第18讲 角（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

本讲义聚焦“角”的核心知识点，从角的概念与表示切入，系统梳理钟面角计算、度分秒换算、方向角、大小比较、角平分线、尺规作图及余角补角等内容，构建从基础定义到综合应用的完整学习支架。 资料以思维导图总览知识脉络，通过典型例题（如钟面角、方向角）培养几何直观与模型意识，创新题和压轴题提升推理能力与创新意识。知识总结表、随堂检测及课后巩固设计，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第18讲 角（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解角的概念 — 掌握角的定义、表示方法（∠AOB、∠O、∠1），能区分角与射线。 · 掌握钟面角计算 — 熟练运用时针与分针的转动规律（时针0.5°/min，分针6°/min）求夹角。 · 熟练度分秒换算 — 掌握 1°=60′，1′=60″，能进行度分秒与十进制度之间的互化。 · 理解方向角 — 能根据方向角描述位置，结合平行线性质进行角度推算。 · 角的大小比较 — 能通过度量、叠合、计算等方式比较角的大小，灵活运用余角/补角性质。 · 角平分线及其应用 — 理解角平分线的定义，能结合图形进行角度计算与推理。 · 尺规作图作角 — 掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的基本方法。 · 综合问题解决 — 能运用角的有关知识解决创新题型与压轴题，提升逻辑推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 角的概念与表示 定义：角是由两条有公共端点的射线组成的图形。这个公共端点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。 表示方法： · 用三个大写字母表示：∠AOB（顶点在中间） · 用顶点一个大写字母表示：∠O（当以O为顶点的角只有一个时） · 用数字表示：∠1、∠2 · 用希腊字母表示：∠α、∠β 注意：角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关。 ※ 典型例题 1 如图，在∠AOC 内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　） A．∠AOC 不可以用∠O 表示   B．这条射线记作射线 BO   C．∠1 与∠AOB 是同一个角   D．∠AOC＝∠AOB＋∠2 解析： 射线用两个大写字母表示时，端点在前，故射线应记作射线 OB（或射线 BO？注意：射线 BO 表示以 B 为端点，而图中是以 O 为端点，故 B 选项错误）。选 B。 ☆ 2. 钟面角 核心规律： · 分针每分钟转动 6°（360°÷60） · 时针每分钟转动 0.5°（360°÷12÷60） · 钟面上每个大格对应 30°（360°÷12） 计算方法：先分别计算时针和分针从12点方向转过的角度，再求差（取不大于180°的角）。 ※ 典型例题 2 在 6:20 这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（　　） 解析： 6:20 时，分针指向4，时针从6点位置又走了 20×0.5°=10°，故夹角为 30°×73=70°。 ☆ 3. 度分秒的换算 进制关系： · 1°=60′（1度 = 60分） · 1′=60″（1分 = 60秒） · 1°=3600″ 换算方法：从大单位化小单位用乘法，从小单位化大单位用除法。 ※ 典型例题 3 把 27.24° 用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．27°24′   B．27°2′4″   C．27°14′24″   D．27°20′4″ 解析： 0.24° = 0.24×60′ = 14.4′，0.4′ = 0.4×60″ = 24″，故 27.24° = 27°14′24″。选 C。 ☆ 4. 方向角 定义：以观测点为中心，以正北或正南方向为基准，用小于90°的角来描述方向。如“北偏东40°”“南偏西25°”。 注意：方向角中的“偏”字表示偏离基准方向的角度。 ※ 典型例题 4 如图，一轮船在海上往东行驶，在 A 处测得灯塔 C 位于北偏东75°，在 B 处测得灯塔 C 位于北偏东35°，则 ∠ACB 的度数为（　　） 解析： ∠CAB = 90°−75° = 15°，∠ABC = 90°+35° = 125°，故 ∠ACB = 180°−15°−125° = 40°。选 B。 ☆ 5. 角的大小比较 方法： · 度量法：用量角器量出度数，度数大的角大。 · 叠合法：将两个角的顶点和一条边重合，看另一条边的位置。 · 计算法：通过角的和差关系进行推理比较。 ※ 典型例题 5 已知 ∠A = 52°15′，∠B = 52.15°，比较 ∠A 与 ∠B 的大小。 解析： 15′ = 0.25°，故 ∠A = 52.25°，52.25° > 52.15°，所以 ∠A ＞ ∠B。填 ＞。 ☆ 6. 角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫作这个角的角平分线。 符号表示：若 OC 平分 ∠AOB，则 ∠AOC = ∠COB = ½∠AOB。 ※ 典型例题 6 如图，点 O 在直线 AB 上，OC 平分 ∠BOD，若 ∠1 = 54°，则 ∠2 的度数为（　　） 解析： ∠BOD = 180°−∠1 = 126°，OC 平分 ∠BOD，故 ∠2 = ½×126° = 63°。 ☆ 7. 尺规作图作角 基本步骤：（作一个角等于已知角） 1. 以已知角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点； 2. 以射线端点为圆心，同样长为半径画弧，交射线于一点； 3. 以该点为圆心，以两交点间距离为半径画弧，交前弧于一点； 4. 连接端点与交点，即得所求角。 ※ 典型例题 7 如图，用尺规作图作出 ∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧 MN 是（　　） 解析： 根据作一个角等于已知角的步骤，弧 MN 是以点 E 为圆心，以 DC 长为半径的弧。 ☆ 8. 余角和补角 余角：如果两个角的和等于 90°（直角），那么这两个角互为余角。 补角：如果两个角的和等于 180°（平角），那么这两个角互为补角。 性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 ※ 典型例题 8 若 ∠A = 50°25′，则 ∠A 的补角为（　　） A．40°35′   B．39°35′   C．129°35′   D．130°35′ 解析： 180°−50°25′ = 129°35′。选 C。 ☑ 知识总结表 核心概念 定义/要点 注意事项 角的概念 两条有公共端点的射线组成的图形 角的大小与边的长短无关 钟面角 时针 0.5°/min，分针 6°/min 夹角取 ≤180° 的角 度分秒换算 1°=60′，1′=60″ 从大化小乘60，从小化大除60 方向角 以正北或正南为基准，小于90° 注意“偏”的方向和角度 角平分线 将角分成两个相等角的射线 ∠AOC=∠COB=½∠AOB 余角 / 补角 和为90° / 180° 同角或等角的余角/补角相等 核心考点 ·9大典型考点精讲 【考点1】角的概念（第1-5题） · 角的表示：∠AOB（顶点在中间）、∠O（顶点处只有一个角）、∠1（数字）、∠α（希腊字母）。 · 角的大小：与两边张开程度有关，与边长无关。 · 射线与角：射线是角的一边，角由两条射线组成。 · 数角技巧：按顺序从一边开始，依次与其他边组合，避免重复遗漏。 1．（2025秋•茂南区期末）如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　） A．∠AOC不可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠2 2．（2025秋•中江县期末）下列叙述正确的是（　　） A．角的两边越长，角度越大 B．连结两点间的线段叫做这两点间的距离 C．两点之间线段最短 D．到线段两端点距离相等的点是线段的中点 3．（2026春•海阳市期中）给出下列说法： ①射线AB与射线BA是同一条射线； ②连接两点之间的线段，叫作这两点间的距离； ③若AC＝BC，则点C是线段AB的中点； ④角的大小与角的两边的长短无关． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026春•栖霞市期中）下列关于角的说法，正确的有（　　） ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③在角的一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025秋•宜昌期末）如图，图中的角共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【考点2】钟面角（第6-10题） · 分针速度：6°/min；时针速度：0.5°/min。 · 大格角度：30°（12大格）。 · 计算步骤：①分别求时针、分针从12点方向转过的角度；②作差取绝对值；③若大于180°则用360°减。 6．（2026春•福山区期中）如图，在6：20这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 7．（2026春•桓台县期中）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（　　） A．120° B．80° C．15° D．10° 8．（2026春•莱山区期中）时钟上08：20分针与时针所夹角的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 9．（2025秋•衡南县期末）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（　　） A．75° B．120° C．135° D．150° 10．（2025秋•平原县期末）当时钟指向上午10：10时，时针与分针的夹角是（　　） A．60° B．115° C．120° D．125° 【考点3】度分秒的换算（第11-18题） · 进制：1°=60′，1′=60″，1°=3600″。 · 化法：度→分→秒：乘以60；秒→分→度：除以60。 · 计算：加减运算时，分秒满60进1，不够借1当60。 11．（2026春•招远市期中）下列换算中，正确的是（　　） A．83.5°＝83°50′ B．57.28°＝57°16′48″ C．19°5′24″＝19.9° D．0.25°＝1500″ 12．（2026春•淄川区期中）下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（　　） A．0.45°＝1620″ B．125.45°＝12545″ C． D．1.5°＝90′ 13．（2025秋•惠州期末）把27.24°用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．27°24′ B．27°2′4″ C．27°14′24″ D．27°20′4″ 14．（2025秋•平顶山期末）如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放，若∠1＝67°32'，则∠2的度数为（　　） A．23°68' B．22°68' C．23°28' D．22°28' 15．（2025秋•隆回县期末）已知∠α＝31.2°，将∠α用度分秒表示正确的是（　　） A．31°2′ B．31°12′ C．31°20′ D．31°12″ 16．（2025秋•玉溪期末）黄赤交角，是指地球公转轨道面（黄道面）与赤道面（天赤道面）的交角，目前，这个角α约为23°26′，黄赤交角的存在使得地球上有了四季变化．如图是黄赤交角的示意图，其中地轴与赤道面的夹角为90°，则图中β的度数是（　　） A．66°34′ B．65°34′ C．66°24′ D．65°24′ 17．（2025秋•汉川市期末）计算： （1）67°39′+48°41′； （2）90°﹣39°9′50″×2． 18．（2016秋•平顶山期末）如图，∠BAC和∠DAE都是70°30′的角． （1）如果∠DAC＝27°30′，那么∠BAE等于多少度？（写出过程） （2）请写出图中相等的角； （3）若∠DAC变大，则∠BAD如何变化？ 【考点4】方向角（第19-24题） · 基准：正北或正南方向为基准，如“北偏东40°”。 · 相对方向：“A在B的北偏东40°” ⇔ “B在A的南偏西40°”。 · 计算：常结合平行线性质（内错角、同位角、同旁内角）求角度。 19．（2026春•温州期中）小州参加定向比赛，如图，从点A地沿北偏东40°方向到点B地，再从B地沿北偏西23°方向到点C地，则∠ABC的度数为（　　） A．73° B．99° C．107° D．117° 20．（2026春•江岸区月考）点A的位置如图所示，则关于点A的位置说法中最准确的是（　　） A．在距离点O5km处 B．在点O西偏北55°方向上5km处 C．在点O北偏西35°方向上5km处 D．在点O北偏西55°方向上5km处 21．（2026春•集美区校级期中）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（　　） A．距离学校1200米处 B．西南方向上的1200米处 C．北偏东65°方向上的1200米处 D．南偏西65°方向上的1200米处 22．（2026•绥化校级开学）李明家在学校的东偏南40°方向300m处，学校在李明家的（　　） A．西偏南40°方向300m处 B．南偏东40°方向300m处 C．西偏北40°方向300m处 23．（2025秋•安顺期末）如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东75°，在B处测得灯塔C位于北偏东35°，则∠ACB＝（　　） A．32° B．40° C．45° D．50° 24．（2026春•海淀区校级期中）如图A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是　 　 度，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是　 　 度． 【考点5】角的大小比较（第25-34题） · 度量法：统一单位后比较度数。 · 叠合法：顶点重合，一边重合，看另一边位置。 · 计算法：利用角的和差关系推理。 · 特殊角：直角90°，平角180°，周角360°。 25．（2026春•张店区期中）已知∠A＝52°15′，∠B＝52.15°，请你比较它们的大小：∠A　 　 ∠B．（填“＞”“＜”或“＝”）． 26．（2026•苏州模拟）若∠A＝40°15'，∠B＝40.15°，则（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定 27．（2025秋•象州县期末）如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（　　） A．∠AOB＜∠AOC B．∠BOC＞∠AOD C．∠DOB＞∠BOC D．∠AOD＞∠BOD 28．（2025秋•武都区期末）在小于平角的∠AOB的内部取一点C，并作射线OC，则一定有（　　） A．∠AOC＞∠BOC B．∠AOC＝∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC 29．（2026春•高碑店市月考）如图，∠α　 　 ∠β．（填“＞”或“＜”） 30．（2024秋•龙岗区校级期末）如图所示，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，那么∠DAC与∠ACB的大小关系为∠DAC　 　 ∠ACB．（选填“＞”“＜”或“＝”） 31．（2024春•青白江区校级期中）如图，由图中可知∠1 　 　 ∠2（＞，＜，＝），理由是 　 　 ． 32．（2023秋•信宜市期末）如图，∠AOB和∠COD都是直角，则∠1 　 　 ∠2（填＞，＝，＜）． 33．（2022秋•滦州市期末）将一副三角板按图甲的位置放置． （1）∠AOD　 　 ∠BOC（选填“＜”或“＞”或“＝”）； （2）猜想∠AOC和∠BOD在数量上的关系是 　 　 ． （3）若将这副三角板按图乙所示摆放，三角板的直角顶点重合在点O处．（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 34．（2012春•东阿县校级期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是37°18′，我应该最大!”∠B说：“我是37.2°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大!”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【考点6】角平分线（第35-40题） · 定义：将角分成两个相等角的射线。 · 符号：若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB。 · 应用：常结合平角、直角、邻补角进行角度推算。 35．（2026•安阳模拟）如图，点O在直线AB上，OC平分∠BOD，若∠1＝54°，则∠2的度数为（　　） A．63° B．68° C．73° D．78° 36．（2026春•莱山区期中）如图，点A，O，B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD等于（　　） A．130° B．165° C．155° D．150° 37．（2026•渭滨区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AD平分∠BAC，CE⊥AD，则∠BEC的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 38．（2025秋•蓝山县期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OD平分∠AOE，OF平分∠BOE，则∠DOF的度数为（　　） A．60° B．90° C．120° D．无法确定 39．（2023秋•屯昌县期末）点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数； ②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）； （2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 40．（2014秋•宁波期末）如图，已知O是直线MN上的一点，∠AOB＝90°，经过点O的直线DC平分∠BON，∠1＝38°，求∠3和∠DOA的度数． 【考点7】作图（第41-45题） · 作一个角等于已知角：用圆规截取，SSS全等保证角度相等。 · 作角平分线：以顶点为圆心画弧，再以交点为圆心画弧，连接顶点与交点。 · 作垂线：利用圆规作线段垂直平分线或过一点作垂线。 41．（2026•新城区校级模拟）已知：如图，∠O及其一边上的两点A，B．请用直尺和圆规在∠O内部，求作Rt△ABC，使得∠ABC＝90°，且∠BAC＝∠O．（不写作法，保留作图痕迹） 42．（2026•莱州市模拟）观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB＞AC的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 43．（2025秋•承德县期末）如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（　　） A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧 44．（2026春•扬州期中）如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． （1）作∠A的平分线； （2）过点C作线段AB的垂线． 45．（2025秋•寿阳县期末）如图，已知∠AOB，用尺规作一个角等于2∠AOB．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【考点8】余角和补角（第46-50题） · 余角：两角和为90°，∠α的余角 = 90°−∠α。 · 补角：两角和为180°，∠α的补角 = 180°−∠α。 · 性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。 46．（2026春•莱阳市期中）若∠A＝50°25′，则∠A的补角为（　　） A．40°35′ B．39°35′ C．129°35′ D．130°35′ 47．（2026春•沈河区校级期中）一个角的度数是60°，那么它的余角的补角的度数是（　　） A．150° B．140° C．130° D．40° 48．（2026春•银川校级期中）已知一个角等于它的余角的3倍，则这个角的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 49．（2025秋•铁东区期末）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 50．（2025秋•金山区期末）已知直线MN，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线MN上，并记为点A，该锐角的两边分别记为射线AB，射线AC，且字母A，B，C按顺时针方向排列（射线AB，AC不与直线MN重合）．作射线AD平分∠MAB，射线AE平分∠NAC． （1）如图1，若∠BAC＝45°，∠MAD＝45°，则∠NAE＝ 　 　 °； （2）如图2，若∠DAE＝120°，且∠MAD与∠CAE互余，求∠NAE的度数； （3）将三角尺绕点A旋转，使得射线AD，AE都在直线MN的下方，直接写出∠DAE的度数的所有可能值． 【考点9】创新及压轴题（第51题） · 综合推理：灵活运用角平分线、余角补角、角的和差关系。 · 动态问题：旋转、运动中的角度变化，注意分类讨论。 · 代数法：设未知数，利用等量关系列方程求解。 51．（2025秋•南岔县期末）已知：如图1，OB、OC分别为锐角∠AOD内部的两条动射线，当OB、OC运动到如图的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°， （1）求∠BOC的度数； （2）如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数． （3）如图3，若OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 随堂检测 · 精选练习 练习1：角的概念判断 练习2：方向角与方位 练习3：钟面角计算 练习4：角平分线与双中点模型 【练习1】（2025秋•新乡期末）如图射线OA，OC的方向分别为北偏东56°和南偏西76°，射线OB平分∠AOC，则射线OB的方向可以描述为（　　） A．北偏西64° B．北偏西24° C．南偏西28° D．北偏西22° 【练习2】（2025秋•南开区期末）如图，已知∠AOB＝48°，点C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，以OD长为半径作弧，交OC于点F；③以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接CG并延长交OA于点H．则∠AHC的度数为（　　） A．24° B．42° C．48° D．96° 【练习3】（2026春•周村区校级期中）当钟面上的时间是9点30分时，时针与分针的夹角是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【练习4】（2025秋•长葛市校级期末）如图1，已知OM平分∠AOC，OB是∠COM内的一条射线，ON平分∠BOC． 【初步应用】 （1）如果∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数； 【类比探究】 （2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数； 【迁移探究】 （3）如图2，已知点M是线段AC的中点，点B是线段CM上的一点，点N是线段BC的中点，试判断线段MN与线段AB的数量关系，并说明理由． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：方向角与平行线 作业2：余角与补角计算 作业3：钟面角综合 作业4：尺规作图与角度计算 作业5：角平分线与余补角综合 ❤ 复习建议 ① 强化基础概念：角的概念、表示方法、大小比较是后续学习的基础，务必熟练掌握。 ② 熟练换算与计算：度分秒换算是高频考点，多做练习，注意进位与借位。 ③ 钟面角专项训练：理解时针、分针的转动速度，结合大格角度快速求解。 【作业1】（2026•河南模拟）如图，一艘小船从岛A出发，沿北偏东36°方向行驶一段时间到达暗礁B后，右转90°继续前进，此时∠1的大小为　 　 ． 【作业2】（2026•启东市模拟）将一副直角三角尺如图放置，若∠BOC＝155°，则∠AOD＝ 　 　 °． 【作业3】（2026春•莱阳市期中）某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间时针与分针夹角的度数是　 　 ． 【作业4】（2025秋•蜀山区校级期末）已知：如图，∠AOB＝90°，OC是∠AOB内部一条射线． （1）请你用直尺和圆规在∠AOB外部作∠AOD，使得∠AOD＝∠AOC（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若OE平分∠BOC，且∠BOE＝18°，求∠BOD的度数． 【作业5】（2021秋•东洲区期末）如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）与∠AOE互补的角是　 　 ． （2）若∠AOC＝72°，求∠DOE的度数； （3）当∠AOC＝x时，请直接写出∠DOE的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 角（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解角的概念 — 掌握角的定义、表示方法（∠AOB、∠O、∠1），能区分角与射线。 · 掌握钟面角计算 — 熟练运用时针与分针的转动规律（时针0.5°/min，分针6°/min）求夹角。 · 熟练度分秒换算 — 掌握 1°=60′，1′=60″，能进行度分秒与十进制度之间的互化。 · 理解方向角 — 能根据方向角描述位置，结合平行线性质进行角度推算。 · 角的大小比较 — 能通过度量、叠合、计算等方式比较角的大小，灵活运用余角/补角性质。 · 角平分线及其应用 — 理解角平分线的定义，能结合图形进行角度计算与推理。 · 尺规作图作角 — 掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的基本方法。 · 综合问题解决 — 能运用角的有关知识解决创新题型与压轴题，提升逻辑推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 角的概念与表示 定义：角是由两条有公共端点的射线组成的图形。这个公共端点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。 表示方法： · 用三个大写字母表示：∠AOB（顶点在中间） · 用顶点一个大写字母表示：∠O（当以O为顶点的角只有一个时） · 用数字表示：∠1、∠2 · 用希腊字母表示：∠α、∠β 注意：角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关。 ※ 典型例题 1 如图，在∠AOC 内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　） A．∠AOC 不可以用∠O 表示   B．这条射线记作射线 BO   C．∠1 与∠AOB 是同一个角   D．∠AOC＝∠AOB＋∠2 解析： 射线用两个大写字母表示时，端点在前，故射线应记作射线 OB（或射线 BO？注意：射线 BO 表示以 B 为端点，而图中是以 O 为端点，故 B 选项错误）。选 B。 ☆ 2. 钟面角 核心规律： · 分针每分钟转动 6°（360°÷60） · 时针每分钟转动 0.5°（360°÷12÷60） · 钟面上每个大格对应 30°（360°÷12） 计算方法：先分别计算时针和分针从12点方向转过的角度，再求差（取不大于180°的角）。 ※ 典型例题 2 在 6:20 这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（　　） 解析： 6:20 时，分针指向4，时针从6点位置又走了 20×0.5°=10°，故夹角为 30°×73=70°。 ☆ 3. 度分秒的换算 进制关系： · 1°=60′（1度 = 60分） · 1′=60″（1分 = 60秒） · 1°=3600″ 换算方法：从大单位化小单位用乘法，从小单位化大单位用除法。 ※ 典型例题 3 把 27.24° 用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．27°24′   B．27°2′4″   C．27°14′24″   D．27°20′4″ 解析： 0.24° = 0.24×60′ = 14.4′，0.4′ = 0.4×60″ = 24″，故 27.24° = 27°14′24″。选 C。 ☆ 4. 方向角 定义：以观测点为中心，以正北或正南方向为基准，用小于90°的角来描述方向。如“北偏东40°”“南偏西25°”。 注意：方向角中的“偏”字表示偏离基准方向的角度。 ※ 典型例题 4 如图，一轮船在海上往东行驶，在 A 处测得灯塔 C 位于北偏东75°，在 B 处测得灯塔 C 位于北偏东35°，则 ∠ACB 的度数为（　　） 解析： ∠CAB = 90°−75° = 15°，∠ABC = 90°+35° = 125°，故 ∠ACB = 180°−15°−125° = 40°。选 B。 ☆ 5. 角的大小比较 方法： · 度量法：用量角器量出度数，度数大的角大。 · 叠合法：将两个角的顶点和一条边重合，看另一条边的位置。 · 计算法：通过角的和差关系进行推理比较。 ※ 典型例题 5 已知 ∠A = 52°15′，∠B = 52.15°，比较 ∠A 与 ∠B 的大小。 解析： 15′ = 0.25°，故 ∠A = 52.25°，52.25° > 52.15°，所以 ∠A ＞ ∠B。填 ＞。 ☆ 6. 角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫作这个角的角平分线。 符号表示：若 OC 平分 ∠AOB，则 ∠AOC = ∠COB = ½∠AOB。 ※ 典型例题 6 如图，点 O 在直线 AB 上，OC 平分 ∠BOD，若 ∠1 = 54°，则 ∠2 的度数为（　　） 解析： ∠BOD = 180°−∠1 = 126°，OC 平分 ∠BOD，故 ∠2 = ½×126° = 63°。 ☆ 7. 尺规作图作角 基本步骤：（作一个角等于已知角） 1. 以已知角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点； 2. 以射线端点为圆心，同样长为半径画弧，交射线于一点； 3. 以该点为圆心，以两交点间距离为半径画弧，交前弧于一点； 4. 连接端点与交点，即得所求角。 ※ 典型例题 7 如图，用尺规作图作出 ∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧 MN 是（　　） 解析： 根据作一个角等于已知角的步骤，弧 MN 是以点 E 为圆心，以 DC 长为半径的弧。 ☆ 8. 余角和补角 余角：如果两个角的和等于 90°（直角），那么这两个角互为余角。 补角：如果两个角的和等于 180°（平角），那么这两个角互为补角。 性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 ※ 典型例题 8 若 ∠A = 50°25′，则 ∠A 的补角为（　　） A．40°35′   B．39°35′   C．129°35′   D．130°35′ 解析： 180°−50°25′ = 129°35′。选 C。 ☑ 知识总结表 核心概念 定义/要点 注意事项 角的概念 两条有公共端点的射线组成的图形 角的大小与边的长短无关 钟面角 时针 0.5°/min，分针 6°/min 夹角取 ≤180° 的角 度分秒换算 1°=60′，1′=60″ 从大化小乘60，从小化大除60 方向角 以正北或正南为基准，小于90° 注意“偏”的方向和角度 角平分线 将角分成两个相等角的射线 ∠AOC=∠COB=½∠AOB 余角 / 补角 和为90° / 180° 同角或等角的余角/补角相等 核心考点 ·9大典型考点精讲 【考点1】角的概念（第1-5题） · 角的表示：∠AOB（顶点在中间）、∠O（顶点处只有一个角）、∠1（数字）、∠α（希腊字母）。 · 角的大小：与两边张开程度有关，与边长无关。 · 射线与角：射线是角的一边，角由两条射线组成。 · 数角技巧：按顺序从一边开始，依次与其他边组合，避免重复遗漏。 1．（2025秋•茂南区期末）如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　） A．∠AOC不可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠2 【分析】根据射线和角的表示方法即可判断求解． 【解答】解：A、∠AOC不可以用∠O表示，该选项正确，不合题意； B、这条射线记作射线OB，该选项错误，符合题意； C、∠1与∠AOB是同一个角，该选项正确，不合题意； D、∠AOC＝∠AOB+∠2，该选项正确，不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了射线和角的表示方法，掌握射线和角的表示方法是解题的关键． 2．（2025秋•中江县期末）下列叙述正确的是（　　） A．角的两边越长，角度越大 B．连结两点间的线段叫做这两点间的距离 C．两点之间线段最短 D．到线段两端点距离相等的点是线段的中点 【分析】根据角的概念，线段的性质，两点间的距离，线段垂直平分线的性质逐一判断即可． 【解答】解：A．角的大小与角的两边的长短无关，与两条边叉开的大小有关，故A错误； B．连结两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，故B错误； C．两点之间，线段最短，故C正确； D．到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了角的概念，线段的性质，两点间的距离，理解并掌握数学概念才能灵活运用． 3．（2026春•海阳市期中）给出下列说法： ①射线AB与射线BA是同一条射线； ②连接两点之间的线段，叫作这两点间的距离； ③若AC＝BC，则点C是线段AB的中点； ④角的大小与角的两边的长短无关． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据射线，线段，角的概念进行判断． 【解答】解：选项A：射线AB是以A为端点通过点B的射线，射线BA是以B为端点通过点A的射线，故A不符合题意； 选项B：连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，故B不符合题意； 选项C：若AC＝BC，则有两种情况，当点C在点A和点B内部时，点C是AB的中点；当点C在点A和点B外部时，点C就不是AB的中点，故C不符合题意； 选项D：角的两边由两条射线组成，射线不能测量，故D符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查射线，线段，角的概念，解题的关键是对点在线段的内部和外部分情况讨论． 4．（2026春•栖霞市期中）下列关于角的说法，正确的有（　　） ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③在角的一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角的定义分别分析得出答案即可． 【解答】解①角是由两条有公共端点的两条射线组成的图形，故原命题错误； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故原命题正确； ③角的边是射线，无需延长，故在角的一边的延长线上取一点D说法错误； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数不变，故原命题错误， 故正确的有2个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了角的概念，熟练根据角的组成分析得出是解题关键． 5．（2025秋•宜昌期末）如图，图中的角共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据角的概念，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏判断即可． 【解答】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则： 以OA为开始边的有∠AOB、∠AOC、∠AOD，3个角； 以OB为开始边的有∠BOC、∠BOD，2个角； 以OC为开始边的有∠COD，1个角； 共有3+2+1＝6个角． 故选：C． 【点评】本题考查了角的概念，解题的关键在于数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【考点2】钟面角（第6-10题） · 分针速度：6°/min；时针速度：0.5°/min。 · 大格角度：30°（12大格）。 · 计算步骤：①分别求时针、分针从12点方向转过的角度；②作差取绝对值；③若大于180°则用360°减。 6．（2026春•福山区期中）如图，在6：20这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【分析】6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为30°进行求解即可． 【解答】解：， 6点20分，时针和分针中间相差个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：C． 【点评】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键． 7．（2026春•桓台县期中）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（　　） A．120° B．80° C．15° D．10° 【分析】根据时钟上时针1分钟转0.5°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：20×0.5°＝10°， ∴到11时，时针走过的度数是10°， 故选：D． 【点评】本题考查了钟面角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2026春•莱山区期中）时钟上08：20分针与时针所夹角的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】根据时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：4×30°+20×0.5° ＝120°+10° ＝130°， 故选：B． 【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键． 9．（2025秋•衡南县期末）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（　　） A．75° B．120° C．135° D．150° 【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【解答】解：10点（10分），再过20分钟就是10点3（0分）， 30°×（4）＝135°， 故选：C． 【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 10．（2025秋•平原县期末）当时钟指向上午10：10时，时针与分针的夹角是（　　） A．60° B．115° C．120° D．125° 【分析】通过计算时针和分针在10：10时的角度位置，求出夹角即可． 【解答】解：根据题意可知，在10：10时，分针角度为：1010×6＝60°， ∴在10：00时，时针角度为：1010×30＝300°， ∴过了10分钟，时针移动1010×0.5＝5°， ∴时针总角度为：300°+5°＝305°， 两针角度差为：305°﹣60°＝245°， ∵夹角应不大于180°， ∴夹角为：360°﹣245°＝115°． 故选：B． 【点评】本题考查了钟面角，掌握钟面角的计算方法是关键． 【考点3】度分秒的换算（第11-18题） · 进制：1°=60′，1′=60″，1°=3600″。 · 化法：度→分→秒：乘以60；秒→分→度：除以60。 · 计算：加减运算时，分秒满60进1，不够借1当60。 11．（2026春•招远市期中）下列换算中，正确的是（　　） A．83.5°＝83°50′ B．57.28°＝57°16′48″ C．19°5′24″＝19.9° D．0.25°＝1500″ 【分析】利用度分秒之间的进率逐项判断即可． 【解答】解：83.5°＝83°30′，则A不符合题意， 57.28°＝57°16′48″，则B符合题意， 19°5′24″＝19.09°，则C不符合题意， 0.25°＝900″，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键． 12．（2026春•淄川区期中）下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（　　） A．0.45°＝1620″ B．125.45°＝12545″ C． D．1.5°＝90′ 【分析】根据度分秒的进制进行计算可解答． 【解答】解：A、0.45°＝1620'，故A不符合题意； B、125.45°＝451620″，故B符合题意； C、1000″＝（）°，故C不符合题意； D、1.5°＝90′，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 13．（2025秋•惠州期末）把27.24°用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．27°24′ B．27°2′4″ C．27°14′24″ D．27°20′4″ 【分析】根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解答】解：∵1°＝60′， ∴0.24°＝14.4′， ∵1′＝60″， ∴0.4′＝24″， ∴27.24°＝27°14′24″， 故选：C． 【点评】本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．（2025秋•平顶山期末）如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放，若∠1＝67°32'，则∠2的度数为（　　） A．23°68' B．22°68' C．23°28' D．22°28' 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：∵∠1＝67°32'， ∴∠2＝180°﹣90°﹣∠1 ＝90°﹣67°32' ＝89°60′﹣67°32' ＝22°28′， 故选：D． 【点评】本题考查度分秒的换算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 15．（2025秋•隆回县期末）已知∠α＝31.2°，将∠α用度分秒表示正确的是（　　） A．31°2′ B．31°12′ C．31°20′ D．31°12″ 【分析】根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解答】解：∵1°＝60′， ∴0.2°＝12′， ∴31.2°＝31°12′， 故选：B． 【点评】本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（2025秋•玉溪期末）黄赤交角，是指地球公转轨道面（黄道面）与赤道面（天赤道面）的交角，目前，这个角α约为23°26′，黄赤交角的存在使得地球上有了四季变化．如图是黄赤交角的示意图，其中地轴与赤道面的夹角为90°，则图中β的度数是（　　） A．66°34′ B．65°34′ C．66°24′ D．65°24′ 【分析】用90°﹣23°26′即可． 【解答】解：∵根据题意可知，地轴与赤道面的夹角为90°， ∴∠α+∠β＝90°， ∵∠α＝23°26′， ∴∠β＝90°﹣∠α＝66°34′， 则图中β的度数是66°34′， 故选：A． 【点评】本题考查度分秒的换算，掌握角度的相邻进制为60是解题的关键． 17．（2025秋•汉川市期末）计算： （1）67°39′+48°41′； （2）90°﹣39°9′50″×2． 【分析】（1）度与度相加，分与分相加，再根据1度等于60分计算即可； （2）先计算乘法，再根据度、分、秒之间的进率为60化简，再计算减法即可． 【解答】解：（1）原式＝115°80′＝116°20′； （2）90°﹣39°9′50″×2 ＝90°﹣78°18′100″ ＝11°40′20″． 【点评】本题主要考查了角度的四则运算，熟知角的四则运算法则是解题的关键． 18．（2016秋•平顶山期末）如图，∠BAC和∠DAE都是70°30′的角． （1）如果∠DAC＝27°30′，那么∠BAE等于多少度？（写出过程） （2）请写出图中相等的角； （3）若∠DAC变大，则∠BAD如何变化？ 【分析】（1）由∠BAE＝（∠BAC﹣∠DAC）+∠DAE计算可得； （2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，且∠BAC＝∠DAE可得； （3）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠BAC＝70°30′可知若∠DAC变大，则∠BAD变小． 【解答】解：（1）∠BAE＝（∠BAC﹣∠DAC）+∠DAE， ＝（70°30′﹣27°30′）+70°30′， ＝113°30′， ＝113.5°； （2）∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE； （3）∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠BAC＝70°30′， ∴若∠DAC变大，则∠BAD变小． 【点评】本题主要考查角的计算，熟练掌握角的和差倍分计算是解题的关键． 【考点4】方向角（第19-24题） · 基准：正北或正南方向为基准，如“北偏东40°”。 · 相对方向：“A在B的北偏东40°” ⇔ “B在A的南偏西40°”。 · 计算：常结合平行线性质（内错角、同位角、同旁内角）求角度。 19．（2026春•温州期中）小州参加定向比赛，如图，从点A地沿北偏东40°方向到点B地，再从B地沿北偏西23°方向到点C地，则∠ABC的度数为（　　） A．73° B．99° C．107° D．117° 【分析】根据平行线的性质，方向角的定义以及平角的定义，进行求解即可． 【解答】解：从点A地沿北偏东40°方向到点B地，再从B地沿北偏西23°方向到点C地，由题意，可知：∠1＝40°，∠2＝23°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝117°． 故选：D． 【点评】本题考查垂线，正确进行计算是解题关键． 20．（2026春•江岸区月考）点A的位置如图所示，则关于点A的位置说法中最准确的是（　　） A．在距离点O5km处 B．在点O西偏北55°方向上5km处 C．在点O北偏西35°方向上5km处 D．在点O北偏西55°方向上5km处 【分析】结合图片和方向角的知识解答即可． 【解答】解：如图所示， ∴∠1＝90°﹣35°＝55°， ∴点A在点O北偏西55°方向上5km处． 故选：D． 【点评】本题考查方向角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．（2026春•集美区校级期中）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（　　） A．距离学校1200米处 B．西南方向上的1200米处 C．北偏东65°方向上的1200米处 D．南偏西65°方向上的1200米处 【分析】根据方向角的定义进行解答即可． 【解答】解：如图，AB＝1200m，∠SAB＝180°﹣115°＝65°， 所以小明家在学校的南偏西65°方向上1200m处， 故选：D． 【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 22．（2026•绥化校级开学）李明家在学校的东偏南40°方向300m处，学校在李明家的（　　） A．西偏南40°方向300m处 B．南偏东40°方向300m处 C．西偏北40°方向300m处 【分析】两个相对位置，方向相反，角度和距离保持不变，据此即可得出结果． 【解答】解：已知李明家在学校的东偏南40°方向300m处， 如图所示， 则学校在李明家的西偏北40°方向300m处， 故选：C． 【点评】本题考查位置与方向的相对性，方向角的应用，正确理解题意是解题的关键． 23．（2025秋•安顺期末）如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东75°，在B处测得灯塔C位于北偏东35°，则∠ACB＝（　　） A．32° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据方向角的定义得出∠CAB、∠ABC的度数，结合三角形内角和，求出∠ACB的度数即可． 【解答】解：由题意得∠ABC＝90°+35°＝125°，∠CAB＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣15°﹣125°＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 24．（2026春•海淀区校级期中）如图A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是　60　 度，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是　90　 度． 【分析】首先根据方位角的定义求出∠CAB 的度数，然后利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）求出∠ABE 的度数，进而求得∠ABC 的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠ACB 的度数． 【解答】解：A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向． 由题意可知，∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC＝40° 所以∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝80°﹣50°＝30° 因为 AD∥BE 所以∠DAB+∠ABE＝180° 所以∠ABE＝180°﹣∠DAB＝180°﹣80°＝100° ∠ABC＝∠ABE﹣∠EBC＝100°﹣40°＝60° 在△ABC 中∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC ＝180°﹣30°﹣60°＝90°． 故答案为：60，90． 【点评】本题主要考查了方位角的概念，平行线的性质以及三角形内角和定理，正确进行计算是解题关键． 【考点5】角的大小比较（第25-34题） · 度量法：统一单位后比较度数。 · 叠合法：顶点重合，一边重合，看另一边位置。 · 计算法：利用角的和差关系推理。 · 特殊角：直角90°，平角180°，周角360°。 25．（2026春•张店区期中）已知∠A＝52°15′，∠B＝52.15°，请你比较它们的大小：∠A　＞　 ∠B．（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】先把两个角化成统一的形式再进行比较即可． 【解答】解：， ∴∠A＝52°15′＝52.25°， ∵52.15°＜52.25°， ∴∠A＞∠B． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查角度数的比较大小，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（2026•苏州模拟）若∠A＝40°15'，∠B＝40.15°，则（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定 【分析】将40.15°化成40°9′再进行比较即可． 【解答】解：∵∠B＝40.15°＝40°9′＜40°15′， ∴∠B＜∠A， 即∠A＞∠B， 故选：A． 【点评】本题考查角的大小比较，度分秒的换算，掌握度分秒的换算方法是正确解答的前提． 27．（2025秋•象州县期末）如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（　　） A．∠AOB＜∠AOC B．∠BOC＞∠AOD C．∠DOB＞∠BOC D．∠AOD＞∠BOD 【分析】根据图形及角的和差关系进行比较，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∠AOB＜∠AOC，故A不符合题意； B、∠BOC＜∠AOD，故B符合题意； C、∠DOB＞∠BOC，故C不符合题意； D、∠AOD＞∠BOD，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了角的大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键． 28．（2025秋•武都区期末）在小于平角的∠AOB的内部取一点C，并作射线OC，则一定有（　　） A．∠AOC＞∠BOC B．∠AOC＝∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC 【分析】利用角的大小进行比较即可得出结论． 【解答】解：如图： ∵C点是∠AOB内部任一点， ∴∠AOC与∠BOC的大小无法确； ∵OC在∠AOB的内部， ∴∠AOB必大于∠AOC． 故选：D． 【点评】本题考查角的大小比较，理清题意是解答本题的关键． 29．（2026春•高碑店市月考）如图，∠α　＜　 ∠β．（填“＞”或“＜”） 【分析】根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角进行解答即可． 【解答】解：根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角可得： 根据三角形外角的性质得到∠α＜∠β． 故答案为：＜． 【点评】本题考查角的大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键． 30．（2024秋•龙岗区校级期末）如图所示，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，那么∠DAC与∠ACB的大小关系为∠DAC　＞　 ∠ACB．（选填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】把∠DAC和∠ACB分别拆分成两个角的和，再进行比较． 【解答】解：如图， 由图形可知，AE∥CF， ∴∠EAC＝∠ACF， ∵tan∠DAE， tan∠BCF， ∴∠DAE＞∠BCF， 又∵∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∠ACB＝∠ACF+∠BCF， ∴∠DAC＞∠ACB． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查角的大小比较，关键是利用背景图形去判断角度大小． 31．（2024春•青白江区校级期中）如图，由图中可知∠1 　＝　 ∠2（＞，＜，＝），理由是 　对顶角相等　 ． 【分析】根据对顶角相等即可得到∠1＝∠2． 【解答】解：由题意得，∠1与∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2（对顶角相等）， 故答案为：＝；对顶角相等． 【点评】本题主要考查了对顶角的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 32．（2023秋•信宜市期末）如图，∠AOB和∠COD都是直角，则∠1 　＝　 ∠2（填＞，＝，＜）． 【分析】由∠AOB和∠COD都是直角，得∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，从而即可得到答案． 【解答】解：∵∠AOB和∠COD都是直角， ∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°， ∴∠1＝∠2， 故答案为：＝． 【点评】本题主要考查了同角的余角（补角）相等，熟练掌握该知识点是解题的关键． 33．（2022秋•滦州市期末）将一副三角板按图甲的位置放置． （1）∠AOD　＝　 ∠BOC（选填“＜”或“＞”或“＝”）； （2）猜想∠AOC和∠BOD在数量上的关系是 　∠AOC和∠BOD互补　 ． （3）若将这副三角板按图乙所示摆放，三角板的直角顶点重合在点O处．（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【分析】（1）根据角的和差关系解答； （2）利用周角的定义和直角解答； （3）根据同角的余角相等解答∠AOD和∠BOC的关系，根据图形，表示出∠BOD+∠AOC＝∠BOD+∠AOB+∠COB整理即可得到原关系仍然成立． 【解答】解：（1）∠AOD和∠BOC相等， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD， ∴∠AOD＝∠COB， 故答案为：＝； （2）∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠AOC和∠BOD互补， 故答案为：∠AOC和∠BOD互补； （3）成立． ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD， ∴∠AOD＝∠COB， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠BOD+∠AOC＝∠BOD+∠AOB+∠COB， ＝90°+∠BOD+∠COB， ＝90°+∠DOC， ＝90°+90°， ＝180°． 【点评】本题主要考查角的和、差关系，互余互补的角关系，理清角的和或差，互余与互补关系是解题的关键． 34．（2012春•东阿县校级期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是37°18′，我应该最大!”∠B说：“我是37.2°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大!”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【分析】根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将37°18′，37.2°，37.18°的单位统一，再进行大小的比较． 【解答】解：∵∠A＝37°18′，∠B＝37.2°＝37°12′，∠C＝37.18°＝37°10.8′， ∴∠C＜∠B＜∠A． 【点评】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较． 【考点6】角平分线（第35-40题） · 定义：将角分成两个相等角的射线。 · 符号：若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB。 · 应用：常结合平角、直角、邻补角进行角度推算。 35．（2026•安阳模拟）如图，点O在直线AB上，OC平分∠BOD，若∠1＝54°，则∠2的度数为（　　） A．63° B．68° C．73° D．78° 【分析】利用邻补角的性质求出∠BOD，再根据角平分线的定义解答即可求解． 【解答】解：∠1＝54°， ∴∠BOD＝180°﹣∠1＝126°， ∵OC平分∠BOD， ∴若∠1＝54°，则． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 36．（2026春•莱山区期中）如图，点A，O，B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD等于（　　） A．130° B．165° C．155° D．150° 【分析】根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，可得∠AOD∠AOC＝25°，所以∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°． 【解答】解：∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC， ∴∠AOD∠AOC＝25°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的定义，解决本题的关键是掌握角平分线的定义． 37．（2026•渭滨区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AD平分∠BAC，CE⊥AD，则∠BEC的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 【分析】根据∠BAC＝70°，AD平分∠BAC，得出 ，根据CE⊥AD，得出∠AFE＝90°，再根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝70°，AD平分∠BAC，CE⊥AD， ， ∵CE⊥AD， ∴∠AFE＝90°， ∴∠BEC＝∠EAF+∠AFE＝125°． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的定义，正确进行计算是解题关键． 38．（2025秋•蓝山县期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OD平分∠AOE，OF平分∠BOE，则∠DOF的度数为（　　） A．60° B．90° C．120° D．无法确定 【分析】由角平分线，得出，代入数据即可求解． 【解答】解：∵，， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 39．（2023秋•屯昌县期末）点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数； ②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）； （2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【分析】（1）①首先求得∠COE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COB的度数，再根据∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解； ②解法与①相同，把①中的25°改成α即可； （2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决． 【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝130°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°； ②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α； （2）∠DOE∠AOC，理由如下： 如图2，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC， 又∵OE平分∠BOC ∴∠COE∠BOC（180°﹣∠AOC）＝90°∠AOC， 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°∠AOC）∠AOC． 【点评】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． 40．（2014秋•宁波期末）如图，已知O是直线MN上的一点，∠AOB＝90°，经过点O的直线DC平分∠BON，∠1＝38°，求∠3和∠DOA的度数． 【分析】直接利用角平分线的性质进而利用互余的性质得出∠3的度数，再利用∠DOA＝∠COD﹣∠2﹣∠3求出答案． 【解答】解：∵OC平分∠BON， ∴∠1＝∠2＝38°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠3＝90°﹣∠1﹣∠2＝90°﹣38°﹣38°＝14°， ∵直线DC经过点O， ∴∠COD＝180°， ∴∠DOA＝∠COD﹣∠2﹣∠3 ＝180°﹣38°﹣14° ＝128°． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出∠3＝90°﹣∠1﹣∠2是解题关键． 【考点7】作图（第41-45题） · 作一个角等于已知角：用圆规截取，SSS全等保证角度相等。 · 作角平分线：以顶点为圆心画弧，再以交点为圆心画弧，连接顶点与交点。 · 作垂线：利用圆规作线段垂直平分线或过一点作垂线。 41．（2026•新城区校级模拟）已知：如图，∠O及其一边上的两点A，B．请用直尺和圆规在∠O内部，求作Rt△ABC，使得∠ABC＝90°，且∠BAC＝∠O．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作∠BAE＝∠O，过点B作BF⊥OB，AE与BF交于点C，Rt△ABC即为所求． 【解答】解：作∠BAE＝∠O，过点B作BF⊥OB，AE与BF交于点C，如图，Rt△ABC即为所求． 【点评】本题考查了基本作图，熟练掌握该知识点是关键． 42．（2026•莱州市模拟）观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB＞AC的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【分析】利用线段的垂直平分线的性质，三角形的三边关系，作一条线段等于已知线段判断即可． 【解答】解：如图①中，AT＝AC， ∵点T在线段AB上， ∴AB＞AT，即AB＞AC． 如图④中， 由作图可知，EB＝EC， ∵EA+EC＞AC， ∴EA+EB＞AC，即AB＞AC． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 43．（2025秋•承德县期末）如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（　　） A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧 【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断即可． 【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D； ②以点B为圆心，以OC为半径画，交射线BO于点E； ③以点E为圆心，以CD为半径画，交于点N，连接BN即可得出∠OBF， 则∠OBF＝∠AOB． 故选：D． 【点评】本题考查尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答本题的关键． 44．（2026春•扬州期中）如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． （1）作∠A的平分线； （2）过点C作线段AB的垂线． 【分析】（1）作射线AT平分∠BAC交BC于点T，射线AT即为所求； （2）过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，直线CE即为所求． 【解答】解：（1）如图，射线AT即为所求； （2）如图，直线CE即为所求． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 45．（2025秋•寿阳县期末）如图，已知∠AOB，用尺规作一个角等于2∠AOB．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【分析】分别作出∠GEF＝∠GED＝∠AOB即可． 【解答】解：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OB，OA于点M，N； ②以点E为圆心，以OM的长为半径画弧，交EF于点F，以点F为圆心，MN的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线EG，即可得出∠GEF＝∠AOB． ③在∠GEF外侧可作∠GED＝∠AOB，从而可得出∠DEF＝2∠AOB． 【点评】本题考查的是基本作图：作一个角等于已知角，正确画出图形是解题的关键． 【考点8】余角和补角（第46-50题） · 余角：两角和为90°，∠α的余角 = 90°−∠α。 · 补角：两角和为180°，∠α的补角 = 180°−∠α。 · 性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。 46．（2026春•莱阳市期中）若∠A＝50°25′，则∠A的补角为（　　） A．40°35′ B．39°35′ C．129°35′ D．130°35′ 【分析】根据补角的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠A＝50°25′， ∴∠A的补角＝180°﹣50°25′＝129°35′， 故选：C． 【点评】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 47．（2026春•沈河区校级期中）一个角的度数是60°，那么它的余角的补角的度数是（　　） A．150° B．140° C．130° D．40° 【分析】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°求解． 【解答】解：60°角的余角＝90°﹣60°＝30°， ∴60°角的余角的补角 ＝180°﹣30°＝150°， 故选：A． 【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°求解． 48．（2026春•银川校级期中）已知一个角等于它的余角的3倍，则这个角的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【分析】设这个角的度数为x°，则这个角的余角度数为90°﹣x°，再根据题意建立方程求解即可． 【解答】解：根据题意，设这个角的度数为x°，则这个角的余角度数为90°﹣x°， 由题意得，x＝3（90﹣x）， x＝270﹣3x， 4x＝270， 解得：x＝67.5， ∴这个角的度数为67.5°． 故选：D． 【点评】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义是关键． 49．（2025秋•铁东区期末）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余角的定义逐项判断即可求解． 【解答】解：A、由余角性质可得∠α＝∠β，不合题意； B、由图可得∠α+∠β＝180°，∠α与∠β互补，不合题意； C、由图可得∠α＝∠β＝180°﹣45°＝135°，不合题意； D、由图可得∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，∠α与∠β互余，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了余角，正确识图是解题的关键． 50．（2025秋•金山区期末）已知直线MN，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线MN上，并记为点A，该锐角的两边分别记为射线AB，射线AC，且字母A，B，C按顺时针方向排列（射线AB，AC不与直线MN重合）．作射线AD平分∠MAB，射线AE平分∠NAC． （1）如图1，若∠BAC＝45°，∠MAD＝45°，则∠NAE＝ 　22.5　 °； （2）如图2，若∠DAE＝120°，且∠MAD与∠CAE互余，求∠NAE的度数； （3）将三角尺绕点A旋转，使得射线AD，AE都在直线MN的下方，直接写出∠DAE的度数的所有可能值． 【分析】（1）根据角平分线的定义求解即可； （2）由互余可知∠MAD+∠CAE＝90°，由角平分线可知∠MAD＝∠BAD，∠NAE＝∠CAE，进而根据角的和差求解即可； （3）先求出，再根据∠BAC的可能性求解即可． 【解答】解：（1）∵AD平分∠MAB， ∴∠MAB＝2∠MAD＝2×45°＝90°， ∴∠CAN＝180°﹣∠MAB﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵AE平分∠NAC， ∴∠NAE， 故答案为：22.5； （2）∵∠MAD与∠CAE互余， ∴∠MAD+∠CAE＝90°， ∵AD平分∠MAB， ∴∠MAD＝∠BAD， ∵AE平分∠NAC， ∴∠NAE＝∠CAE， ∴∠BAD+∠NAE＝∠MAD+∠CAE＝90°， ∴∠BAN＝∠DAE﹣（∠DAB+∠NAE）＝120°﹣90°＝30°， ∴∠MAB+∠NAC＝2∠MAD+2∠CAE＝2（∠MAD+∠CAE）＝2×90°＝180°， ∵∠MAB+∠BAN＝180°， ∴∠BAN＝∠NAC， ∵∠BAN＝30°， ∴∠NAC＝30°， ∴∠NAE， ∴∠NAE＝15°； （3）∵射线AD，AE都在直线MN的下方， ∴AB，AC也在MN下方， ∵AD平分∠BAM， ∴∠MAD＝∠BAD， ∵AE平分∠NAC， ∴∠NAE＝∠CAE， ∴∠MAD+∠NAE， ∴， 同（2）可知：∠BAC＝30°或45°或60°， 当∠BAC＝30°时，∠DAE＝90°﹣15°＝75°； 当∠BAC＝45°时，∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°； 当∠BAC＝60°时，∠DAE＝90°﹣30°＝60°； ∴∠DAE为75°或67.5°或60°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义、余角以及角的计算等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【考点9】创新及压轴题（第51题） · 综合推理：灵活运用角平分线、余角补角、角的和差关系。 · 动态问题：旋转、运动中的角度变化，注意分类讨论。 · 代数法：设未知数，利用等量关系列方程求解。 51．（2025秋•南岔县期末）已知：如图1，OB、OC分别为锐角∠AOD内部的两条动射线，当OB、OC运动到如图的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°， （1）求∠BOC的度数； （2）如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数． （3）如图3，若OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【分析】（1）根据角的和差关系，由∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，可得出答案； （2）由角平分线的定义可得∠NOC+∠BOM（∠AOB+∠COD），进而求出∠MON的度数； （3）由∠EOB＝∠COF＝90°，可以得出∠COE＝∠BOF，进而得出∠EOF，再根据OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，进而求出答案． 【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝100°， ∴∠AOB+∠BOC+∠BOC+∠COD＝100°， 又∵∠AOB+∠COD＝40°， ∴2∠BOC＝100°﹣40°＝60°， ∴∠BOC＝30°， 答：∠BOC的度数为30°； （2）∵OM是∠AOB的平分线， ∴∠AOM＝∠BOM∠AOB， 又∵ON是∠COD的平分线， ∴∠CON＝∠DON∠COD， ∴∠DON+∠BOM（∠COD+∠AOB）40°＝20°， ∴∠MON＝∠BOM+∠BOC+∠CON＝20°+30°＝50°， 答：∠MON的度数为50°； （3）∠POQ的大小不会变化，理由如下： ∵∠EOB＝∠COF＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠EOF＝90°+90°﹣30°＝150°， ∵∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°， ∴∠AOF+∠DOE＝∠EOF﹣∠AOD＝150°﹣70°＝80°， 又∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF， ∴∠AOQ＝∠FOQ∠AOF，∠DOP＝∠EOP∠DOE， ∴∠AOQ+∠DOP（∠AOF+∠DOE）80°＝40°， ∴∠POQ＝∠AOQ+∠DOP+∠AOD＝40°+70°＝110°． 【点评】本题考查角平分线的定义、余角和补角的意义，掌握角平分线的定义以及角的和差关系是正确解答的前提． 随堂检测 · 精选练习 练习1：角的概念判断 练习2：方向角与方位 练习3：钟面角计算 练习4：角平分线与双中点模型 【练习1】（2025秋•新乡期末）如图射线OA，OC的方向分别为北偏东56°和南偏西76°，射线OB平分∠AOC，则射线OB的方向可以描述为（　　） A．北偏西64° B．北偏西24° C．南偏西28° D．北偏西22° 【分析】依题意得∠DOA＝56°，∠FOC＝76°，∠EOF＝∠EOD＝90°，由此得∠EOC＝14°，进而得∠AOC＝160°，再根据角平分线定义得∠AOB＝1/2∠AOC＝80°，继而得∠DOB＝24°，由此得射线OB在点O北偏西24°方向上，据此可得出答案． 【解答】解：如图所示： 依题意得：∠DOA＝56°，∠FOC＝76°，∠EOF＝∠EOD＝90°， ∴∠EOC＝∠EOF﹣∠FOC＝90°﹣76°＝14°， ∴∠AOC＝∠DOA+∠EOD+∠EOC＝56°+90°+14°＝160°， ∵射线OB平分∠AOC， ∴∠AOB∠AOC＝80°， ∴∠DOB＝∠AOB﹣∠DOA＝80°﹣56°＝24°， ∴射线OB的方向可以描述为北偏西24°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了方向角的定义，角平分线的定义，角的计算，理解方向角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【练习2】（2025秋•南开区期末）如图，已知∠AOB＝48°，点C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，以OD长为半径作弧，交OC于点F；③以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接CG并延长交OA于点H．则∠AHC的度数为（　　） A．24° B．42° C．48° D．96° 【分析】根据作图，由全等三角形的判定定理SSS可以推知△DOE≌△GCF，得到∠GCF＝∠DOE，即∠ACO＝∠AOB＝48°，再利用三角形外角性质求解即可． 【解答】解：由作图可知，OE＝OD，OD＝CF，FG＝DE，OD＝CG， ∴OE＝CF， 在△DOE与△GCF中， ， 则△DOE≌△GCF（SSS）． ∴∠GCF＝∠DOE，即∠ACO＝∠AOB＝48°， ∴∠AHC＝∠AOB+∠ACO＝48°+48°＝96°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 【练习3】（2026春•周村区校级期中）当钟面上的时间是9点30分时，时针与分针的夹角是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，即可得到答案． 【解答】解：根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得： 9点30分时，时针与分针的夹角是， 故选：C． 【点评】本题主要钟面角，掌握钟面角的求法是解题的关键． 【练习4】（2025秋•长葛市校级期末）如图1，已知OM平分∠AOC，OB是∠COM内的一条射线，ON平分∠BOC． 【初步应用】 （1）如果∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数； 【类比探究】 （2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数； 【迁移探究】 （3）如图2，已知点M是线段AC的中点，点B是线段CM上的一点，点N是线段BC的中点，试判断线段MN与线段AB的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据双角平分线的模型进行计算，即可解答； （2）根据双角平分线的模型进行计算，即可解答； （3）根据双中点模型进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）因为∠AOB＝80°，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°+30°＝110°， 因为OM平分∠AOC， 所以， 因为ON平分∠BOC， 所以， 所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝55°﹣15°＝40°， 即∠MON的度数为40°； （2）因为∠AOB＝α，∠BOC＝β， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β， 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以，， 因为∠MON＝∠MOC﹣∠CON， 所以， 即∠MON的度数为α； （3）， 理由如下： 因为点M是AC的中点，点N是BC的中点． 所以，， 所以， 即MNAB． 【点评】本题考查了角平分线的定义，两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：方向角与平行线 作业2：余角与补角计算 作业3：钟面角综合 作业4：尺规作图与角度计算 作业5：角平分线与余补角综合 ❤ 复习建议 ① 强化基础概念：角的概念、表示方法、大小比较是后续学习的基础，务必熟练掌握。 ② 熟练换算与计算：度分秒换算是高频考点，多做练习，注意进位与借位。 ③ 钟面角专项训练：理解时针、分针的转动速度，结合大格角度快速求解。 【作业1】（2026•河南模拟）如图，一艘小船从岛A出发，沿北偏东36°方向行驶一段时间到达暗礁B后，右转90°继续前进，此时∠1的大小为　54°　 ． 【分析】根据平行线的性质解答． 【解答】解：如图， 过点C作BC∥AD，则BC∥AD∥EF， ∴∠CBE＝∠1，∠A＝∠ABC＝36°， ∴∠1＝∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝54°， 故答案为：54°． 【点评】本题考查方向角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业2】（2026•启东市模拟）将一副直角三角尺如图放置，若∠BOC＝155°，则∠AOD＝ 　25　 °． 【分析】由一副直角三角尺的特征得出∠AOB＝∠COD＝90°，结合已知∠BOC＝155°即可求出∠BOD的度数，从而求出∠AOD的度数． 【解答】解：由题意得，∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠BOC＝155°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝155°﹣90°＝65°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣65°＝25°， 故答案为：25． 【点评】本题考查了余角和补角，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 【作业3】（2026春•莱阳市期中）某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间时针与分针夹角的度数是　40°　 ． 【分析】根据钟表指针转动规律，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，分别计算17：20时分针和时针的角度，求其差值，即可求解． 【解答】解：∵分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°， ∴当分针指向20时，分针旋转的角度为：20×6°＝120°， 当时针指向5时，时针旋转的角度为5×30°＝150°， 当17：20时，时针从指向5开始，又旋转了20×0.5＝10°， 故17：20时，时针角度为150+10＝160°， 故某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间两针的夹角为160°﹣120°＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查了钟面角，掌握钟面角的计算方法是关键． 【作业4】（2025秋•蜀山区校级期末）已知：如图，∠AOB＝90°，OC是∠AOB内部一条射线． （1）请你用直尺和圆规在∠AOB外部作∠AOD，使得∠AOD＝∠AOC（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若OE平分∠BOC，且∠BOE＝18°，求∠BOD的度数． 【分析】（1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义可得∠BOC的度数，则可求出∠AOC的度数，进而得到∠AOD的度数，再由角的和差关系可得答案． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）∵OE平分∠BOC，且∠BOE＝18°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝2×18°＝36°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝54°， ∴∠AOD＝∠AOC＝54°， ∴∠BOD＝∠AOD+∠AOB＝144°． 【点评】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． 【作业5】（2021秋•东洲区期末）如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）与∠AOE互补的角是　∠BOE、∠COE ． （2）若∠AOC＝72°，求∠DOE的度数； （3）当∠AOC＝x时，请直接写出∠DOE的度数． 【分析】（1）先求出∠BOE＝∠COE，再由∠AOE+∠BOE＝180°，即可得出结论； （2）先求出∠COD、∠COE，即可得出∠DOE＝90°； （3）先求出∠COD，再求出∠BOC、∠COE，即可得出∠DOE＝90°． 【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE； ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠AOE+∠COE＝180°， ∴与∠AOE互补的角是∠BOE、∠COE； 故答案为∠BOE、∠COE； （2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∠AOC＝72°， ∴∠COD＝∠AOD＝36°，∠COE＝∠BOE∠BOC， ∴∠BOC＝180°﹣72°＝108°， ∴∠COE∠BOC＝54°， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°； （3）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∠AOC＝x， ∴∠COD＝∠AODx，∠COE＝∠BOE∠BOC（180°﹣x）＝90°x， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°． 【点评】本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $