专题09角暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

专题09角暑假预习讲义 ① 理解角两种定义：掌握静态定义（有公共端点的两条射线组成的图形）、动态定义（一条射线绕端点旋转形成）；牢记角由一个顶点、两条边构成，角的大小和边的长短无关。 ② 熟练掌握角规范表示方法：学会三种表示形式（三个大写字母、单个数字、希腊字母）；清楚顶点处多个角时，不能只用单个顶点字母表示。 ③ 认识各类角并区分范围：分清锐角、直角、钝角、平角、周角，熟记各类角度取值范围；厘清平角不是直线、周角不是射线。 ④ 掌握角度度量单位换算：牢记 1=60'，1'=60''，能够完成度、分、秒相互转化，简单角度加减运算。 ⑤ 学会比较角的大小：掌握度量法、叠合法两种比较方式，能用符号写出角大小关系。 ⑥ 理解角平分线概念：能够用几何语言描述角平分线，根据平分线写出相等角、倍数关系式，进行基础角度计算。 ⑦ 理解角的和与差：能在图形中识别角的和、差关系，借助图形列式求解角度。 ⑧ 初识余角、补角概念：掌握互余、互补定义；记住同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等。 ⑨ 梳理高频易错点：角的表示书写不规范；混淆平角与直线、周角与射线；度分秒换算进位退位出错；看图计算角度漏看多种情况；规范几何语言书写，搭建平面几何推理基础。 预习必备 知识梳理 1.角的两种定义 2.角的四种表示方法 3.角的度量与单位换算 4.角的大小比较 5.角的和、差 6.角平分线 7.作一个角等于已知角 8.余角与补角 9.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.角的单位与角度制 5.角度的四则运算 6.角的度数大小比较 7.钟面角 8.方向角的表示 9.与方向角有关的计算题 10.几何图形中角度计算问题 11.三角板中角度计算问题 12.角平分线的有关计算 13.角n等分线的有关计算 14.求一个角的余角 15.求一个角的补角 16.与余角.补角有关的计算 17.同等角的余补角相等的应用 强化题型 解答题6题 一、角的两种定义 1.静态定义（课本基础定义） 由具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2.动态定义 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置射线：始边 终止位置射线：终边 👉拓展概念（预习了解） 平角：射线旋转半周，始边与终边成一条直线；平角=180 周角：射线旋转一周，始边与终边重合；周角=360 ⚠️易错：平角不是直线，周角不是射线。角必须有顶点和两条边。 知识点02：角的四种表示方法（必考，规范书写） 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另外两个字母不分顺序。 如图（1）中的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC。 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母；当两个或两个以上的角共用同一个顶点时，不能用这种方法表示其中任意一个角。如图 (2) 中的∠EBC也可以表示为∠B，∠ADC也可以表示为 ∠D，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示。 3.用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边标注数字。如图（2）中的∠EAF也可以表示为∠1，∠ECD （∠FCD）也可以表示为∠2。 4.用一个小写希腊字母等来表示 这种方法和用数字表示角的方法类似，同样需要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母。如图（3）中的∠AOB也可以表示为∠。 知识点03：角的度量与单位换算 度量工具：量角器 角度单位：度、分、秒，符号：、'、'' 进率是 60（60 进制！重点，区别十进制） 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 换算两类题型： ①度 ⇨ 度分秒（乘 60） ②度分秒 ⇨ 度（除以 60） 特殊角大小 直角：90；平角：180；周角：360 知识点04：角的大小比较（和线段比较对应学习） 1.度量法：用量角器测出角度数值，直接比较大小 2.叠合法： ①顶点重合； ②一条边重合； ③另外一条边落在重合边同侧，根据另一边位置判断大小。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 ⚠️重要结论：角的大小只和两边张开幅度有关，和边的长短无关（射线无限长）。 知识点05：角的和、差 在同一个顶点处，射线将大角分成若干小角。 如图，射线OC在∠AOB内部： 几何答题规范：书写角度等式，不要省略角符号∠。 知识点06：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如图所示，OC 是∠AOB的角平分线， ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC， ∠AOC= ∠BOC =∠AOB。 知识点07：尺规作图：作一个角等于已知角 知识点08：余角与补角 1.余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 2.同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 3.余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 知识点09：高频易错汇总表 错误说法 正确解读 一条直线就是平角 平角有顶点，直线没有顶点，二者不相等 射线就是周角 周角存在两条重合的边和顶点，射线不是角 ∠O随便使用 顶点处多个角时，禁止只用单个字母表示角 角的边越长，角越大 角大小只和张开程度有关，与边长无关 ∠AOC= ∠COB，OC 一定是角平分线 缺少 “OC 在角内部” 条件，结论不成立 角度换算当成十进制 度分秒是 60 进制，不是 10 进制 题型1.角的概念理解 【典例】阅读下列信息， 坪山区秉持“创新坪山，未来之城”的发展理念，致力于实现经济、生态和人文的和谐共进．2023年，坪山区GDP超1329亿元，同比增长，成为全市增速最快的区域．此外，坪山河生态治理项目成功入选广东2024年优秀案例，河中有马口鱼、中华鳑鲏等多种鱼类栖息．同时，坪山区现有地铁14号线、16号线，在建地铁19号线，交通方便商场配套齐全，还打造了坪山美术馆、坪山大剧院等多个文化场馆，形成了一个集艺术与文化于一体的坪山文化聚落． 深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如图．此时“三折叠”手机的打开角度是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，下列说法中，错误的是（   ） A．与是同一个角 B．与是同一个角 C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，， 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．平角是一条直线 B．在同一平面内，，，则 C．两条射线组成的图形叫做角 D．互补且相等的两个角都是直角 题型2.角的表示方法 【典例】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．图中共有三个角：，， D．也可用来表示 【跟踪专练2】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 题型3.角的分类 【典例】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【跟踪专练1】下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【跟踪专练2】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 题型4.角的单位与角度制 【典例】将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： （1）_______度_______分_______秒． （2）_______或_______′． （3）_______或_______″． 【跟踪专练2】若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型5.角度的四则运算 【典例】已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算：_____________． 【跟踪专练2】已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 题型6.角的度数大小比较 【典例】已知：，，，下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】比较大小：，则_________．（填“”“”或“”） 【跟踪专练2】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 题型7.钟面角 【典例】钟表上的时间指示为八点半，此时时针与分针所成的角（小于平角）的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下午6点40分，时钟的分针与时针所夹的角等于_______． 【跟踪专练2】在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 题型8.方向角的表示 【典例】如图，点A处的轮船位于航标灯点O的方向是（    ）． A．南偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏西 【跟踪专练1】如图，的方向是北偏西方向，平分，则的方向是___方向． 【跟踪专练2】如图，在处观察时，点在点的北偏西方向上，已知，则点在点的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 题型9.与方向角有关的计算题 【典例】如图，射线的方向是北偏东，若射线与射线垂直，则射线的方向是（   ） A．北偏西 B．西北方向 C．北偏西 D．西偏北 【跟踪专练1】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若平分，则的方向是_________． 【跟踪专练2】新情境  石家庄滹沱河的生态修复工程让母亲河重焕新生．如图是东西流向且两岸a，b互相平行的一段滹沱河道，河岸a上有一建筑S，河岸b上的嘉嘉观测到建筑S在他的北偏西方向上，则嘉嘉可能位于（    ） A．点P处 B．点Q处 C．点M处 D．点N处 题型10.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，点在直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，平分，若过点作射线，使，则的度数为______________．    【跟踪专练2】如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11.三角板中角度计算问题 【典例】将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 【跟踪专练2】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（   ） A． B． C． D． 题型12.角平分线的有关计算 【典例】如图，是的平分线，是的平分线，如果，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线，相交于点O，平分，则的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型13.角n等分线的有关计算 【典例】若射线，是的两条三等分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为__________．    【跟踪专练2】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 题型14.求一个角的余角 【典例】若，则的余角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有_______对． 【跟踪专练2】如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型15.求一个角的补角 【典例】．若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则的邻补角等于______ ． 【跟踪专练2】一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   题型16.与余角.补角有关的计算 【典例】已知，与互余，则的补角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 题型17.同等角的余补角相等的应用 【典例】下面是小宇同学推理过程的部分内容，“”处应填的内容是（   ） 如图，已知， （已知）， ．．．．．． A．对顶角相等 B．邻补角互补 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 【跟踪专练1】如图，，则图中三个角的数量关系是_______． 【跟踪专练2】如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 解答题 1．（1）如图，根据表中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来： 表示方法1 表示方法2 （2）若，求的余角和补角的度数． 2．如图，，，都是直角，：，是的平分线． (1)图中共有_____个小于平角的角； (2)在图上画出的补角； (3)求的度数． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 4．如图，一艘客轮沿东北方向行驶，在海上处发现灯塔在北偏西方向上，灯塔在南偏东方向上． (1)在图中画出射线； (2)求与的数量关系． 5．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 6．如图1，和都是直角． (1)如果，那么________； (2)找出图1中相等的锐角．如果，它们还会相等吗？请说明理由； (3)在图2中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（请标出你所画的直角，并写出与相等的角） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09角暑假预习讲义 ① 理解角两种定义：掌握静态定义（有公共端点的两条射线组成的图形）、动态定义（一条射线绕端点旋转形成）；牢记角由一个顶点、两条边构成，角的大小和边的长短无关。 ② 熟练掌握角规范表示方法：学会三种表示形式（三个大写字母、单个数字、希腊字母）；清楚顶点处多个角时，不能只用单个顶点字母表示。 ③ 认识各类角并区分范围：分清锐角、直角、钝角、平角、周角，熟记各类角度取值范围；厘清平角不是直线、周角不是射线。 ④ 掌握角度度量单位换算：牢记 1=60'，1'=60''，能够完成度、分、秒相互转化，简单角度加减运算。 ⑤ 学会比较角的大小：掌握度量法、叠合法两种比较方式，能用符号写出角大小关系。 ⑥ 理解角平分线概念：能够用几何语言描述角平分线，根据平分线写出相等角、倍数关系式，进行基础角度计算。 ⑦ 理解角的和与差：能在图形中识别角的和、差关系，借助图形列式求解角度。 ⑧ 初识余角、补角概念：掌握互余、互补定义；记住同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等。 ⑨ 梳理高频易错点：角的表示书写不规范；混淆平角与直线、周角与射线；度分秒换算进位退位出错；看图计算角度漏看多种情况；规范几何语言书写，搭建平面几何推理基础。 预习必备 知识梳理 1.角的两种定义 2.角的四种表示方法 3.角的度量与单位换算 4.角的大小比较 5.角的和、差 6.角平分线 7.作一个角等于已知角 8.余角与补角 9.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.角的单位与角度制 5.角度的四则运算 6.角的度数大小比较 7.钟面角 8.方向角的表示 9.与方向角有关的计算题 10.几何图形中角度计算问题 11.三角板中角度计算问题 12.角平分线的有关计算 13.角n等分线的有关计算 14.求一个角的余角 15.求一个角的补角 16.与余角.补角有关的计算 17.同等角的余补角相等的应用 强化题型 解答题6题 一、角的两种定义 1.静态定义（课本基础定义） 由具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2.动态定义 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置射线：始边 终止位置射线：终边 👉拓展概念（预习了解） 平角：射线旋转半周，始边与终边成一条直线；平角=180 周角：射线旋转一周，始边与终边重合；周角=360 ⚠️易错：平角不是直线，周角不是射线。角必须有顶点和两条边。 知识点02：角的四种表示方法（必考，规范书写） 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另外两个字母不分顺序。 如图（1）中的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC。 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母；当两个或两个以上的角共用同一个顶点时，不能用这种方法表示其中任意一个角。如图 (2) 中的∠EBC也可以表示为∠B，∠ADC也可以表示为 ∠D，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示。 3.用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边标注数字。如图（2）中的∠EAF也可以表示为∠1，∠ECD （∠FCD）也可以表示为∠2。 4.用一个小写希腊字母等来表示 这种方法和用数字表示角的方法类似，同样需要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母。如图（3）中的∠AOB也可以表示为∠。 知识点03：角的度量与单位换算 度量工具：量角器 角度单位：度、分、秒，符号：、'、'' 进率是 60（60 进制！重点，区别十进制） 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 换算两类题型： ①度 ⇨ 度分秒（乘 60） ②度分秒 ⇨ 度（除以 60） 特殊角大小 直角：90；平角：180；周角：360 知识点04：角的大小比较（和线段比较对应学习） 1.度量法：用量角器测出角度数值，直接比较大小 2.叠合法： ①顶点重合； ②一条边重合； ③另外一条边落在重合边同侧，根据另一边位置判断大小。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 ⚠️重要结论：角的大小只和两边张开幅度有关，和边的长短无关（射线无限长）。 知识点05：角的和、差 在同一个顶点处，射线将大角分成若干小角。 如图，射线OC在∠AOB内部： 几何答题规范：书写角度等式，不要省略角符号∠。 知识点06：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如图所示，OC 是∠AOB的角平分线， ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC， ∠AOC= ∠BOC =∠AOB。 知识点07：尺规作图：作一个角等于已知角 知识点08：余角与补角 1.余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 2.同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 3.余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 知识点09：高频易错汇总表 错误说法 正确解读 一条直线就是平角 平角有顶点，直线没有顶点，二者不相等 射线就是周角 周角存在两条重合的边和顶点，射线不是角 ∠O随便使用 顶点处多个角时，禁止只用单个字母表示角 角的边越长，角越大 角大小只和张开程度有关，与边长无关 ∠AOC= ∠COB，OC 一定是角平分线 缺少 “OC 在角内部” 条件，结论不成立 角度换算当成十进制 度分秒是 60 进制，不是 10 进制 题型1.角的概念理解 【典例】阅读下列信息， 坪山区秉持“创新坪山，未来之城”的发展理念，致力于实现经济、生态和人文的和谐共进．2023年，坪山区GDP超1329亿元，同比增长，成为全市增速最快的区域．此外，坪山河生态治理项目成功入选广东2024年优秀案例，河中有马口鱼、中华鳑鲏等多种鱼类栖息．同时，坪山区现有地铁14号线、16号线，在建地铁19号线，交通方便商场配套齐全，还打造了坪山美术馆、坪山大剧院等多个文化场馆，形成了一个集艺术与文化于一体的坪山文化聚落． 深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如图．此时“三折叠”手机的打开角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握量角器的读数方法．根据量角器的读数即可得出手机的打开角度． 【详解】解：∵量角器的读数为， ∴“三折叠”手机的打开角度是． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，下列说法中，错误的是（   ） A．与是同一个角 B．与是同一个角 C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，，…）表示，或用阿拉伯数字（，，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、与是同一个角，故选项不符合题意； B、与是同一个角，故选项不符合题意； C、不可用来表示，故选项符合题意； D、图中共有三个角：，，，故选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．平角是一条直线 B．在同一平面内，，，则 C．两条射线组成的图形叫做角 D．互补且相等的两个角都是直角 【答案】D 【分析】本题考查角的相关概念，包括平角、角的计算、角的定义以及互补角，需根据定义逐一判断． 【详解】解：∵平角是由两条射线有公共端点且方向相反形成的角，度数为，但不是一条直线，∴ A错误； ∵在同一平面内，，，则可能为或，取决于射线在的内部还是外部，∴B错误； ∵角是由有公共端点的两条射线组成的图形，选项C缺少“有公共端点”的条件，∴ C错误； ∵ 两个角互补且相等，设每个角为x，则，解得，即每个角都是直角，∴ D正确． 故选D． 题型2.角的表示方法 【典例】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； C、不存在，和表示不同的角，故不符合题意； D、、和表示同一个角，故符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．图中共有三个角：，， D．也可用来表示 【答案】D 【详解】解：由角的表示方法知，选项A、B、C中表示角的方法正确，选项D表示角的方法错误． 【点睛】用大写字母表示角时，特别注意的是：当共顶点的角不止一个时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，应该用三个大写字母表示，且表示角的顶点的字母写中间． 【跟踪专练2】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 题型3.角的分类 【典例】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的定义，以及周角、平角的度数，通过计算各选项的角度，结合钝角定义判断． 【详解】解：A、周角，计算得：，是直角，不符合题意； B、平角，计算得：，是钝角，符合题意； C、平角，计算得：，是直角，不符合题意； D、平角，计算得：，是锐角，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了钝角的定义以及周角、平角的度数，解题关键是掌握钝角的范围，并能结合周角、平角的度数准确计算角度． 【跟踪专练1】下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 【跟踪专练2】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义，根据钝角的定义（大于且小于），分别计算各角的度数或分析其范围，判断是否一定是钝角，即可解题． 【详解】解：周角为，①周角为，是锐角； 平角为，②平角为，是钝角； 直角为，③直角为，是钝角； ④两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，不一定是钝角． 故一定是钝角的有②③． 故答案为：②③． 题型4.角的单位与角度制 【典例】将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的换算．将角度的小数部分转换为分，使用进行换算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故， 故选：B． 【跟踪专练1】计算： （1）_______度_______分_______秒． （2）_______或_______′． （3）_______或_______″． 【答案】 57 10 48 0.1 6 0.2 720 【分析】（1）根据，进行计算即可． （2）根据，进行计算即可． （3）根据，进行计算即可． 本题考查了度分秒之间的转化，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：（1） ， 故答案为：57，10，48； （2）， 或， 故答案为：0.1，6； （3）， 或， 故答案为：0.2，720． 【跟踪专练2】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位换算是解答本题的关键． 把化为，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型5.角度的四则运算 【典例】已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可． 【详解】解：当射线在内部时，   ； 当射线在外部时，   ． 的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论． 题型6.角的度数大小比较 【典例】已知：，，，下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度单位的换算及大小比较．需将不同单位的角度统一为以度为单位的数，再进行比较． 将三个角统一转换为度后比较大小． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 即． 故选：C． 【跟踪专练1】比较大小：，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 【答案】D 【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案． 【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25° 0.25°＝0.25×60′＝15′， ∴∠C＝30°15′， ∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″， ∴∠A＞∠B＞∠C 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解． 题型7.钟面角 【典例】钟表上的时间指示为八点半，此时时针与分针所成的角（小于平角）的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据钟表一圈的总度数计算每个大格的角度，再确定八点半时时针与分针间隔的大格数，即可计算出所求夹角度数． 【详解】解：∵钟表为圆周，总度数为，一共分为12个大格， ∴每个大格的度数为， ∵八点半时，分针指向数字6，时针在8和9之间，从12点方向算起，时针走了个大格，分针走了6个大格， ∴时针与分针之间间隔个大格， ∴时针与分针的夹角度数为． 【跟踪专练1】下午6点40分，时钟的分针与时针所夹的角等于_______． 【答案】/40度 【分析】先根据钟面的划分确定时针与分针单位时间转过的角度，再分别计算6点40分时针与分针转过的总角度，计算两个角度的差即可得到所求夹角． 【详解】解：钟面为周角，度数为，被平均分为12个大格， 因此每个大格的度数为. 时针每小时转动1个大格，因此时针每小时转，即每分钟转； 分针每60分钟转一圈，因此分针每分钟转． 6点40分时，时针转过的总度数为， 分针转过的总度数为， 因此分针与时针的夹角为． 【跟踪专练2】在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 题型8.方向角的表示 【典例】如图，点A处的轮船位于航标灯点O的方向是（    ）． A．南偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】根据方位角的定义及表示即可解答． 【详解】解：由图知，点A处的轮船位于航标灯点O的方向是北偏西． 【跟踪专练1】如图，的方向是北偏西方向，平分，则的方向是___方向． 【答案】北偏东 【分析】本题考查方向角、角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解方向角的概念，学会用方向角描述位置． 根据方向角的定义和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：方向是北偏西方向， ， 平分， ， ， ∴的方向是北偏东方向． 故答案为：北偏东． 【跟踪专练2】如图，在处观察时，点在点的北偏西方向上，已知，则点在点的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 【答案】B 【分析】本题考查方位角的概念与表示，角度的计算与换算，掌握方位角的定义是解题关键． 根据点的北偏西方位角，结合的条件，计算出点相对于正北方向的东偏角度，从而确定其北偏东的方位． 【详解】解：如图，在轴正半轴取一点， 点在点的北偏西方向上， ， ， ， 点在点的北偏东方向上． 故选：． 题型9.与方向角有关的计算题 【典例】如图，射线的方向是北偏东，若射线与射线垂直，则射线的方向是（   ） A．北偏西 B．西北方向 C．北偏西 D．西偏北 【答案】A 【分析】根据垂直，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵射线与射线垂直， ∴， ∴， 故射线的方向是北偏西． 【跟踪专练1】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若平分，则的方向是_________． 【答案】北偏东 【分析】根据方位角的定义，求得，由角平分线的定义，求得，最后由方位角的定义得出答案． 【详解】解：∵的方向是北偏东的方向是北偏西， ， 平分， ， ， ， ∴的方向是北偏东． 【跟踪专练2】新情境  石家庄滹沱河的生态修复工程让母亲河重焕新生．如图是东西流向且两岸a，b互相平行的一段滹沱河道，河岸a上有一建筑S，河岸b上的嘉嘉观测到建筑S在他的北偏西方向上，则嘉嘉可能位于（    ） A．点P处 B．点Q处 C．点M处 D．点N处 【答案】D 【分析】利用方向角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据题意得： 若点、为观测点，则在点、的北偏东方向上，不符合题意； 若点、为观测点，则在点、的北偏西方向上，但是点观测的偏西角度远小于，只有点观测符合北偏西的描述， 因此，嘉嘉位于点处． 题型10.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，点在直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据补角计算出的度数，再根据余角即可计算出的度数． 【详解】解：由题意得， ， ∵， ∴ ． 【跟踪专练1】如图，，平分，若过点作射线，使，则的度数为______________．    【答案】或 【分析】由平分，得到，过点作射线，根据射线在内部或外部，分两种情况讨论，即可得出结果． 【详解】解：，平分， ， 的位置分两种情况： ①在内部：   ； ②在外部：   ， 综上，答案为：或． 【跟踪专练2】如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论的个数有①②④共3个． 题型11.三角板中角度计算问题 【典例】将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角板中的角度计算问题．根据图中角的和差关系得求解即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与三角尺角度计算即可判断；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过平角与三角尺角度计算即可判断；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A图中，， 那么； B图中，， ∴； C图中，， ∴； D图中，， ∴， ∴， 故选：D． 题型12.角平分线的有关计算 【典例】如图，是的平分线，是的平分线，如果，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出，，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，直线，相交于点O，平分，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据，设未知数，利用对顶角相等和邻补角定义表示出和，结合角平分线定义表示出，根据列出方程求解，最后计算的度数． 【详解】解：，设，则， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到，于是得到． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 题型13.角n等分线的有关计算 【典例】若射线，是的两条三等分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角等分线的有关计算．射线和是的三等分线，将角均分为三份，每份，是其中一份． 【详解】解： 和是的三等分线，， ， ． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为__________．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 题型14.求一个角的余角 【典例】若，则的余角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的定义及度分的换算，利用余角定义（和为的两个角互为余角），用减去∠A的度数，结合进行计算即可． 【详解】解： ∵互为余角的两个角的和为， 又∵∠A=37°18′， ∴的余角， 故选：A． 【跟踪专练1】如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有_______对． 【答案】11 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与余角有关的计算，根据和为90度的两个角互为余角，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，； 综上：能用图中字母表示出的角中互余的角有11对； 故答案为：11 【跟踪专练2】如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 题型15.求一个角的补角 【典例】．若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查补角的计算，根据补角的定义，即和为的两个角互为补角，进行角度的减法运算即可求解． 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为， 又∵， ∴的补角． 故选：A 【跟踪专练1】若，则的邻补角等于______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解决本题的关键．根据邻补角的定义解决此题． 【详解】解：的邻补角等于 故答案为． 【跟踪专练2】一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据平角的定义判断即可． 【详解】根据平角的定义判定  中，符合题意，   中，不符合题意；   中，不符合题意；   中无法确定两个角的关系，不符合题意； 故选Ａ． 【点睛】本题考查了互补的定义，正确理解定义是解题的关键． 题型16.与余角.补角有关的计算 【典例】已知，与互余，则的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据余角的定义求出的度数，再根据补角的定义计算的补角即可． 【详解】解：∵ ，与互余， ∴ ， ∴ 的补角为 ． 【跟踪专练1】如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【答案】 【分析】根据题意由的度数及求得的度数，结合利用角的和差关系求出，进而得到的度数，计算出的度数，最后根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的补角为． 【跟踪专练2】如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互余的定义求出的度数，结合已知条件得出的度数，最后根据平角的定义计算黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角的大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 库边是一条直线，即平角为 ， 黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为：． 题型17.同等角的余补角相等的应用 【典例】下面是小宇同学推理过程的部分内容，“”处应填的内容是（   ） 如图，已知， （已知）， ．．．．．． A．对顶角相等 B．邻补角互补 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等的应用，解决本题的关键是熟练掌握同角的余角相等的性质 根据，再由同角的余角相等这一性质可得． 【详解】解：如图，已知， （已知）， （同角的余角相等）． 故选：C ． 【跟踪专练1】如图，，则图中三个角的数量关系是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等，根据角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴与互余，该选项正确，不符合题意； 、无法得到，该选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵，， ∴，该选项正确，不符合题意； 故选：． 解答题 1．（1）如图，根据表中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来： 表示方法1 表示方法2 （2）若，求的余角和补角的度数． 【答案】（1）填表如下： 表示方法1 表示方法2 （2）余角的度数为，补角的度数． 【分析】本题考查了角的表示，余角，补角的定义，角度制的换算；角可以用三个大写英文字母来表示，表示顶点的字母必须写在中间，或表示顶点的一个大写英文字母表示，也可以用阿拉伯数字或希腊字母表示；熟悉这些表示角的方法及角度制的换算法则是解题的关键． （1）根据角的表示方法即可求解； （2）根据余角，补角的定义结合角度制的换算即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）， 余角的度数为，补角的度数． 2．如图，，，都是直角，：，是的平分线． (1)图中共有_____个小于平角的角； (2)在图上画出的补角； (3)求的度数． 【答案】(1)； (2)画出的补角如图所示； (3) 【分析】本题考查了角的定义、补角的定义与作图、角平分线的定义、直角的性质以及角的和差计算，关键是结合图形确定射线数量，利用补角定义完成作图，再依托角平分线、直角条件和角的比例关系，通过角的和差逐步推导角度． （1）从顶点出发的射线依次为、、、、、，依此组合出的小于平角的角即可； （2）根据补角的定义，利用平角为，画出的补角即可； （3）由角平分线和为直角求出的度数，结合为直角，利用角的差求出的度数，再根据为直角及的比例关系求出的度数，最后通过与的角的差计算出的度数． 【详解】（1）解：从顶点出发的射线依次为、、、、、，依此组合出的小于平角的角分别为：、、、、、、、、、、、、、、，角的个数为， 故答案为：． （2）解：画出的补角如图所示： （3）解：∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵，，设，则， ∴，解得， ∴． ∴． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键； 根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解： ， ， ， ， ． 4．如图，一艘客轮沿东北方向行驶，在海上处发现灯塔在北偏西方向上，灯塔在南偏东方向上． (1)在图中画出射线； (2)求与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)平分 【分析】本题主要考查的是方向角的概念、角的和差、角平分线的定义等知识点，熟知方向角的描述方法是解题的关键． （1）根据方向角的表示方法画图即可解答； （2）先根据的度数和的度数，由的度数求出的度数，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，根据方向角的概念画出图形，使． （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即平分． 5．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 6．如图1，和都是直角． (1)如果，那么________； (2)找出图1中相等的锐角．如果，它们还会相等吗？请说明理由； (3)在图2中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（请标出你所画的直角，并写出与相等的角） 【答案】(1) (2)；如果，它们还会相等，理由： 图1中． 如果，它们还会相等， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 如果，它们仍相等； (3) 如图，． 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的概念、尺规作图，解题的关键是熟练掌握相关知识点的应用． （1）利用余角的定义可求得，从而可求解； （2）结合图形，利用余角的性质进行分析即可； （3）先用尺规画直角，再利用等角的余角相等进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）以为边画，再以为边画， 由同角的余角相等得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $