第17讲 线段（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固）培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

本讲义系统梳理直线、射线、线段的定义与表示方法，两点确定一条直线和两点之间线段最短的基本事实，以及两点间距离、中点、线段长短比较与和差运算等核心知识点，形成从概念到性质应用再到实际问题解决的递进式学习支架。 资料以思维导图总览知识体系，结合木工弹墨线、导航路线等生活实例培养数学眼光，通过典型例题和点位置不确定的分类讨论发展数学思维，创新题（如数轴上的线段问题）提升数学语言表达能力。课中辅助教师系统授课，课后针对性练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第12讲 代数式与代数式的值（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 直线、射线、线段的定义及表示方法，能正确区分三者的异同。 · 掌握 基本事实“两点确定一条直线”，并能解释生活中的相关现象。 · 理解 并应用“两点之间线段最短”的性质解决实际问题。 · 掌握 两点间距离的计算方法，能灵活运用线段中点的定义进行推理。 · 学会 比较线段的长短，掌握线段的和差运算及相关的几何作图。 · 初步体会 分类讨论、数形结合等数学思想方法。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 直线、射线、线段 直线：向两个方向无限延伸，没有端点，不可度量。用两个大写字母或一个小写字母表示（如直线AB，直线l）。 射线：向一个方向无限延伸，有一个端点，不可度量。用端点字母和射线上任意一点表示（如射线AB，端点为A）。 线段：有两个端点，有长度，可度量。用两个端点字母表示（如线段AB）。 注意：几何语言要规范，直线和射线不能度量长度，延长射线只能反向延长。 ※ 典型例题 1 题目：下列叙述中，正确的是（　） A．直线a，b相交于点n B．延长射线AB到点C C．画直线AB，使AB＝2cm D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm 分析：根据几何语言的规范对各选项分析判断。交点应用大写字母；射线只能反向延长；直线无限长不可度量。 答案：D ☆ 2. 两点确定一条直线 基本事实：经过两点有且只有一条直线。即两点确定一条直线。 应用：木工弹墨线、植树定行、固定木条等。 ※ 典型例题 2 题目：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　） A．两点确定一条直线　B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线　D．线段是直线的一部分 分析：根据直线的性质，两点确定一条直线，即可解释该现象。 答案：A ☆ 3. 两点之间线段最短 基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短。简称“两点之间，线段最短”。 应用：修路、架桥、导航路线等。 ※ 典型例题 3 题目：导航提供的路线为11.3km，但显示两地的直线距离却是9.3km。能解释这一现象最合理的数学知识是（　） A．线段是直线的一部分　B．过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短　D．两点确定一条直线 分析：导航路线为实际路径，直线距离为线段长度，根据“两点之间线段最短”可知直线距离最短。 答案：C ☆ 4. 两点间的距离 定义：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。若点C是线段AB的中点，则AC＝BC＝½AB。 ※ 典型例题 4 题目：如图，C，D是线段AB上的两点，且点D是线段AC中点，若AB＝10，BC＝4，则BD的长是（　） A．9　B．8　C．7　D．6 分析：AC＝AB−BC＝6，D为AC中点，AD＝CD＝3，BD＝AB−AD＝10−3＝7。 答案：C ☆ 5. 比较线段的长短 方法：①度量法（用刻度尺量长度）；②叠合法（把一条线段移到另一条线段上比较）。 注意：比较线段长短时，要确保端点对齐。 ※ 典型例题 5 题目：如图，点B，C在线段AD上，且AC＝BD，则线段AB与线段CD的大小关系是（　） A．AB＞CD　B．AB＝CD　C．AB＜CD　D．不能确定 分析：AC＝AB＋BC，BD＝CD＋BC，∵AC＝BD，∴AB＝CD。 答案：B ☆ 6. 线段的和与差 和：如果点C在线段AB上，则AB＝AC＋CB。 差：如果点C在线段AB上，则AC＝AB−CB。 应用：利用线段的和差关系求未知线段的长度，常与中点结合考查。 ※ 典型例题 6 题目：如图，电子游戏中有直线l，上有A、B、C、D、E、F六个点，点P沿直线l从右往左移动，当出现点P与六个点中至少有两个点距离相等时，发出警报，则发出警报的位置最多有（　）处。 A．14　B．15　C．16　D．17 分析：点P为任意两个点的连线段的中点时发出警报，六个点可组成15条线段，若中点不重合，则最多15处。 答案：B ☑ 知识总结表 核心概念 定义 注意事项 直线 向两个方向无限延伸，无端点 不可度量，用两个大写字母或小写字母表示 射线 向一个方向无限延伸，有一个端点 不可度量，端点字母在前 线段 有两个端点，有长度 可度量，可用两个端点表示 两点确定一条直线 经过两点有且只有一条直线 是直线的基本性质 两点之间线段最短 两点间所有连线中线段最短 是线段的基本性质 两点间的距离 连接两点的线段的长度 是数量，不是图形 线段中点 把线段分成两条相等线段的点 AC＝BC＝½AB 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】直线、射线、线段（第1-4题） 方法总结： · 区分直线、射线、线段的关键是看端点个数和延伸方向。 · 几何语言要规范：直线用两个大写字母或小写字母，射线端点在前，线段用两个端点。 · 直线和射线不可度量，不能说“画直线AB＝2cm”。 1．（2025秋•渠县校级期末）下列叙述中，正确的是（　　） A．直线a，b相交于点n B．延长射线AB到点C C．画直线AB，使AB＝2cm D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm 2．（2026春•蓬莱区期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•莱州市期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．直线OB和直线BO不是同一条直线 B．点B是直线AB的一个端点 C．射线OA和射线OB不是同一条射线 D．图中共有3条线段 4．（2025秋•江汉区期末）下列语言描述与相应几何图形相同的是（　　） A．如图①所示，延长线段BA到点C B．如图②所示，射线BC经过点A C．如图③所示，直线a和直线b相交于点A D．如图④所示，射线CD和线段AB没有交点 【考点2】两点确定一条直线（第5-9题） 方法总结： · “两点确定一条直线”是直线的基本事实，常用于解释生活中的现象。 · 注意与“两点之间线段最短”区分：前者强调“确定”，后者强调“最短”。 · 过平面上三个不同的点画直线，需分三点共线和不共线两种情况讨论。 5．（2026•钦州一模）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．线段是直线的一部分 6．（2025秋•五华区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 7．（2025秋•山西校级期末）如图，木工师傅在锯木板前，先在木板两端固定两个点，再用墨斗弹一根墨线，然后依照墨线锯开木板．这样做的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 8．（2025秋•江北区校级期末）下列说法错误的是（　　） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．线段有两个端点 C．两点确定一条直线 D．直线比射线长 9．（2025秋•梁溪区校级期末）在平面内有三个不同的点，过其中任意两点画直线，则可以画（　　） A．无数条 B．3条 C．1条 D．3条或1条 【考点3】两点之间线段最短（第10-15题） 方法总结： · “两点之间线段最短”是线段的基本事实，常用于优化路径问题。 · 实际应用中，如修路、架桥、导航等，都用此原理解释。 · 注意与“两点确定一条直线”的区别。 10．（2026春•蓬莱区期中）如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为11.3km，但显示两地的直线距离却是9.3km．能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．线段是直线的一部分 B．过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 11．（2026春•芝罘区期中）下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（　　） A．三角形的任意两条边长之和大于第三条边长 B．用两个钉子可以把木条固定在墙上 C．射击时要让眼睛、准星和目标在同一直线上 D．利用圆规可以比较两条线段的大小关系 12．（2025秋•盘龙区期末）如图，新市金沙江特大桥起点岸位于四川屏山新市镇，止点岸在云南绥江南岸镇，该桥是连接川西滇北高速公路网的关键节点，建成通车后，桥梁直连两岸，通行里程大幅缩短，其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．经过一个点有无数条直线 13．（2025秋•石城县期末）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是　 　 ． 14．（2024秋•德城区期末）如图，已知平面上A，B，C，D四个点． （1）按下列要求画图（不写画法）： ①连接AB； ②过点A，C作直线AC； ③作射线DB，交AC于点O； （2）通过测量线段AB，AO，BO的长度，可知AO+BO　 　 AB（填“＜”“＝”或“＞”），可以解释这一现象的基本事实为　 　 ． 15．（2024秋•同步）如图，设有A，B，C，D四个居民小区，现要在居民小区内建一个购物中心，把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离之和最小？请在图中找出合适的位置并说明依据． 【考点4】两点间的距离（第16-22题） 方法总结： · 两点间的距离是线段的长度，是一个数值。 · 线段中点的定义：AC＝BC＝½AB，可进行等量代换。 · 当点的位置不确定时，要分类讨论（如点C在AB上或在AB延长线上）。 · 利用线段的和差关系列方程求解。 16．（2026春•芝罘区期中）如图，C，D是线段AB上的两点，且点D是线段AC中点，若AB＝10，BC＝4，则BD的长是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 17．（2026春•芝罘区期中）下列说法中，能说明点C一定是AB中点的是（　　） A．AB＝AC+BC B．AC＝BC C．AB＝2AC D．AB＝2AC＝2BC 18．（2026春•牟平区期中）已知A，B，C三点在同一直线上，AB＝4cm，，点D为线段AC的中点，则线段BD的长为　 　 ． 19．（2026春•淄川区期中）已知A，B，C是同一条直线上的三点，M，N分别是线段AB，BC的中点，AB＝10cm，BC＝4cm，则线段MN的长为　 　 ． 20．（2025秋•大理州期末）如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）求线段AD的长； （2）若在线段AB上有一点E，CEBC，求AE的长． 21．（2026春•招远市期中）如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且AM＝3MC，BN＝3NC． （1）若AC＝8，BC＝4，求线段MN的长； （2）若MN＝5，求线段AB的长． 22．（2025秋•东方期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BC＝2cm． （1）图中共有 　 　 条线段； （2）求AC的长； （3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长． 【考点5】比较线段的长短（第23-27题） 方法总结： · 比较线段长短可用度量法或叠合法。 · 利用线段的和差关系进行等量代换，判断线段大小关系。 · 注意图形中线段之间的和差关系，如AC＝AB＋BC。 23．（2025秋•玉田县期末）如图，点B，C在线段AD上，且AC＝BD，则线段AB与线段CD的大小关系是（　　） A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．不能确定 24．（2025秋•闵行区期末）点C在线段AB的延长线上，那么BC　 　 AC（填写＜、＝或＞）． 25．（2025秋•五指山期末）如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AC＝5cm，BD＝2cm，则CD＝　 　 cm． 26．（2023秋•东莞市期末）已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，AC的长为 　 　 ． 27．（2025秋•富平县校级期末）如图，已知点B、C在线段AD上． （1）图中共有 　 　 条线段． （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　 　 BD（填“＞”“＝”或“＜”）； ②若AB：BD＝1：3，BC＝8，求AC的长度． 【考点6】线段的和与差（第28-33题） 方法总结： · 线段的和差是几何计算的基础，常与中点结合考查。 · 根据图形找到线段之间的和差关系，列出等式求解。 · 注意三等分点、四等分点等特殊位置，需分类讨论。 28．（2026春•福山区期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有A、B、C、D、E、F六个点，点P沿直线l从右往左移动，当出现点P与A、B、C、D、E、F六个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线l上会发出警报的位置最多有（　　）处． A．14 B．15 C．16 D．17 29．（2026春•海阳市期中）如图，点A，B，C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．下列条件中，能求出线段MN的长度的是（　　） A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 30．（2025秋•辛集市期末）如图，已知线段DE＝3，以点E为圆心，DE长为半径画弧，交DE的延长线于点F．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（　　） 甲：E是线段DF的中点，且DF＝2DE＝6； 乙：在线段DE的延长线上找一点G，使F是线段DG的三等分点，则FG的长为9或12． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 31．（2025秋•双流区期末）如图1，已知线段a、b，则图2中线段AB表示的是（　　） A．a﹣b B．a+b C．2a﹣b D．a﹣2b 32．（2025秋•密山市期末）如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有　 　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　 　 BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AB：BD＝1：4，BC＝12，求AC的长度； （3）在（2）的条件下，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三分点，求线段MN的长度． 33．（2025秋•洞口县期末）如图，线段AB＝24，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点． （1）求线段AC的长； （2）求线段AD的长； （3）若点E是线段AD的中点，求CE的长． 【考点7】创新及压轴题（第34-36题） 方法总结： · 综合运用线段的中点、和差关系，结合整体思想解题。 · 数轴上的线段问题，利用中点公式和距离公式求解。 · 学会从复杂图形中抽象出线段之间的数量关系。 34．（2025秋•岳池县期末）已知题目：“如图，线段AB上依次有M，C，D，N四点，其中M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，AB＝28，CD＝8，求MN的长．”嘉淇说：“题目缺少条件，若给出AC＝8，就能求出MN的长．”老师说：“题目不缺少条件，可以把MC+DN看作一个整体解题．” （1）按照嘉淇的思路，求MN的长； （2）按照老师的思路，求MN的长． 35．（2025秋•南岸区期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣1，3，5． （1）线段AB的中点表示的数为　 　 ；线段BC的中点表示的数为　 　 ；线段AC的中点表示的数为　 　 ； （2）若点M，N表示的数分别为m，n，线段MN的中点表示的数为　 　 ； （3）若点K是数轴上任意一点，且不与点A，B重合，点P为AK的中点，点Q为BK的中点，线段PQ的长度与点K的位置是否有关？若有关，请说明理由；若无关，请求出线段PQ的长． 36．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为线段BC上一点． （1）若M为AD中点，BM＝6cm，求线段CM的长度； （2）若图中所有线段的长度之和是线段AM长度的8倍，则　 　 ． 随堂检测 · 精选练习 练习1：两点确定一条直线练习2：直线、射线、线段的表示练习3：线段的和差与中点练习4：两点确定一条直线练习5：两点间的距离练习6：两点之间线段最短练习7：数轴上的线段与动点练习8：两点之间线段最短的应用 【练习1】（2026•碧江区 模拟）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．能解释这一现象的数学道理是（　　） A．直线是向两个方向无限延伸的 B．两点确定一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【练习2】（2026春•淄川区期中）如图，下列说法不正确的是（　　） A．线段AO和射线OC都是直线OC的一部分 B．射线OD和射线DO是同一条射线 C．线段AC与线段CA是同一条线段 D．直线AC与直线n为同一条直线 【练习3】（2025秋•平邑县期末）如图，点M是AB的中点，点N是AD的中点，AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，则MN的长为（　　）M是AB的中点，点N是AD的中点，AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，则MN的长为（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【练习4】（2026•松原一模）如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的基本事实是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【练习5】（2026春•谯城区校级月考）A，B，C三点在同一条直线上，如果线段AB＝5cm，BC＝3cm，那么A，C两点的距离为（　　）A，B，C三点在同一条直线上，如果线段AB＝5cm，BC＝3cm，那么A，C两点的距离为（　　） A．8cm B．2cm C．2cm或8cm D．以上均不正确 【练习6】（2025秋•仪征市期末）如图，用剪刀沿直线剪银杏叶，发现剩下的银杏叶周长比原来周长要小，理由是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．对顶角相等 【练习7】（2025秋•同江市校级期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　 　 ，线段AB的中点表示的数为 　 　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　 ；点Q表示的数为 　 　 ． （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【练习8】（2025秋•玉溪期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由： 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？ 课后巩固 · 针对性练习 以下为对应知识点的作业标签（具体题目详见讲义）： 作业1：线段的中点与和差作业2：两点之间线段最短作业3：两点之间线段最短作业4：线段的和差与中点作业5：两点之间线段最短作业6：线段上的动点问题作业7：两点之间线段最短的应用作业8：线段的中点与和差作业9：线段上的点数与线段总数作业10：线段的中点与和差作业11：数轴上的线段与绝对值 ❤ 复习建议 强化几何语言规范：注意直线、射线、线段的表示方法，避免“画直线AB＝2cm”这类错误。 区分两个基本事实：“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的应用场景不同，要能准确辨析。 掌握分类讨论思想：当点的位置不确定时（如点C在直线AB上），要分情况讨论，避免漏解。 熟练线段的和差与中点：这是计算题的核心，要多练习从图形中识别线段之间的数量关系。 数形结合与整体思想：在创新题型中，善于利用数轴、整体代换等方法简化计算。 【作业1】（2025秋•巨野县期末）已知线段AB＝20cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）AB＝20cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．10cm B．8cm或10cm C．12cm D．10cm或12cm 【作业2】（2025秋•盐田区期末）利用隧道把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．直线没有端点 D．两点确定一条直线 【作业3】（2026•兰州校级开学）如图，从A地到B地共有五条路，人们常常选择第③条，请用几何知识解释原因（　　）A地到B地共有五条路，人们常常选择第③条，请用几何知识解释原因（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有无数条直线 D．线段是直线的一部分 【作业4】（2026春•栖霞市期中）数学课上，小明同学进行了如图操作： ①作射线AM； ②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a； ③在线段DA上截取DB＝b； ④分别找到线段AC，BD的中点E，F． 则线段EF的长为　 　 ． 【作业5】（2025秋•乌兰浩特市期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 　 　 ．　 　 ． 【作业6】（2022秋•西安期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB＝12厘米，点C在线段AB上，且AC＝8厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 　 　 秒时线段PQ的长为6厘米．A、点B是直线上的两点，AB＝12厘米，点C在线段AB上，且AC＝8厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 　 　 秒时线段PQ的长为6厘米． 【作业7】（2024秋•云冈区期末）画一画 如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置． （1）你是否同意甲的意见？　 　 （填“是”或“否”）； （2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据． 【作业8】（2022秋•长春期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒．B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒． （1）当t＝2时，①AB＝　 　 cm．②求线段CD的长度． （2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【作业9】（2015秋•抚州期末）如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…． （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？ （2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示） （3）当n＝100时，线段总数共有多少条？ 【作业10】（2015秋•鼓楼区校级期末）如图，C是线段AB的中点．C是线段AB的中点． （1）若点D在CB上，且DB＝2cm，AD＝8cm，求线段CD的长度； （2）若将（1）中的“点D在CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度． 【作业11】（2014秋•相城区期末）已知A、B在数轴上分别表示a、bA、B在数轴上分别表示a、b （1）对照数轴填写下表： a 6 ﹣6 ﹣6 2 ﹣1.5 b 4 0 ﹣4 ﹣10 ﹣1.5 A、B两点的距离 2 0 （2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（a＜b）有何数量关系； （3）写出数轴上到7和﹣7的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和； （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x+1|+|x﹣2|取得的值最小． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 代数式与代数式的值（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 直线、射线、线段的定义及表示方法，能正确区分三者的异同。 · 掌握 基本事实“两点确定一条直线”，并能解释生活中的相关现象。 · 理解 并应用“两点之间线段最短”的性质解决实际问题。 · 掌握 两点间距离的计算方法，能灵活运用线段中点的定义进行推理。 · 学会 比较线段的长短，掌握线段的和差运算及相关的几何作图。 · 初步体会 分类讨论、数形结合等数学思想方法。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 直线、射线、线段 直线：向两个方向无限延伸，没有端点，不可度量。用两个大写字母或一个小写字母表示（如直线AB，直线l）。 射线：向一个方向无限延伸，有一个端点，不可度量。用端点字母和射线上任意一点表示（如射线AB，端点为A）。 线段：有两个端点，有长度，可度量。用两个端点字母表示（如线段AB）。 注意：几何语言要规范，直线和射线不能度量长度，延长射线只能反向延长。 ※ 典型例题 1 题目：下列叙述中，正确的是（　） A．直线a，b相交于点n B．延长射线AB到点C C．画直线AB，使AB＝2cm D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm 分析：根据几何语言的规范对各选项分析判断。交点应用大写字母；射线只能反向延长；直线无限长不可度量。 答案：D ☆ 2. 两点确定一条直线 基本事实：经过两点有且只有一条直线。即两点确定一条直线。 应用：木工弹墨线、植树定行、固定木条等。 ※ 典型例题 2 题目：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　） A．两点确定一条直线　B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线　D．线段是直线的一部分 分析：根据直线的性质，两点确定一条直线，即可解释该现象。 答案：A ☆ 3. 两点之间线段最短 基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短。简称“两点之间，线段最短”。 应用：修路、架桥、导航路线等。 ※ 典型例题 3 题目：导航提供的路线为11.3km，但显示两地的直线距离却是9.3km。能解释这一现象最合理的数学知识是（　） A．线段是直线的一部分　B．过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短　D．两点确定一条直线 分析：导航路线为实际路径，直线距离为线段长度，根据“两点之间线段最短”可知直线距离最短。 答案：C ☆ 4. 两点间的距离 定义：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。若点C是线段AB的中点，则AC＝BC＝½AB。 ※ 典型例题 4 题目：如图，C，D是线段AB上的两点，且点D是线段AC中点，若AB＝10，BC＝4，则BD的长是（　） A．9　B．8　C．7　D．6 分析：AC＝AB−BC＝6，D为AC中点，AD＝CD＝3，BD＝AB−AD＝10−3＝7。 答案：C ☆ 5. 比较线段的长短 方法：①度量法（用刻度尺量长度）；②叠合法（把一条线段移到另一条线段上比较）。 注意：比较线段长短时，要确保端点对齐。 ※ 典型例题 5 题目：如图，点B，C在线段AD上，且AC＝BD，则线段AB与线段CD的大小关系是（　） A．AB＞CD　B．AB＝CD　C．AB＜CD　D．不能确定 分析：AC＝AB＋BC，BD＝CD＋BC，∵AC＝BD，∴AB＝CD。 答案：B ☆ 6. 线段的和与差 和：如果点C在线段AB上，则AB＝AC＋CB。 差：如果点C在线段AB上，则AC＝AB−CB。 应用：利用线段的和差关系求未知线段的长度，常与中点结合考查。 ※ 典型例题 6 题目：如图，电子游戏中有直线l，上有A、B、C、D、E、F六个点，点P沿直线l从右往左移动，当出现点P与六个点中至少有两个点距离相等时，发出警报，则发出警报的位置最多有（　）处。 A．14　B．15　C．16　D．17 分析：点P为任意两个点的连线段的中点时发出警报，六个点可组成15条线段，若中点不重合，则最多15处。 答案：B ☑ 知识总结表 核心概念 定义 注意事项 直线 向两个方向无限延伸，无端点 不可度量，用两个大写字母或小写字母表示 射线 向一个方向无限延伸，有一个端点 不可度量，端点字母在前 线段 有两个端点，有长度 可度量，可用两个端点表示 两点确定一条直线 经过两点有且只有一条直线 是直线的基本性质 两点之间线段最短 两点间所有连线中线段最短 是线段的基本性质 两点间的距离 连接两点的线段的长度 是数量，不是图形 线段中点 把线段分成两条相等线段的点 AC＝BC＝½AB 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】直线、射线、线段（第1-4题） 方法总结： · 区分直线、射线、线段的关键是看端点个数和延伸方向。 · 几何语言要规范：直线用两个大写字母或小写字母，射线端点在前，线段用两个端点。 · 直线和射线不可度量，不能说“画直线AB＝2cm”。 1．（2025秋•渠县校级期末）下列叙述中，正确的是（　　） A．直线a，b相交于点n B．延长射线AB到点C C．画直线AB，使AB＝2cm D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm 【分析】根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误； B、射线一旁是无限延伸的，只能反向延长，本选项错误； C、直线是向两方无限延伸的，无限长，画直线AB＝2cm错误；故本选项错误； D、在射线AB上截取线段AC，使AC＝1cm，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查几何语言的规范性，准确掌握规范的几何语言是学好几何的保障． 2．（2026春•蓬莱区期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及图形语言的描述规则进行解答即可． 【解答】解：A．选项A中的图形可以描述为“延长线段BA到C”，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形可以描述为：“射线BC不经过点A”，因此选项B不符合题意； C．选项C中的图形可以描述为：“点P在直线a上，也在直线b上”或“直线a与直线b相交于点P”，因此选项C符合题意； D．选项D中的图形可以描述为：“射线CD与线段AB相交”，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查直线、射线、线段，理解直线、射线、线段的定义以及几何语言的描述规则是正确解答的关键． 3．（2026春•莱州市期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．直线OB和直线BO不是同一条直线 B．点B是直线AB的一个端点 C．射线OA和射线OB不是同一条射线 D．图中共有3条线段 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法逐项进行判断即可． 【解答】解：A．直线OB和直线BO是同一条直线，因此选项A不符合题意； B．点B是线段AB的一个端点，因此选项B不符合题意； C．射线OA和射线OB是同一条射线，因此选项C不符合题意； D．图中的线段有OA、AB、OB共3条，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义以及表示方法是正确解答的关键． 4．（2025秋•江汉区期末）下列语言描述与相应几何图形相同的是（　　） A．如图①所示，延长线段BA到点C B．如图②所示，射线BC经过点A C．如图③所示，直线a和直线b相交于点A D．如图④所示，射线CD和线段AB没有交点 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．如图①所示，在线段BA的延长上取一点C，因此选项A不符合题意； B．如图②所示，射线BC不经过点A，因此选项B不符合题意； C．如图③所示，直线a和直线b相交于点A，因此选项C符合题意； D．如图④所示，射线CD和线段AB有交点，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确解答的关键． 【考点2】两点确定一条直线（第5-9题） 方法总结： · “两点确定一条直线”是直线的基本事实，常用于解释生活中的现象。 · 注意与“两点之间线段最短”区分：前者强调“确定”，后者强调“最短”。 · 过平面上三个不同的点画直线，需分三点共线和不共线两种情况讨论。 5．（2026•钦州一模）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．线段是直线的一部分 【分析】根据直线的性质解答即可． 【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 【点评】本题考查的是直线的性质，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 6．（2025秋•五华区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释． 故选：C． 【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键． 7．（2025秋•山西校级期末）如图，木工师傅在锯木板前，先在木板两端固定两个点，再用墨斗弹一根墨线，然后依照墨线锯开木板．这样做的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据直线的性质“两点确定一条直线”来解答即可． 【解答】解：先在木板两端固定两个点，再用墨斗弹一根墨线，然后依照墨线锯开木板 这样做的数学道理是：两点确定一条直线． 故选：B． 【点评】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．（2025秋•江北区校级期末）下列说法错误的是（　　） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．线段有两个端点 C．两点确定一条直线 D．直线比射线长 【分析】根据线段的定义，直线的性质，射线的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、直线AB和直线BA表示同一条直线，故不符合题意； B、线段有两个端点，故不符合题意； C、两点确定一条直线，故不符合题意； D、直线与射线不能比较大小，故符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，直线的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 9．（2025秋•梁溪区校级期末）在平面内有三个不同的点，过其中任意两点画直线，则可以画（　　） A．无数条 B．3条 C．1条 D．3条或1条 【分析】分三个点在同一直线上、三个点不在同一直线上两种情况，根据两点确定一条直线解答． 【解答】解：当三个点在同一直线上时，过其中任意两点画直线，则可以画1条， 当三个点不在同一直线上时，过其中任意两点画直线，则可以画3条， 则在平面内有三个不同的点，过其中任意两点画直线，则可以画3条或1条， 故选：D． 【点评】本题考查的是直线的性质，正确理解两点确定一条直线是解题的关键． 【考点3】两点之间线段最短（第10-15题） 方法总结： · “两点之间线段最短”是线段的基本事实，常用于优化路径问题。 · 实际应用中，如修路、架桥、导航等，都用此原理解释。 · 注意与“两点确定一条直线”的区别。 10．（2026春•蓬莱区期中）如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为11.3km，但显示两地的直线距离却是9.3km．能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．线段是直线的一部分 B．过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【分析】根据两点之间，线段最短即可求解． 【解答】解：导航提供的路线为11.3km，但显示两地的直线距离却是9.3km．解释这一现象最合理的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的性质，熟知两点之间，线段最短是解题的关键． 11．（2026春•芝罘区期中）下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（　　） A．三角形的任意两条边长之和大于第三条边长 B．用两个钉子可以把木条固定在墙上 C．射击时要让眼睛、准星和目标在同一直线上 D．利用圆规可以比较两条线段的大小关系 【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【解答】解：A、三角形的任意两条边长之和大于第三条边长，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，故符合题意； B、用两个钉子可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； C、射击时要让眼睛、准星和目标在同一直线上，可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； D、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是线段长度比较，故不符合题意； 故选：A． 【点评】该题主要考查了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”，解题的关键是理解以上知识点． 12．（2025秋•盘龙区期末）如图，新市金沙江特大桥起点岸位于四川屏山新市镇，止点岸在云南绥江南岸镇，该桥是连接川西滇北高速公路网的关键节点，建成通车后，桥梁直连两岸，通行里程大幅缩短，其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．经过一个点有无数条直线 【分析】根据线段的性质即可解答． 【解答】解：由题意知，其中蕴含的数学道理是“两点之间，线段最短”． 故选：A． 【点评】本题考查了线段的性质，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 13．（2025秋•石城县期末）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是　两点之间，线段最短　 ． 【分析】根据两点之间，线段最短解答即可． 【解答】解：这样做依据的数学原理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【点评】本题考查了线段的性质，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 14．（2024秋•德城区期末）如图，已知平面上A，B，C，D四个点． （1）按下列要求画图（不写画法）： ①连接AB； ②过点A，C作直线AC； ③作射线DB，交AC于点O； （2）通过测量线段AB，AO，BO的长度，可知AO+BO　＞　 AB（填“＜”“＝”或“＞”），可以解释这一现象的基本事实为　两点之间线段最短　 ． 【分析】（1）①连接AB即可；②画直线AC即可；③画射线DB，交AC于点O即可； （2）根据两点之间线段最短即可解答． 【解答】解：（1）如图所示． （2）通过测量可知AO+BO＞AB，可以解释这一现象的基本事实为两点之间线段最短， 故答案为：＞，两点之间线段最短． 【点评】本题考查了应用与设计作图、直线、射线、线段、两点之间线段最短等知识，解决本题的关键是区别直线、射线、线段． 15．（2024秋•同步）如图，设有A，B，C，D四个居民小区，现要在居民小区内建一个购物中心，把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离之和最小？请在图中找出合适的位置并说明依据． 【分析】根据两点之间线段最短即可求出答案． 【解答】解：连接AC和BD，AC和BD相交于点M，则点M即是购物中心的位置． ∴MA+MC+MB+MD＝AC+BD， 理由是两点之间线段最短． 【点评】本题考查作图问题，解题的关键是正确理解两点之间线段最短，本题属于基础题型． 【考点4】两点间的距离（第16-22题） 方法总结： · 两点间的距离是线段的长度，是一个数值。 · 线段中点的定义：AC＝BC＝½AB，可进行等量代换。 · 当点的位置不确定时，要分类讨论（如点C在AB上或在AB延长线上）。 · 利用线段的和差关系列方程求解。 16．（2026春•芝罘区期中）如图，C，D是线段AB上的两点，且点D是线段AC中点，若AB＝10，BC＝4，则BD的长是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【解答】解：∵AB＝10，BC＝4， ∴AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6， ∵点D是线段AC中点， ∴AD＝CDAC＝3， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣3＝7． 故选：C． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． 17．（2026春•芝罘区期中）下列说法中，能说明点C一定是AB中点的是（　　） A．AB＝AC+BC B．AC＝BC C．AB＝2AC D．AB＝2AC＝2BC 【分析】根据线段中点的定义，结合具体的图形进行判断即可． 【解答】解：A．如图1，当点C在线段AB上时，AB＝AC+BC，但点C不一定是AB的中点，因此选项A不符合题意； B．如图2，当点C在线段AB的中垂线上时，总有AC＝BC，但点C不一定是AB的中点，因此选项B不符合题意； C．如图3，当点C在以点A为圆心，AB为半径的圆上时，总有AB＝2AC，但点C不一定是AB的中点，因此选项C不符合题意； D．如图4，点C在以点A为圆心，AB为半径的圆上也在以点B为圆心，AB为半径的圆上，即两圆的交点，此时AB＝2AC＝2BC，即点C是AB的中点，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． 18．（2026春•牟平区期中）已知A，B，C三点在同一直线上，AB＝4cm，，点D为线段AC的中点，则线段BD的长为　2cm或6cm ． 【分析】根据点C的位置分两种情况分别画出相应的图形，由线段之间的和差关系以及线段中点的定义进行解答即可． 【解答】解：当点C在点B的右侧时，如图1， ∵AB＝4cm，ABBC， ∴BC＝2AB＝8cm，AC＝AB+BC＝4+8＝12cm， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CDAC＝6cm， ∴BD＝AD﹣AB＝6﹣4＝2cm， 当点C在点B的左侧时，如图2， ∵AB＝4cm，ABBC， ∴BC＝2AB＝8cm，AC＝BC﹣AB＝8﹣4＝4cm， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CDAC＝2cm， ∴BD＝AD+AB＝2+4＝6cm， 综上所述，BD＝2cm或BD＝6cm． 故答案为：2cm或6cm． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键． 19．（2026春•淄川区期中）已知A，B，C是同一条直线上的三点，M，N分别是线段AB，BC的中点，AB＝10cm，BC＝4cm，则线段MN的长为　3cm或7cm ． 【分析】由于点C可能在线段AB上或在AB的延长线上，分类讨论，即可求解． 【解答】解：当点C在AB的延长线上时，M是AB的中点，故，N是BC的中点，故， 则MN＝BM+BN＝5cm+2cm＝7cm； 当点C在线段AB上时，M是AB的中点，故BM＝5cm，N是BC的中点，故BN＝2cm， 则MN＝BM﹣BN＝5cm﹣2cm＝3cm． 故答案为：3cm或7cm． 【点评】本题考查了线段的中点的性质，线段的和差计算，掌握线段的和差计算是解题的关键． 20．（2025秋•大理州期末）如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）求线段AD的长； （2）若在线段AB上有一点E，CEBC，求AE的长． 【分析】（1）根据AD＝AC+CD，只要求出AC、CD即可解决问题； （2）根据AE＝AC﹣EC，只要求出CE即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AB＝8，C是AB的中点， ∴AC＝BC＝4， ∵D是BC的中点， ∴CDBC＝2， ∴AD＝AC+CD＝6； （2）∵BC＝4，CEBC， ∴CE4＝1， 当E在C的左边时，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3； 当E在C的右边时，AE＝AC+CE＝4+1＝5． ∴AE的长为3或5． 【点评】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．（2026春•招远市期中）如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且AM＝3MC，BN＝3NC． （1）若AC＝8，BC＝4，求线段MN的长； （2）若MN＝5，求线段AB的长． 【分析】（1）根据线段的倍比关系可得AMAC＝6，MCAC＝2，BNBC＝3，NCBC＝1，进而根据MN＝MC+CN即可； （2）由（1）的结论得到MN＝MC+CNACBC（AC+BC）AB即可． 【解答】解：（1）∵AM＝3MC，AM+MC＝AC＝8， ∴AMAC＝6，MCAC＝2， 同理BNBC＝3，NCBC＝1， ∴MN＝MC+CN＝2+1＝3； （2）由（1）可得MCAC，NCBC， ∴MN＝MC+CNACBC（AC+BC）AB， ∴AB＝4MN＝4×5＝20． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段的和差关系以及线段中点的定义是正确解答的关键． 22．（2025秋•东方期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BC＝2cm． （1）图中共有 　6　 条线段； （2）求AC的长； （3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长． 【分析】（1）根据公式n（n﹣1）进行计算即可； （2）先求CD，再求AC即可； （3）分两种情况讨论：①点E在线段AD上，根据BE＝AD﹣AE﹣BD；②点E在线段DA延长线上，根据BE＝AE+AB进行计算即可． 【解答】解：（1）n（n﹣1）4×3＝6， 故答案为6； （2）∵点B为CD的中点， ∴BCCD， ∵AD＝9cm，BC＝2cm， ∴BC＝BD＝2cm， ∴AC＝AD﹣BC﹣CD＝9﹣2﹣2＝5cm； （3）分两种情况讨论： ①点E在线段AD上，BE＝AD﹣AE﹣BD＝9﹣3﹣2＝4cm； ②点E在线段DA延长线上，BE＝AE+AB＝3+9﹣2＝10cm． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，掌握线段的计算方法是解题的关键． 【考点5】比较线段的长短（第23-27题） 方法总结： · 比较线段长短可用度量法或叠合法。 · 利用线段的和差关系进行等量代换，判断线段大小关系。 · 注意图形中线段之间的和差关系，如AC＝AB＋BC。 23．（2025秋•玉田县期末）如图，点B，C在线段AD上，且AC＝BD，则线段AB与线段CD的大小关系是（　　） A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．不能确定 【分析】结合图形，根据线段的和差关系进行判断即可求解． 【解答】解：∵AC＝AB+BC，BD＝CD+BC， 又∵AC＝BD， ∴AB＝CD． 故选：B． 【点评】本题考查了线段的和差计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键． 24．（2025秋•闵行区期末）点C在线段AB的延长线上，那么BC　＜　 AC（填写＜、＝或＞）． 【分析】由线段的概念，得到答案． 【解答】解：∵点C在线段AB的延长线上， ∴BC＜AC． 故答案为：＜． 【点评】本题考查比较线段的长短，关键是掌握线段的概念． 25．（2025秋•五指山期末）如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AC＝5cm，BD＝2cm，则CD＝　3　 cm． 【分析】首先由点C为AB中点，可知BC＝AC，然后根据CD＝BC﹣BD得出． 【解答】解：∵点C为AB中点， ∴BC＝AC＝5cm， ∴CD＝BC﹣BD＝3cm． 【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 26．（2023秋•东莞市期末）已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，AC的长为 　4cm或16cm ． 【分析】由已知条件不能确定点C在直线AB上的位置，故要分情况讨论：当C在线段AB上时，AC＝AB﹣BC；当C要线段AB的延长线上时，AC＝AB+BC．然后代入数值计算即可得到答案，注意不要漏掉单位． 【解答】解：本题有两种情况： （1）当点C在线段AB上时，如图，AC＝AB﹣BC，又∵AB＝10cm，BC＝6cm∴AC＝10﹣6＝4cm； （2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC＝AB+BC，又∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝10+6＝16cm． 故答案填4cm或16cm． 【点评】本题渗透了分情况讨论的思想，体现了思维的严密性，解决类似的问题要防止漏解，并注意不要漏掉单位． 27．（2025秋•富平县校级期末）如图，已知点B、C在线段AD上． （1）图中共有 　6　 条线段． （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　＝　 BD（填“＞”“＝”或“＜”）； ②若AB：BD＝1：3，BC＝8，求AC的长度． 【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的基本性质即可得出答案； ②根据线段的和差关系进行计算，即可得出答案． 【解答】解：（1）图中有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD， 图中共有6条线段． 故答案为：6． （2）①∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BC． 故答案为：＝． ②∵AB：BD＝1：3， ∴BD＝3AB， ∵AB＝CD，BD＝BC+CD， ∴CD＝ABBC， ∵BC＝8， ∴CD＝AB＝4， ∴AC＝AB+BC＝4+8＝12． 【点评】本题主要考查比较线段的长短、直线、射线、线段、两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解题的关键． 【考点6】线段的和与差（第28-33题） 方法总结： · 线段的和差是几何计算的基础，常与中点结合考查。 · 根据图形找到线段之间的和差关系，列出等式求解。 · 注意三等分点、四等分点等特殊位置，需分类讨论。 28．（2026春•福山区期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有A、B、C、D、E、F六个点，点P沿直线l从右往左移动，当出现点P与A、B、C、D、E、F六个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线l上会发出警报的位置最多有（　　）处． A．14 B．15 C．16 D．17 【分析】根据题意可知当点P为A、B、C、D、E、F六个点中任意两个点的连线段的中点时，就会发出警报，要使发出警报的位置最多，那么这两个点的中点位置要最多，即任意两个点的连线的中点不重合，则构成线段的条数即为发出警报的位置的最多数量． 【解答】解：∵当出现点P与A、B、C、D、E、F六个点中，至少有两个点距离相等的时候， ∴当点P为A、B、C、D、E、F六个点中任意两个点的连线段的中点时，就会发出警报， ∵要使发出警报的位置最多， ∴A、B、C、D、E、F六个点中任意两个点的连线段的中点互不重合， ∵A、B、C、D、E、F六个点可组成线段BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，共15条线段， ∴直线l上会发出警报的位置最多有15处． 故选：B． 【点评】本题考查线段的和差，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 29．（2026春•海阳市期中）如图，点A，B，C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．下列条件中，能求出线段MN的长度的是（　　） A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 【分析】根据线段的中点定义，线段的和差计算解答即可． 【解答】解：∵点A，B，C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点， ∴AM，， ∴MN＝MC﹣NC ． A．∵AB＝12， ∴MN6，能求出MN的长度，故选项A符合题意； B．只知道BC＝4，无法确定AB的长度，故不能求出MN，选项B不符合题意； C．∵AM＝5， ∴， ∴AC＝10，但是无法确定AB的长度，故选项C不符合题意； D．∵CN＝2， ∴， ∴BC＝4，但是无法确定AB的长度，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 30．（2025秋•辛集市期末）如图，已知线段DE＝3，以点E为圆心，DE长为半径画弧，交DE的延长线于点F．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（　　） 甲：E是线段DF的中点，且DF＝2DE＝6； 乙：在线段DE的延长线上找一点G，使F是线段DG的三等分点，则FG的长为9或12． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【分析】本题可根据线段的相关性质，分别对甲、乙两个结论进行分析判断． 【解答】解：∵以点E为圆心，DE长为半径画弧，交DE的延长线于点F， ∴DE＝EF＝3， ∴E是线段DF的中点，DF＝DE+EF＝6， 故甲正确，符合题意； ∵点G在线段DE的延长线上，F是线段DG的三等分点， ∴当时，DG＝18，FG＝DG﹣DF＝12； 当时，DG＝9，FG＝DG﹣DF＝3， 故乙错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段的相关性质，熟练掌握线段的和差关系以及三等分点的定义是解题的关键． 31．（2025秋•双流区期末）如图1，已知线段a、b，则图2中线段AB表示的是（　　） A．a﹣b B．a+b C．2a﹣b D．a﹣2b 【分析】根据线段的和差倍分及结合图形即可得到结论． 【解答】解：已知线段a、b，则图2中线段AB表示： 线段AB的长为2a﹣b， 故选：C． 【点评】本题考查的是两点间的距离，正确的识别图形是解题的关键． 32．（2025秋•密山市期末）如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有　6　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　＝　 BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AB：BD＝1：4，BC＝12，求AC的长度； （3）在（2）的条件下，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三分点，求线段MN的长度． 【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AC的长； （3）分类讨论，点N是靠近点B或者点C的三等分点，据此利用线段和差求解即可； 【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条， 故答案为：6． （2）①∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD， 故答案为：＝． ②∴AB：BD＝1：4，AC＝BD， ∴AC＝4AB， ∴BC＝3AB， ∵BC＝12， ∴AB＝4， ∴AC＝AB+BC＝16． （3）∵点M为AB中点， ∴BM2， 当点N是靠近点B的三等分点时， 则BN4， ∴MN＝BM+BN＝6； 当点N是靠近点C的三等分点时， 则BNBC＝8， ∴MN＝BM+BN＝10； 综上，MN的长为6或10． 【点评】本题主要考查了线段的和差，比较线段的长短，关键是掌握线段的和差． 33．（2025秋•洞口县期末）如图，线段AB＝24，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点． （1）求线段AC的长； （2）求线段AD的长； （3）若点E是线段AD的中点，求CE的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义进行计算即可； （2）根据线段中点的定义进行计算即可； （2）根据线段中点的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AB＝24，C是AB的中点， ∴AC； （2）∵BC＝AB﹣AC＝12，D是BC的中点， ∴CD， ∴AD＝AC+CD＝12+6＝18； （3）∵AD＝18，E是AD的中点， ∴AE， ∴CE＝AC﹣AE＝12﹣9＝3． 【点评】本题主要考查了线段的和差，熟知线段中点的定义是解题的关键． 【考点7】创新及压轴题（第34-36题） 方法总结： · 综合运用线段的中点、和差关系，结合整体思想解题。 · 数轴上的线段问题，利用中点公式和距离公式求解。 · 学会从复杂图形中抽象出线段之间的数量关系。 34．（2025秋•岳池县期末）已知题目：“如图，线段AB上依次有M，C，D，N四点，其中M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，AB＝28，CD＝8，求MN的长．”嘉淇说：“题目缺少条件，若给出AC＝8，就能求出MN的长．”老师说：“题目不缺少条件，可以把MC+DN看作一个整体解题．” （1）按照嘉淇的思路，求MN的长； （2）按照老师的思路，求MN的长． 【分析】（1）根据中点定义和线段之间的和差关系得到MC、DN，利用MN＝MC+CD+DN即可得到答案； （2）根据题意得到AC+BD＝AB﹣CD＝20，点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点，则，，即可得到MC+DN＝10，利用MN＝MC+CD+DN即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可知， ∵AB＝28，CD＝8， ∴BC＝AB﹣AC＝28﹣8＝20， ∴BD＝BC﹣CD＝20﹣8＝12， ∵点N是线段BD的中点， ∴， ∴MN＝MC+CD+DN＝4+8+6＝18； （2）∵AB＝28，CD＝8，AC+CD+BD＝AB， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝28﹣8＝20， 由条件可知，， ∴， ∴MN＝MC+CD+DN＝18． 【点评】此题考查了线段的和差关系和线段中点的相关计算，弄清线段之间的关系是解题的关键． 35．（2025秋•南岸区期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣1，3，5． （1）线段AB的中点表示的数为　1　 ；线段BC的中点表示的数为　4　 ；线段AC的中点表示的数为　2　 ； （2）若点M，N表示的数分别为m，n，线段MN的中点表示的数为　　 ； （3）若点K是数轴上任意一点，且不与点A，B重合，点P为AK的中点，点Q为BK的中点，线段PQ的长度与点K的位置是否有关？若有关，请说明理由；若无关，请求出线段PQ的长． 【分析】（1）根据所给点A、点B和点C的坐标，即可求出线段AB、BC、AC的中点， （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据（2）中发现的规律，令点K表示的数为x，据此分别表示出点P和点Q表示的数，再表示出线段PQ的长度即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣1，3，5， 所以线段AB的中点表示的数为1，线段BC的中点表示的数为4，线段AC的中点表示的数为2． 故答案为：1，4，2； （2）由（1）知， 因为， 所以当点M，N表示的数分别为m，n时，其中点表示的数为． 故答案为：； （3）无关，理由如下： 令点K表示的数为x， 则点P表示的数为，点Q表示的数为， 所以PQ＝||＝2， 所以线段PQ的长度与点K的位置无关． 【点评】本题主要考查了线段的和差及数轴，能根据题意得出数轴上线段中点表示的数与两端点表示数的关系是解题的关键． 36．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为线段BC上一点． （1）若M为AD中点，BM＝6cm，求线段CM的长度； （2）若图中所有线段的长度之和是线段AM长度的8倍，则　　 ． 【分析】（1）根据题意，设出AB，BC，CD的长，据此列出方程即可解决问题； （2）根据题意，设出AB，BC，CD的长，再由图中所有线段的长度之和是线段AM长度的8倍得出AM与AD的关系即可解决问题． 【解答】解：（1）因为B、C两点把线段AD分成2：5：3三部分， 则设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm， 所以AD＝AB+BC+CD＝10xcm． 因为M为AD中点， 所以AM5xcm， 所以BM＝AM﹣AB＝5x﹣2x＝3x（cm）． 又因为BM＝6cm， 所以3x＝6， 解得x＝2， 所以CM＝BC﹣BM＝2x＝4（cm）； （2）由题知， 令AB＝2m，BC＝5m，CD＝3m， 则AD＝10m， 令BM＝n，则CM＝5m﹣n， 因为图中所有线段的长度之和可表示为：2m+n+5m﹣n+3m+2m+n+5m+5m﹣n+3m+7m+8m+10m＝50m， 则由图中所有线段的长度之和是线段AM长度的8倍得， 50m＝8（2m+n）， 所以n， 则AM＝2m， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了线段的和差，能根据题意得出图中各线段之间的关系是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：两点确定一条直线练习2：直线、射线、线段的表示练习3：线段的和差与中点练习4：两点确定一条直线练习5：两点间的距离练习6：两点之间线段最短练习7：数轴上的线段与动点练习8：两点之间线段最短的应用 【练习1】（2026•碧江区 模拟）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．能解释这一现象的数学道理是（　　） A．直线是向两个方向无限延伸的 B．两点确定一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【分析】根据线段和直线的性质，可得答案． 【解答】解：植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，理由是：两点确定一条直线， 故选：B． 【点评】本题考查了线段和直线的性质，掌握线段和直线的性质是解题的关键． 【练习2】（2026春•淄川区期中）如图，下列说法不正确的是（　　） A．线段AO和射线OC都是直线OC的一部分 B．射线OD和射线DO是同一条射线 C．线段AC与线段CA是同一条线段 D．直线AC与直线n为同一条直线 【分析】根据直线、射线、线段的定义进行判断即可． 【解答】解：A．线段AO和射线OC都是直线OC的一部分，因此选项A不符合题意； B．射线OD和射线DO不是同一条射线，因此选项B符合题意； C．线段AC与线段CA是同一条线段，因此选项C不符合题意； D．直线AC与直线n为同一条直线，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查直线、射线、线段，理解直线、射线、线段的定义以及表示方法是正确判断的前提． 【练习3】（2025秋•平邑县期末）如图，点M是AB的中点，点N是AD的中点，AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，则MN的长为（　　） M是AB的中点，点N是AD的中点，AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，则MN的长为（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【分析】根据题意，点M是AB的中点，AB＝12cm，由线段的中点定义可得：AM（cm），再根据已知AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，由AD＝AB+BC+CD求出AD的长，再根据点N是AD的中点，由线段的中点定义得出：，最后由MN＝AN﹣AM进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵点M是AB的中点，AB＝12cm， ∴AM（cm）， ∵AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm， ∴AD＝AB+BC+CD ＝12+20+16 ＝32+16 ＝48（cm）， ∵点N是AD的中点， ∴（cm）， ∴MN＝AN﹣AM＝24﹣6＝18（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． 【练习4】（2026•松原一模）如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的基本事实是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据两点确定一条直线进行求解即可． 【解答】解：跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的基本事实是：两点确定一条直线， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了两点确定一条直线． 【练习5】（2026春•谯城区校级月考）A，B，C三点在同一条直线上，如果线段AB＝5cm，BC＝3cm，那么A，C两点的距离为（　　）A，B，C三点在同一条直线上，如果线段AB＝5cm，BC＝3cm，那么A，C两点的距离为（　　） A．8cm B．2cm C．2cm或8cm D．以上均不正确 【分析】已知三点共线，未明确点C的位置，需要分点C在线段AB上、点C在AB的延长线上两种情况讨论，分别计算AC的长度即可． 【解答】解：∵未明确点C的位置， ∴分点C在线段AB上、点C在AB的延长线上两种情况讨论， ①当点C在线段AB的延长线上时，如图所示： ， ∵AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝AB+BC＝5+3＝8（cm）； ②当点C在线段AB上时，如图所示： ， ∵AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝AB﹣BC＝5﹣3＝2（cm）； 综上，A、C两点的距离为2cm或8cm． 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离，掌握两点间的距离的计算方法是关键． 【练习6】（2025秋•仪征市期末）如图，用剪刀沿直线剪银杏叶，发现剩下的银杏叶周长比原来周长要小，理由是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．对顶角相等 【分析】根据两点之间线段最短，即可求解． 【解答】解：理由是两点之间线段最短． 故选：A． 【点评】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短，关键是掌握两点之间，线段最短． 【练习7】（2025秋•同江市校级期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　10　 ，线段AB的中点表示的数为 　3　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t ；点Q表示的数为 　8﹣2t ． （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论； （3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论； （4）由点M表示的数为 2，点N表示的数为 3，即可得到结论． 【解答】解：（1）①10，3； ②﹣2+3t，8﹣2t； （2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等 ∴﹣2+3t＝8﹣2t， 解得：t＝2， ∴当t＝2时，P、Q相遇， 此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4， ∴相遇点表示的数为4； （3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， ∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|， 又PQAB10＝5， ∴|5t﹣10|＝5， 解得：t＝1或3， ∴当：t＝1或3时，PQAB； （4）不变． ∵点M表示的数为 2， 点N表示的数为 3， ∴MN＝|（2）﹣（3）|＝|23|＝5． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【练习8】（2025秋•玉溪期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由： 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？ 【分析】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置． 【解答】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：（需画出图形，并标明P点位置） 理由：两点之间的所有连线中，线段最短． 赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价． 【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短． 课后巩固 · 针对性练习 以下为对应知识点的作业标签（具体题目详见讲义）： 作业1：线段的中点与和差作业2：两点之间线段最短作业3：两点之间线段最短作业4：线段的和差与中点作业5：两点之间线段最短作业6：线段上的动点问题作业7：两点之间线段最短的应用作业8：线段的中点与和差作业9：线段上的点数与线段总数作业10：线段的中点与和差作业11：数轴上的线段与绝对值 ❤ 复习建议 强化几何语言规范：注意直线、射线、线段的表示方法，避免“画直线AB＝2cm”这类错误。 区分两个基本事实：“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的应用场景不同，要能准确辨析。 掌握分类讨论思想：当点的位置不确定时（如点C在直线AB上），要分情况讨论，避免漏解。 熟练线段的和差与中点：这是计算题的核心，要多练习从图形中识别线段之间的数量关系。 数形结合与整体思想：在创新题型中，善于利用数轴、整体代换等方法简化计算。 【作业1】（2025秋•巨野县期末）已知线段AB＝20cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）AB＝20cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．10cm B．8cm或10cm C．12cm D．10cm或12cm 【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可． 【解答】解：分两种情况讨论： ①如图，当点C在线段AB上时， ∵AB＝20cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB﹣BC＝20﹣4＝16cm， ∵M是AC的中点，N是BC的中点， ∴， ∴MN＝MC+CN＝8+2＝10cm； ②如图，当点C在线段AB的延长线上时， ∵AB＝20cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB+BC＝20+4＝24cm， ∵M是AC的中点，N是BC的中点， ∴， ∴MN＝MC﹣NC＝12﹣2＝10cm， 综上所述，线段MN的长度是10cm， 故选：A． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，解决此题的关键是熟练掌握利用分类讨论的数学思想解决问题． 【作业2】（2025秋•盐田区期末）利用隧道把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．直线没有端点 D．两点确定一条直线 【分析】根据“两点之间线段最短”即可得出答案． 【解答】解：其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短． 故选：A． 【点评】此题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解决问题的关键． 【作业3】（2026•兰州校级开学）如图，从A地到B地共有五条路，人们常常选择第③条，请用几何知识解释原因（　　）A地到B地共有五条路，人们常常选择第③条，请用几何知识解释原因（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有无数条直线 D．线段是直线的一部分 【分析】根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【解答】解：从A地到B地共有五条路，人们常常选择第③条，因为两点之间，线段最短． 故选：A． 【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解题的关键． 【作业4】（2026春•栖霞市期中）数学课上，小明同学进行了如图操作： ①作射线AM； ②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a； ③在线段DA上截取DB＝b； ④分别找到线段AC，BD的中点E，F． 则线段EF的长为　ab ． 【分析】根据作图，线段中点的定义以及线段的和差关系进行解答即可． 【解答】解：由作图可知，AD＝AC+CD＝2a，AC＝a，BD＝b， ∵点E是AC中点，点F是BD的中点， ∴AEACa，DFBDb， ∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝2aabab． 故答案为：ab． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键． 【作业5】（2025秋•乌兰浩特市期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 　两点之间线段最短　 ．　两点之间线段最短　 ． 【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案． 【解答】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小， 能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点评】此题主要考查了线段的性质，正确把握线段的性质是解题关键． 【作业6】（2022秋•西安期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB＝12厘米，点C在线段AB上，且AC＝8厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 　2、10、或 　 秒时线段PQ的长为6厘米． A、点B是直线上的两点，AB＝12厘米，点C在线段AB上，且AC＝8厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 　2、10、或　 秒时线段PQ的长为6厘米． 【分析】首先根据AB＝12厘米，AC＝8厘米，求出CB的长度是多少；然后分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6厘米即可． 【解答】解：∵AB＝12厘米，AC＝8厘米， ∴CB＝12﹣8＝4（厘米）； （1）点P、Q都向右运动时， （6﹣4）÷（2﹣1） ＝2÷1 ＝2（秒） （2）点P、Q都向左运动时， （6+4）÷（2﹣1） ＝10÷1 ＝10（秒） （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （6﹣4）÷（2+1） ＝2÷3 （秒） （4）点P向右运动，点Q向左运动时， （6+4）÷（2+1） ＝10÷3 （秒） ∴经过2、10、或秒时线段PQ的长为6厘米． 故答案为：2、10、或． 【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握． 【作业7】（2024秋•云冈区期末）画一画 如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置． （1）你是否同意甲的意见？　否　 （填“是”或“否”）； （2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据． 【分析】（1）根据线段的性质可判断； （2）水泵应在线段AB上，连接AB，与l的交点，即为水泵的位置； 【解答】解：（1）否； （2）连接AB，交l于点Q， 则水泵站应该建在点Q处； 依据为：两点之间，线段最短． 【点评】本题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短；体现了数学知识在实际中的应用． 【作业8】（2022秋•长春期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒．B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒． （1）当t＝2时，①AB＝　4　 cm．②求线段CD的长度． （2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【分析】（1）①根据AB＝2t即可得出结论；②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长； （2）直接根据中点公式即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动， ∴当t＝2时，AB＝2×2＝4cm． 故答案为：4； ②∵AD＝10cm，AB＝4cm， ∴BD＝10﹣4＝6cm， ∵C是线段BD的中点， ∴CDBD6＝3cm； （2）不变； ∵AB中点为E，C是线段BD的中点， ∴EBAB，BCBD， ∴EC＝EB+BC（AB+BD） AD10＝5cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 【作业9】（2015秋•抚州期末）如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…． AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…． （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？ （2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示） （3）当n＝100时，线段总数共有多少条？ 【分析】（1）根据AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，可总结出规律，从而得出当线段AB上有6个点时，线段总数； （2）根据（1）可得出当线段AB上有n个点时，线段总数； （3）将n＝100，代入（2）的关系式即可得出答案． 【解答】解：（1）AB上有3个点时，线段总数共有3条； AB上有4个点时，线段总数共有6条； AB上有5个点时，线段总数共有10条； … AB上有n个点时，线段总数共有：， 故当线段AB上有6个点时，线段总数共有15条； （2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有：； （3）当n＝100时，线段总数共有4950条． 【点评】本题考查了直线上点与线段之间的数量关系，要求同学们具有一定由特殊到一般的总结能力，有一定难度． 【作业10】（2015秋•鼓楼区校级期末）如图，C是线段AB的中点．C是线段AB的中点． （1）若点D在CB上，且DB＝2cm，AD＝8cm，求线段CD的长度； （2）若将（1）中的“点D在CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度． 【分析】（1）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案． （2）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：（1）由线段的和差，得AB＝AD+DB＝8+2＝10cm， 由C是AB的中点，得BCAB＝5cm， 由线段的和差，得CD＝CB﹣DB＝5﹣2＝3cm； （2）如图1， 由线段的和差，得AB＝AD﹣DB＝8﹣2＝6cm， 由C是AB的中点，得BCAB＝3cm， 由线段的和差，得CD＝CB+DB＝3+2＝5cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． 【作业11】（2014秋•相城区期末）已知A、B在数轴上分别表示a、bA、B在数轴上分别表示a、b （1）对照数轴填写下表： a 6 ﹣6 ﹣6 2 ﹣1.5 b 4 0 ﹣4 ﹣10 ﹣1.5 A、B两点的距离 2 0 （2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（a＜b）有何数量关系； （3）写出数轴上到7和﹣7的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和； （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x+1|+|x﹣2|取得的值最小． 【分析】（1）根据数轴的知识，结合表格中的数即可得出答案． （2）由（1）所填写的数字，即可得出结论． （3）由数轴的知识，可得出只要在﹣7和7之间的整数均满足题意． （4）根据绝对值的几何意义，可得出﹣1和2之间的任何一点均满足题意． 【解答】解：（1）对照数轴填写下表： a 6 ﹣6 ﹣6 2 ﹣1.5 b 4 0 ﹣4 ﹣10 ﹣1.5 A、B两点的距离 2 6 2 12 0 （2）由（1）可得：d＝|a﹣b|或d＝b﹣a； （3）只要在﹣7和7之间的整数均满足到7和﹣7的距离之和为14，有：﹣7、﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6、7， 所有满足条件的整数之和为：﹣7+（﹣6）+（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5+6+7＝0； （4）根据数轴的几何意义可得﹣1和2之间的任何一点均能使|x+1|+|x﹣2|取得的值最小． 故可得：点C的范围在：﹣1≤x≤2时，能满足题意． 【点评】此题考查了绝对值函数的最值、数轴及两点间的距离，解答本题的关键是理解绝对值的几何意义，难度一般，不理解的地方可以借助坐标轴演示． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $