗？如果能，请说明理由；如果不能，请计算出李白从白帝城到达江陵需要的时间． 题型12.比例分配问题（难点） 【典例】元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【跟踪专练1】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为______升． 【跟踪专练2】甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 【跟踪专练3】2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 题型13.日历问题 【典例】如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．110 B．88 C．107 D．40 【跟踪专练1】如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 【跟踪专练2】生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为． (1)如果，则是多少？ (2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【跟踪专练3】如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，a，，． (1)若，则 ；若，则   （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，b，，，且，则代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 题型14.古代问题（难点） 【典例】《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？”设物品的价格为y钱，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了_____里． 【跟踪专练2】《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 【跟踪专练3】元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 题型15.其他实际应用问题 【典例】某校劳动实践基地种植蔬菜，安排x人除草，每人除草6平方米，还剩4平方米未除；若每人除草7平方米，则少2平方米．可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和．一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金____________克． 【跟踪专练2】已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个． (1)淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)据工作人员透露：B品牌球比A品牌球多27个，试通过列方程的方法说明A品牌球有几个． 【跟踪专练3】一个底面直径为、高为的圆柱形水瓶甲内装满水，将水瓶甲内的水倒入一个底面直径为、高为的圆柱形水瓶乙中． (1)试通过计算判断能否完全装下 (2)若装不下，则水瓶甲内剩余水的高度为多少厘米若未能装满，求水瓶乙内水面离瓶口的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07一元一次方程的应用暑假预习讲义 ① 牢记解题完整流程：掌握审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答六大步骤；理解检验的两层要求，既要验证数值是方程的解，还要判断结果符合现实情境。 ② 学会寻找等量关系：阅读应用题时抓取关键语句，梳理已知量、未知量之间的联系，能够借助文字、线段图分析数量关系，找准构建方程的核心等式。 ③ 掌握两种设元方法：优先直接设元（求什么设什么）；了解间接设元适用场景，能根据题目特点灵活选择，规范书写未知数附带单位。 ④ 吃透课本基础题型：熟练处理和差倍分问题、长方形周长面积几何问题、简单行程问题，能用代数式正确表达题目中的各类数量。 ⑤ 规范书写格式要求：统一单位，分清代数式书写规范；完整保留解题步骤，杜绝省略作答、漏写单位等格式问题。 ⑥ 建立方程建模思想：对比算术解法，体会方程思路的优势，学会把生活实际问题转化为一元一次方程数学模型。 ⑦ 梳理高频易错点：等量关系理解颠倒、单位不统一、求出解后忽略实际意义取舍、设元不带单位；细心审题，规避文字理解误区，提升应用题解题能力。 预习必备 知识梳理 1.一元一次方程应用解题步骤 2.常见题型、等量关系汇总表 3.分析问题中的等量关系 4.重点题型细节解读 5.解题通用思路技巧 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.配套问题（常） 2.工程问题（重） 3.销售盈亏问题（常） 4.比赛积分问题（重） 5.方案问题（难） 6.数字问题 7.几何问题（难） 8.动点问题（难点） 9..和差倍分问题（常+重） 10.电费和水费问题（常考） 11.行程问题（重） 12.比例分配问题（难点） 13.日历问题 14.古代问题（难点） 15.其他实际应用问题 知识点01：列一元一次方程解应用题标准步骤 五大规范步骤（考试书写要求，缺一易扣分） 1.审：仔细读题，梳理已知量、未知量，找出题目中的等量关系（最关键） 2.设：设未知数 ✅直接设元：问什么设什么（基础题型首选） ✅间接设元：直接列式复杂时，先设中间量，求出后再计算最终问题 ⚠️注意：设未知数必须带单位！ 3.列：用含未知数的代数式表示相关数量，根据等量关系列出一元一次方程 4.解：按照一元一次方程解法求出未知数的值 5.验、答 两层检验：①检验数值是否是方程的解；②检验结果符合实际意义（人数、物品数量不能是负数、小数；长度、速度不能为负）；最后完整写答句，带上单位。 口诀：审、设、列、解、验、答 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点02：常见题型、等量关系汇总表 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。 例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04重点题型细节解读 1. 行程问题区分要点 1）相向相遇：两人面对面走，路程相加等于全程 2）同向追及：快的在后，慢的在前，路程差等于初始距离 ⚠️易错：先后出发的题目，两者运动时间不相等，需要单独表示时间！ 2. 工程问题 常规思路： 工作效率 = 1单独完成时间 多人合作：合作效率 = 每个人效率相加 例：甲单独 10 天完成，则甲效率 3. 等积变形（高频基础题） 核心思想：物体只是形状改变，体积不变。 等 量关系：变化前体积 = 变化后体积 知识点05解题通用思路技巧 1.遇到复杂文字题，可以画图（线段图）帮助寻找等量关系；行程、和差倍分画图效果最好 2.优先寻找题目里带有 “相等、等于、刚好、总和、剩余” 这类语句，一般就是等量关系式 3.尽可能选择更容易列式的量设为未知数，降低计算难度 知识点06高频易错汇总表 易错类型 错误示例 正确分析 设元不带单位 设路程为 x 规范写法：设路程为x千米 答句漏单位、不完整 答：x=20 答：路程为 20 千米 忽略实际检验 算出人数 = 4.5 直接作答 人数必须是正整数，4.5 不符合现实，说明列式错误 数字问题列式错误 十位 2、个位 3，写成 23x 两位数正确表示：10×2+3 行程时间混淆 先后出发，默认时间相同 先出发的人用时更长，需要加减时间差 工程问题总量理解错误 默认工作总量随便取值 无总量时统一设总量为 1 等量关系列反 追及问题：快路程 + 慢路程 = 距离 追及：路程之差 = 相距距离 题型1.配套问题（常） 【典例】某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排________个船坞用于建造航母． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设每年应该安排个船坞用于建造航母，则安排个船坞用于建造驱逐舰，每年航母产量为艘，驱逐舰产量为艘，根据配套要求，驱逐舰数量应为航母数量的4倍，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设每年应该安排个船坞用于建造航母，则安排个船坞用于建造驱逐舰， 由题意得：， 解得， 故答案为：4． 【跟踪专练1】某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配套规则确定螺栓和螺母总数的等量关系，列出方程． 【详解】解：由题意知，加工螺母的人数为人， ∴每天加工螺栓总数为个，每天加工螺母总数为个， 列方程得 ，故选项B符合题意． 【跟踪专练2】炒米饼是阳江本地特色小吃，某食品厂赶制春节组合大礼包，每个礼包含3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼．已知工人每人每天手工制作咸香味炒米饼30盒或原味炒米饼40盒，工厂共安排20名工人生产这两种口味．怎样分配工人，才能让每天生产的炒米饼刚好配套成大礼包？（用方程解决问题） 【答案】安排16名工人生产咸香味炒米饼，4名工人生产原味炒米饼，可刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程求解． 设安排名工人生产咸香味炒米饼，则安排名工人生产原味炒米饼，根据题意，每个礼包需3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼，且刚好配套，即可建立方程． 【详解】解：设安排名工人生产咸香味炒米饼，则安排名工人生产原味炒米饼，根据题意，每个礼包需3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼，且刚好配套， ∴ 解得：， 则生产原味炒米饼的工人：（名） 答：安排16名工人生产咸香味炒米饼，4名工人生产原味炒米饼，可刚好配套． 【跟踪专练3】小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 【答案】需要用张白纸做盒身 【分析】设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖，每张白板纸做2个盒身，则盒身总数量为个；每张白板纸做3个盒盖，则盒盖总数量为个，利用“一个盒身需要配两个盒盖”列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， 答：需要用张白板纸做盒身． 题型2.工程问题（重） 【典例】一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把整个工程的工作总量看作单位1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得，． 【跟踪专练1】年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 【答案】 【分析】根据生产总任务量不变建立等量关系，设未知数后列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产个轮船模型， 由题意可知，实际生产天数为天，实际每天生产个，根据总任务量相等，列方程得： ， 解得：， 即原计划每天生产6个轮船模型． 【跟踪专练2】某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 【答案】80个 【分析】设每小时加工产品10个时，总加工小时，列式得，再解方程即可． 【详解】解：设每小时加工产品10个时，总加工小时，则实际加工小时， ， 整理得，解得， （个）， 答：该产品一共有80个． 【跟踪专练3】随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 【答案】0.9万件 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 题型3.销售盈亏问题（常） 【典例】某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“获利=实际售价-成本”． 【详解】解：设这批摆件的标价为元/套， ∵促销活动为八八折后再减8元， ∴实际售价为元， ∵每套进价为60元，要求获利18元，且获利等于实际售价减去进价， ∴列方程得． 【跟踪专练1】南昌市胜利路蜜雪冰城推出营销活动，每人限购1杯，价格如图，已知某团体中购买茉莉奶绿的人数是蜜桃四季春的2倍，而买新鲜冰淇淋的人数是买蜜桃四季春的一半，共花费80元，则这个团体共有________人． 【答案】 14 【分析】设购买蜜桃四季春的人数为人，根据题意分别表示出购买茉莉奶绿和新鲜冰淇淋的人数，结合图示单价和总花费列出方程求解即可． 【详解】解：设购买蜜桃四季春的人数为人．则购买茉莉奶绿的人数为人，购买新鲜冰淇淋的人数为人，根据共花费80元列方程求解即可． 由图可知，茉莉奶绿单价6元，蜜桃四季春单价7元，新鲜冰淇淋单价2元． 根据题意，得， 整理，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以这个团体共有人． 【跟踪专练2】几个小伙伴打算去德州看音乐演出，他们准备用180元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话： 小红说：如果今天去看演出，我们每人一张票，正好会差一张票的钱． 小明说：过两天就是“儿童节”了，那时候去看演出，票价会打六折，我们每人一张票，还能剩36元钱呢！ 根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数． 【答案】小伙伴的人数为4人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设票价为元，列方程求解得到票价，根据每人一张票，正好会差一张票的钱得出人数． 【详解】解: 设票价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 人数为：（人）． 答：小伙伴的人数为4人． 【跟踪专练3】列方程解决下列问题： 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共24个，且描金琉璃瓶的数量是内画瓶数量的2倍，该校科技馆准备了900元，请通过计算说明这些钱够吗？ 【答案】(1)描金琉璃瓶40元，内画瓶30元 (2)钱够用 【分析】（1）设内画瓶单价元，琉璃瓶元，根据题意列出一元一次方程并求解，即可解答； （2）设内画瓶个，琉璃瓶个，依题意列出一元一次方程并求解，再求出总费用并比较大小，即可解答． 【详解】（1）解：设内画瓶单价元，琉璃瓶元， 依题意，得， ， ， ， ∴内画瓶30元，琉璃瓶（元）， 答：描金琉璃瓶每个40元，内画瓶每个30元． （2）解：设购买内画瓶个，购买琉璃瓶个， 依题意，得， 解得， ∴琉璃瓶（个）， 总费用：（元）， ∵， ∴钱够用． 题型4.比赛积分问题（重） 【典例】足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了场比赛，负5场，共得分，那么这个队胜了（  ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据比赛场次和得分规则建立等量关系．首先根据总场次和负场数求出胜场与平场的总场次，设胜场数为未知数，根据总得分列出一元一次方程，进而求解即可． 【详解】解：设这个队胜了场，则平的场次为场， 可列方程：， ：； 故选：B． 【跟踪专练1】暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，那么这个队胜了______场． 【答案】5 【分析】先根据总场数与负场数确定胜场与平场的总场数，再设未知数，根据总得分列出一元一次方程求解即可. 【详解】解：设这个队胜了场， 由题意得，总比赛9场，负2场，因此平的场数为场， 根据得分规则，总得分满足方程 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. ∴这个队胜了场． 【跟踪专练2】用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 【答案】该班胜了7场比赛 【分析】设该班胜了x场比赛，根据积分规则列方程求解即可． 【详解】解：设该班胜了x场比赛，则平场，依题意得： 解得： 答：该班胜了7场比赛． 【跟踪专练3】2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【答案】这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【分析】设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场．根据总积分为18分列方程求解即可． 【详解】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场． 根据题意得： 解得： 答：这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 题型5.方案问题（难） 【典例】学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，设有x辆汽车，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等量关系为：汽车辆数汽车辆数．依此列出方程即可求解． 【详解】解：设有x辆汽车，根据题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．一般地题目中有2个未知量时，应设数目较小的量为未知数，另一个量作为等量关系的依据． 【跟踪专练1】在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠_____元． 【答案】128 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物可能有两种情况，需要分类讨论清楚． 根据优惠方案，爸爸购物款220元不超过500元，无优惠；妈妈付款756元，设妈妈原购物款为元，根据不同优惠方案分类讨论，列出方程，求出原购物款，然后求得爸爸和妈妈的总购物款，判断出优惠方案，求出一次性购买的付款总额，再与分开付款总额相比，即可求得答案． 【详解】解：爸爸购买物品220元，由于不超过500元，不享受优惠，实际付款220元； 妈妈付款756元，享受优惠，设妈妈原购物款为元， 当时，享受8折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴舍去； 当时，享受9折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴妈妈原购物款为840元， ∴爸爸妈妈总购物款为（元）， ∵， ∴享受8折优惠， 则需付款（元）， 分开付款总额为（元）， ∴一次购买可优惠元． 故答案为：128． 【跟踪专练2】某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用2000元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件36元． (1)若用表示每月销售该种玩具的件数，请你用含的式子分别表示这两种销售方式所得的利润． (2)在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？ (3)若每个月的销售量为600件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？ 【答案】(1)厂家门市销售的利润为元，委托商场销售的利润为元 (2)在两种销售方式下，每个月销售500件，所得利润相等 (3)当每个月的销售量为600件时，直接由厂家门市销售获得的利润较多，利润为5200元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）借助（1）中的式子，根据题意列方程即可； （3）代入，分别计算不同销售方式的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得厂家门市销售的利润为（元）， 委托商场销售的利润为（元）； （2）解：由题意，得， 解得． 答：在两种销售方式下，每个月销售500件，所得利润相等． （3）解：当时， （元）， （元）， ， ∴当每个月的销售量为600件时，直接由厂家门市销售获得的利润较多，利润为5200元． 【跟踪专练3】2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 【答案】(1)①；理由见解析 (2)A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①； 理由如下： ∵（万元），1.92万元2万元， （万元），1.6万元1.5万元， ∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）, 售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元）， ∵14.08万元14.5万元， ∴购买①车价格更低； （2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元． 根据题意可列方程为， 解得， ∴（万元）， 答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元． 题型6.数字问题 【典例】幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等”列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即． 一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？ 如：无限循环小数写为分数形式是．解：设，由可知，， 所以．解方程，得．于是，得．请阅读理解以上材料，依据你的理解，无限循环小数写为分数形式应该是___________． 【答案】 【分析】仿照示例的方法计算即可． 【详解】解：设， ， ， ， 解得：， 无限循环小数写为分数形式是． 【跟踪专练2】如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上都标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和． (2)若相对的两个叶片上的数字的和相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应的式子或方程； （1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：若，这四个有理数的和为． （2）解：因为相对的两片叶片上数字的和相等，则， 解得：． 【跟踪专练3】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数是“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”． (1)判断四位数5324是不是“递减数”； (2)若一个“递减数”为，求这个“递减数”． 【答案】(1) 5324不是“递减数” (2) 这个“递减数”为4312 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴5324不是“递减数”； （2）解：∵为递减数， ∴， 解得， ∴这个“递减数”是4312． 题型7.几何问题（难） 【典例】将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据两种不同的放置方式，找出关于桌子高度、长方体木块长和宽的等量关系，通过列方程组求解． 【详解】解：设长方体木块的长为，宽为，桌子的高度为． 根据题意，可得方程组：， 将两个方程相加，得： 解得： 故选：C． 【跟踪专练1】课外活动时，小兵用超轻黏土刀竖直切割一块超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图，若这两个长方体体积之比为，则______． 【答案】 或 【详解】解：∵这两个长方体体积之比为， ∴或， 解得：或． 【跟踪专练2】如图，长方形的周长为34，求长方形的长、宽． 【答案】长为、宽为． 【分析】根据长方形的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形的周长为34， ∴， 解得：， ∴长方形的长为、宽为． 【跟踪专练3】竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 题型8.动点问题（难点） 【典例】在数轴上，点表示5，从点出发，沿数轴移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A．2或8 B．2 C．8 D．−2或−8 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点的距离计算，分当点A沿数轴负方向移动3个单位长度到达点时，当点A沿数轴正方向移动3个单位长度到达点时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：当点A沿数轴负方向移动3个单位长度到达点时，则点表示的数是， 当点A沿数轴正方向移动3个单位长度到达点时，则点表示的数是， ∴点B表示的数为2或8， 故选A． 【跟踪专练1】如图，，两点在数轴上，点表示的数为6，，点以每秒1个单位长度的速度从点向左运动，点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动（点，同时出发），点在数轴上表示的数是___________，经过__________秒，点，到原点的距离相等． 【答案】 8或12 【分析】先求出，即可得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当或时，点，到原点的距离相等．据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∴点表示的数为，点表示的数为； 当或时，点，到原点的距离相等． 解得：或， 即经过8秒或12秒，点，到原点的距离相等． 【跟踪专练2】已知数轴上A，B两点对应的数分别为和6，点P为数轴上一动点，对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数_____； (2)若点P在原点的左侧，且到点A，B的距离之和为16，求x的值； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)存在，x的值为或7 【分析】本题考查一元一次方程的应用、两点间的距离，熟练根据题意列出方程、分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． （1）根据线段中点的定义进行计算即可； （2）分情况讨论：当点在点的右侧或点在点的左侧时，根据两点间的距离列出方程，解方程即可； （3）分情况讨论，当点P在点A左侧或点P在点A和点B中间或点P在点B右侧时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由于点P为的中点， 则点P对应的数， 故答案为：2； （2）解：当点在点的右侧时， 根据题意得：， 则这种情况不存在； 当点在点的左侧时， 根据题意得：， 解得； 综上所述，x的值为； （3）解：存在，理由如下： 当点P在点A左侧时，， 解得； 当点P在点A和点B中间时，， 则这种情况不存在； 当点P在点B右侧时，， 解得， 综上所述，x的值为或7． 【跟踪专练3】数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 (1)补全表格； (2)判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； (3)运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)相遇，相遇点表示的数为 (3)或5 【分析】（1）根据表格求出点和点的运动方向和速度，即可得解； （2）设运动时间为，则点对应数为，点对应数为，根据两点相遇时对应数相等列方程求出的值，再求出相遇点表示的数即可； （3）设运动时间为，则，，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向左运动，每秒移动3个单位长度， 点在的对应数为； 由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向右运动，每秒移动2个单位长度， 点在的对应数为； （2）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， 若两点运动过程中相遇，则， 解得：， 即两点运动时相遇，相遇点表示的数为； （3）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， ，， ， ， 解得：或5， 即若，的值为或5． 题型9.和差倍分问题（常+重） 【典例】今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】设东东今年年龄为未知数，根据年龄倍数关系表示出爷爷今年年龄，再结合12年后的年龄倍数关系列方程求解． 【详解】解：设东东今年的年龄是岁， 根据题意，得：， 解得 ， 答：东东今年的年龄是9岁． 【跟踪专练1】“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”，春暖花开的一天，西安市某中学初三（一）班的一些同学相约去植物园赏花，若每5人乘一车，则剩余1辆空车；若每3人乘一车，则13人无车可乘．则此次一同赏花的同学人数为______． 【答案】40 【分析】根据题意设出车辆数为未知数，利用两种乘车方式中总人数相等建立方程，求解后计算得到同学总人数． 【详解】解：设共有辆车， ∵每5人乘一车，则剩余1辆空车；若每3人乘一车，则13人无车可乘， ∴ 解得， 则同学总人数为． 【跟踪专练2】西湖位于杭州市区西部，风景名胜众多．学校组织同学们游“西湖十景”并写游记，五年级有95人参加，比四年级参加人数的2倍多3人，四年级有多少人参加？（用方程解） 【答案】四年级有46人参加 【详解】解：设四年级有x人参加， ， ， ， 答：四年级有46人参加. 【跟踪专练3】某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 【答案】甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元 【分析】设未知数表示两种名著的单价，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲种名著的单价为元，则乙种名著的单价为元， 根据题意，得， 解得， 则， 故甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元． 题型10.电费和水费问题（常考） 【典例】某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系∶不超过标准量的部分的水费超过标准量的部分的水费元列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设该市每户的月用水标准量为x吨， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故选C． 【跟踪专练1】为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为__________． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 【答案】 【分析】本题考查了阶梯计费问题；先判断该同学家的用水量包含哪些阶梯，由表格可知第一阶梯的水费为元，第二阶梯的水费为元，该同学家的用水量明显包含三个阶梯．该同学家缴纳的总水费扣除第一、二阶梯的总水费，就能得出第三阶梯的水费，从而得出第三阶梯的用水量． 【详解】解：根据表格知，，则该同学家的用水量包括第三阶梯费用． 设该同学这一年的用水量为， 依题意得：， 解得： 答：该同学家这一年的用水量为． 故答案为300． 【跟踪专练2】某市为鼓励市民节约用水，增强节水意识，决定对居民用水实行“阶梯收费”办法．规定：每户每月不超过月用水标准部分的水价为2.5元/吨，超过月用水标准部分的水价为3.5元/吨．该市小明家5月用水量为12吨，交水费32元． (1)请判断小明家5月用水是否超过标准用水量． (2)该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 【答案】(1)超过 (2)10吨 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． （1）计算出若用水量未超过标准时的水费为元，实际水费32元大于30元，因此用水量超过标准． （2）设月用水标准量为吨，根据阶梯收费规则，列方程求解． 【详解】（1）解：∵若用水量未超过标准，则水费为（元）， 而实际水费为32元，， ∴小明家5月用水超过标准用水量． 答：超过． （2）解：设该市规定的每户月用水标准量是吨． 由（1）知用水超过标准， ∴用水12吨中，标准部分为吨，超过部分为吨． 根据题意，水费为． 解得：． 答：该市规定的每户月用水标准量是10吨． 【跟踪专练3】为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过度的电量 0.50 二档 至度之间的电量 0.55 三档 超过度的电量 0.80 (1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交电费__________元； (2)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度? 【答案】(1)260 (2)320度 【分析】（1）根据阶梯电价收费标准进行计算即可； （2）首先确定该月用电量在二档，设小明家九月份用电x度，结合题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：（元）， ∴小明家七月份应缴260元电费； （2）当用电220度时，应缴电费（元）； 当用电420度时，应缴电费（元）． ∵， ∴该月用电量在二档， 设小明家九月份用电x度， 则有，解得． 答：该月用电320度． 题型11.行程问题（重） 【典例】小明与小红的家相距公里，小明打算从家里出发骑自行车去小红家，于是小明电话告诉小红要求小红骑自行车去接他．小明出发分钟，小红才从家里出发去接小明，已知小明骑自行车每小时行驶公里，小红骑自行车每小时行驶公里，若小红出发小时后两人相遇，根据题意列方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一时间单位，确定两人的骑行时长、路程，根据“两人骑行路程之和等于两家总距离”列方程． 【详解】解：分钟小时， 小红骑行小时的路程为：(公里)， 小明骑行小时的路程为：(公里)， 相遇时两人路程和等于两家的距离公里，因此列方程得：． 【跟踪专练1】极端天气下，输电线路覆冰是电网安全的“心腹大患”，飞行除冰机器人的应用，使电网运维从“人海战术”转向“科技制胜”．已知一台除冰机器人清理一段覆冰线路，前一半路程以的速度清理，后一半路程为了加快进度，速度提高到，全程共用了，则这段线路的总长是___________m． 【答案】 【分析】设这段线路的总长为 ，根据“前一半路程的用时加上后一半路程的用时等于总用时 ”，列一元一次方程求解即可. 【详解】设这段线路的总长为 ， 由题意得： ， 整理得： ， 去分母得： ， 合并同类项得： ， 系数化为得：， 这段线路的总长是． 【跟踪专练2】周末，小明骑自行车从家出发去郊外的湿地公园游玩，平均速度为．1小时后，爸爸发现小明忘带了野餐垫，于是爸爸开车从家出发沿同一路线追赶，爸爸开车的平均速度为．求爸爸多久后能追上小明？ 【答案】爸爸后能追上小明 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设爸爸开车后能追上小明，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设爸爸开车后能追上小明， 根据题意，得， 解得， 答：爸爸后能追上小明． 【跟踪专练3】小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．如果李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14千米/小时，从宜昌到荆州的速度约为10千米/小时．从奉节到荆州的水上距离约为350千米．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： (1)奉节到宜昌的水上距离是多少千米？ (2)李白能在一日（24小时）之内从白帝城到达江陵吗？如果能，请说明理由；如果不能，请计算出李白从白帝城到达江陵需要的时间． 【答案】(1)奉节到宜昌的水上距离为 (2)李白不能在一日之内从白帝城到达江陵， 【分析】（1）奉节到宜昌的水上距离为千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多列出方程，解方程即可; （2）用两段时间之和计算即可. 【详解】（1）解：设奉节到宜昌的水上距离是． 根据题意得：，解得． 答：奉节到宜昌的水上距离为． （2）解：， ∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．李白从白帝城到达江陵需要的时间为． 题型12.比例分配问题（难点） 【典例】元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 【跟踪专练1】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为______升． 【答案】12 【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论． 【详解】解：根据题意得：2斗升， 设可以换得的粝米为x升， 则， 解得：， 故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升． 故选：12． 【点睛】本题考查了比例的应用，本题首先要弄清题意，正确列比例式是解决本题的关键． 【跟踪专练2】甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为153本． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设甲捐书 本，则乙捐书 本，丙捐书为本，根据他们共捐374本，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为本， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴，，， 答：甲捐书85本，乙捐书136本，丙捐书为153本．． 【跟踪专练3】2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【详解】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 题型13.日历问题 【典例】如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．110 B．88 C．107 D．40 【答案】A 【分析】设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，求出这5个数的和为，结合选项，列出方程即可解答． 【详解】解：设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为． 这5个数的和为， A、，解得，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，符合题意 B、，解得，不是正整数，不符合题意； C、，解得，不是正整数，不符合题意； D、，解得，则左上的数为，不符合题意． 【跟踪专练1】如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 【答案】24 【分析】设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为，列出方程运算求解即可． 【详解】解：设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为， 即：， 解得：． 【跟踪专练2】生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为． (1)如果，则是多少？ (2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 他的说法是错误的， 理由：由（1）知，当时，不是整数，此种情况不存在， ∴他的说法是错误的． 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，理解题意并列出方程是解题的关键． （1）根据月历的特点化简条件式即可； （2）列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：根据月历的特点可知，，，，， ∴， 解得：； （2）略 【跟踪专练3】如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，a，，． (1)若，则 ；若，则   （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，b，，，且，则代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)9， (2)小胖的说法不正确；理由见解析 (3)代数式的值是定值，18． 【分析】（1）利用及，即可求出的值及用含x的代数式表示出的值； （2）不同意小胖的说法，假设被框住的5个数字之和能为111，根据5个数字之和为111，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再结合图形可得出不符合题意，进而可得出假设不成立，即小胖的说法不正确； （3）代数式的值是定值，根据各数之间的关系，用含a的代数式表示出b，，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：若，则； 若，则． （2）解：不同意小胖的说法，理由如下： 假设被框住的5个数字之和能为111， 根据题意得， 解得：， 由图知，25在最后一行的最左边， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即小胖的说法不正确； （3）解：代数式的值是定值，理由： 根据题意得：，，， ∴， ∴代数式的值是定值，该定值为18． 题型14.古代问题（难点） 【典例】《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？”设物品的价格为y钱，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】核心等量关系是两种出钱情况下合伙人数不变，只需用物价分别表示出两种情况的人数，再根据人数相等列方程即可． 【详解】设物品价格为钱， ∵每人出钱，多出钱，总出钱数为， ∴合伙人数为； 又∵每人出钱，还差钱，总出钱数为， ∴合伙人数为； ∵合伙人数相等， ∴． 【跟踪专练1】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了_____里． 【答案】192 【分析】设第六天走的路程为里，根据每天走的路程为前一天的一半，可推出前五天的路程，根据六天总路程为378里，建立一元一次方程求解，即可得到第一天走的路程． 【详解】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，第四天走的路程为里，第三天走的路程为里，第二天走的路程为里，第一天走的路程为里， 依题意列方程得：， 合并同类项得：， 解得：． 则第一天走的路程为里． 【跟踪专练2】《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 【答案】 井深8尺，绳长36尺 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是抓住绳长固定不变这一等量关系列出方程求解． 【详解】解：设井深为尺， ∴， 解得，， ∴井深为尺，绳长为（尺）， 答：井深8尺，绳长36尺． 【跟踪专练3】元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【答案】原来有酒斗． 【分析】设原来有酒斗，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原来有酒斗，则 ， 解得：． 答：原来有酒斗． 题型15.其他实际应用问题 【典例】某校劳动实践基地种植蔬菜，安排x人除草，每人除草6平方米，还剩4平方米未除；若每人除草7平方米，则少2平方米．可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据除草总面积不变列方程，分别用含x的式子表示两种情况下的除草总面积，令两式相等即可得到方程． 【详解】解：∵安排x人除草，除草的总面积保持不变， 第一种情况：每人除草6平方米，还剩4平方米未除， ∴除草总面积为， 第二种情况：每人除草7平方米，少2平方米， ∴除草总面积为， ∵总面积相等， ∴可列方程． 【跟踪专练1】由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和．一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金____________克． 【答案】60 【分析】设这件金银饰品中含金克，则含银克，根据浸没水中后弹簧测力计总示数等于金的示数与银的示数之和，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件金银饰品中含金克，则含银克， 根据题意列方程得： 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 【跟踪专练2】已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个． (1)淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)据工作人员透露：B品牌球比A品牌球多27个，试通过列方程的方法说明A品牌球有几个． 【答案】(1)不正确，见解析 (2)37个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）先解该一元一次方程，再根据方程的解不是正整数说理即可； （2）根据题意可得B品牌球有个，然后根据乒乓球总数101个建立方程求解即可． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 解得， ∵x表示乒乓球的个数，必须为正整数，而不是正整数 ∴淇淇的说法不正确 ； （2）解：由题意得， ， 解得 答：A品牌球有37个． 【跟踪专练3】一个底面直径为、高为的圆柱形水瓶甲内装满水，将水瓶甲内的水倒入一个底面直径为、高为的圆柱形水瓶乙中． (1)试通过计算判断能否完全装下 (2)若装不下，则水瓶甲内剩余水的高度为多少厘米若未能装满，求水瓶乙内水面离瓶口的距离． 【答案】(1)不能完全装下 (2)装不下，水瓶甲内剩余水的高度为 【分析】（1）根据圆柱体体积公式，分别计算两个水瓶的体积，比较即可得出答案； （2）根据（1）中结论，设水瓶甲内剩余水的高度为，根据圆柱体体积公式得出，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：圆柱形水瓶甲的体积为， 圆柱形水瓶乙的体积为， 因为， 所以不能完全装下． （2）解：设水瓶甲内剩余水的高度为， ∴． 解这个方程，得． 答：装不下，水瓶甲内剩余水的高度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $