第14讲 方程与列方程（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固） 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

本讲义聚焦方程与列方程核心知识点，系统梳理方程的定义（含未知数的等式）、方程的解（使左右两边相等的未知数的值）、列方程（找等量关系）及已知解求参数，构建“定义-解的验证-列方程建模-参数问题拓展”的学习支架，衔接代数式、等式与不等式的区别，为后续方程求解奠定基础。 该资料通过思维导图总览知识体系，知识总结表对比核心概念，分5大考点设计典例与练习。以“列方程解决操场周长问题”培养模型意识，通过代入检验解提升推理意识，创新题结合整数解分析发展抽象能力。课中辅助教师分层教学，课后通过随堂检测与巩固练习帮助学生查漏补缺，强化代数思维。

第14讲 方程与列方程（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解方程的定义 — 能准确判断一个式子是否为方程，区分等式、不等式与代数式。 · 掌握方程的解的概念 — 会检验一个数是否为方程的解，理解解与参数的关系。 · 会利用方程的解求参数 — 能根据已知解代入方程，建立关于参数的方程并求解。 · 能根据实际问题列方程 — 能从文字中提取等量关系，正确设未知数并列出方程。 · 培养代数思维 — 体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，提升建模能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 方程必须同时满足两个条件：① 含有未知数（字母）；② 是等式（用“=”连接）。 注意： 方程一定是等式，但等式不一定是方程（如 2+3=5 不含未知数）。不等式（如 x>3）和代数式（如 2x−1）都不是方程。 📌 典型例题 1（方程的定义） 下列式子是方程的是（　　） A. x−1　　B. 2+1=3　　C. a＞b　　D. x=5 【解析】 A 不是等式，B 不含未知数，C 是不等式，D 既有未知数又是等式，符合方程的定义。 答案：D ☆2. 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验一个数是否为方程的解，只需将该数代入方程，看左右两边是否相等。 注意： 方程的解是“值”，解方程是“过程”。方程的解可能有一个、多个或无解。 📌 典型例题 2（方程的解） x=3 是下列哪个方程的解？（　　） A. 3x−1=2　　B. 2x−3=−x　　C. |x−3|=1　　D. (x−1)²=4 【解析】 将 x=3 逐一代入检验： A：左边=8，右边=2，不相等；B：左边=3，右边=−3，不相等； C：左边=|3−3|=0，右边=1，不相等；D：左边=(3−1)²=4，右边=4，相等。 答案：D ☆3. 列方程 列方程的关键是找到题目中的等量关系。 一般步骤：① 设未知数；② 用含未知数的式子表示相关量；③ 根据等量关系列出方程。 注意： 列方程时要注意单位统一，且等量关系要正确反映题意。 📌 典型例题 3（列方程） 某校长方形的操场周长为 210 m，长与宽之差为 15 m，设宽为 x m，列方程为____________。 【解析】 宽为 x m，则长为 (x+15) m。矩形周长 = 2(长+宽)，所以 2(x + x + 15) = 210。 答案： 2(x + x + 15) = 210 📊 知识总结表 核心概念 定义 注意事项 方程 含有未知数的等式 ① 必须含未知数；② 必须是等式；③ 不等式、代数式不是方程 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值 ① 代入检验是基本方法；② 解可能不唯一；③ 注意无解的情形 列方程 根据等量关系列出含未知数的等式 ① 找准等量关系；② 设未知数要明确；③ 注意单位统一 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】方程的定义（第1−7题） ※方法总结 · 判断依据： 先看是否为“等式”（含“=”），再看是否含有“未知数”（字母）。 · 常见陷阱： 不等式（如 x＞3）、代数式（如 2x−1）、不含未知数的等式（如 2+3=5）都不是方程。 · 速记口诀： “等式含未知，方程才成立；缺一不可少，两者要记牢。” 1．（2024春•同步）含有 　 　 的 　 　 叫做方程． 2．（2026春•沙坪坝区校级期中）下列方程：下面的式子中，是方程的是（　　） A．3.2+1.8＝5 B．x﹣6 C．2x＝1 D．2a+3b 3．（2025秋•邹城市期末）下列式子是方程的是（　　） A．x﹣1 B．2+1＝3 C．a＞b D．x＝5 4．（2025秋•柳州期末）下列各式中，不是方程的是（　　） A．x＝2 B．3x＝2x+5 C．x+y＝0 D．2x﹣3y+1 5．（2025秋•牡丹江期末）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B．3x＞2 C．2x+1＝4 D．﹣2+3＝1 6．（2025秋•揭阳校级月考）下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④2＝0；⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 7．（2024秋•临邑县期末）在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2】方程的解（第8−12题） ※方法总结 · 代入检验法： 将给出的值代入方程左右两边，若相等则为方程的解。 · 解的唯一性： 不同方程的解可能不同，同一方程的解也可能有多个（如 |x|=2 的解为 ±2）。 · 注意： 解方程时移项要变号，去分母要注意每一项都乘。 8．（2024春•九台区校级月考）使方程左、右两边的值 　 　 的未知数的值，叫做方程的解． 9．（2025秋•黔东南州期末）x＝3是下列哪个方程的解（　　） A．3x﹣1＝2 B．2x﹣3＝﹣x C．|x﹣3|＝1 D．（x﹣1）2＝4 10．（2024秋•姑苏区校级期末）下列方程的解是x＝2的方程是（　　） A．4x+8＝0 B．x0 C．x＝2 D．1﹣3x＝5 11．（2025春•威海期末）下列方程中，解为x＝2的为（　　） A．3x＝3+x B．x（x﹣7）＝﹣10 C．（x﹣3）（x﹣1）＝0 D．2x＝10﹣4x 12．（2025秋•泌阳县月考）下列方程的解中，与其他三个不相同的是（　　） A．﹣x+2＝1 B．x﹣1＝0 C． D．2（x+1）＝﹣2x﹣6 【考点3】已知方程的解，求参数（第13−21题） ※方法总结 · 核心思路： “有解就代入”——将方程的解代入原方程，得到关于参数的方程。 · 整体思想： 有时需要整体代入（如 a+b 的值），再求目标代数式的值。 · 无解与无数解： 当参数使方程变为 0·x = 0 时，方程有无数解；当 0·x = b（b≠0）时，方程无解。 13．（2025秋•叙永县校级期末）关于x的方程ax+b+1＝0的一个解是x＝1，则2024﹣a﹣b＝（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 14．（2025秋•丰润区期末）如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（　　） A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣2 15．（2025秋•玉溪期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．2 16．（2025秋•伊犁州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 　 　 ． 17．（2024秋•达日县期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 　 　 ． 18．（2025春•宽城区校级期中）要使关于x方程mx＝m的解为x＝1，则（　　） A．m≠0 B．m可为任何有理数 C．m＞0 D．m＜0 19．（2025秋•大同月考）小明同学在做数学练习册时，不小心把方程3（y﹣5）﹣▲＝y+2中的一个常数弄脏了，在请教同学后，同学告知方程的解是y＝8，请问这个被弄脏的常数▲是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 20．（2025春•两江新区校级月考）如果a、b是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是x＝2，那么3b﹣2a的值是（　　） A．1 B．2 C．16 D．31 21．（2025秋•嵊州市期末）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，1总是它的解，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【考点4】列方程（第22−26题） ※方法总结 · 找等量关系： 通过关键词（“是”、“比”、“等于”、“共”、“差”、“倍”等）确定相等关系。 · 设未知数技巧： 直接设（求什么设什么）或间接设（设中间量），根据题意灵活选择。 · 检验： 列出方程后，检查等量关系是否正确，单位是否统一，未知数是否明确。 22．（2025秋•花都区校级月考）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 　 　 ． 23．（2024秋•厦门校级期中）请你写出一个方程：　 　 ． 24．（2024秋•同步）根据下列条件列出方程： （1）长方形的长是x，宽是长的，长方形的周长是24； （2）小海用25元买了15本练习本，找回1元，设每本练习本的单价为y元； （3）x与2的积减去13所得差的一半为x； （4）蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿．现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有100条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍，设蜘蛛有x只． 25．（2024秋•同步）小海和小华一共有235张邮票，小海的邮票数量是小华的4倍，求小海的邮票数量．请引入未知数，列出方程． 26．（2024秋•陇县期末）小明今年12岁，他爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍？（列方程并估计问题的解） 【考点5】创新及压轴题（第27−30题） · 方法总结：综合运用方程的定义、解的概念、含参讨论、整数解分析等。 · 核心思想：分类讨论、整体代换、整数因式分解（三次方程整数解只可能是常数项的因数）。 27．（2018秋•裕安区期末）有下列结论： ①若a+b+c＝0，则abc≠0； ②若a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b； ③若b＝2a，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x； ④若a+b+c＝1，且a≠0，则x＝1一定是方程ax+b+c＝1的解； 其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 28．解关于x的方程：ax＝b，下列说法正确的是　 　 .（按字母顺序填写所有正确结论的序号，如abc） a．方程的解为x； b．当a≠0，x； c．当a＝0，b＝0时，x为任意值； d．当a＝0，b＝0时，原方程无解； e．当a＝0，b≠0，原方程无解． 29．（2024秋•魏县期末）已知关于x的方程的两个解是； 又已知关于x的方程的两个解是； 又已知关于x的方程的两个解是； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． （1）关于x的方程的两个解是x1＝　 　 和x2＝　 　 ； （2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？ 30．（2008•常德）阅读理解： 若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m＝0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m＝0，移项得：m＝﹣c3﹣pc2﹣qc，即有：m＝c×（﹣c2﹣pc﹣q），由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m＝0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x3+4x2+3x﹣2＝0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2＝0进行验证得：x＝﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，2不是方程的整数解． 解决问题： （1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7＝0的整数解只可能是哪几个整数？ （2）方程x3﹣2x2﹣4x+3＝0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由． 随堂检测 · 精选练习 练习1：方程的定义判断 练习2：方程的定义判断 练习3：方程的解的判断 练习4：已知解求参数 练习5：已知解求参数（整体代入） 练习6：列方程（文字描述） 练习7：列方程（几何图形）练习8：方程定义辨析 练习9：已知解求参数 练习10：方程定义与解 练习11：含参方程的解 练习12：方程解的综合 练习13：列方程（偶数问题） 练习14：列方程（两位数问题） 【练习1】（2024秋•同步）下列说法中正确的是（　　） A．含有未知数的式子叫方程 B．能够成为等式的叫方程 C．方程就是等式，等式就是方程 D．方程就是含有未知数的等式 【练习2】（2026春•唐河县月考）下列各式中，是方程的是（　　） A．2x+3 B．2+3＝5 C．2x+3＞5 D．2x+3＝5 【练习3】（2025秋•贵州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．4 【练习4】（2025秋•杨浦区期末）已知关于x的方程（a+2）（x+5）＝2的解是x＝﹣6，那么a的值是　 　 ． 【练习5】（2025秋•兴庆区校级期末）若x＝3是关于x的一元一次方程ax+b＝4的解，则代数式（3a+b）2+3（3a+b）﹣1的值是　 　 ． 【练习6】（2025秋•重庆月考）若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（　　） A．﹣x+2＝8 B．﹣2x＝8 C．﹣x＝2+8 D．x﹣2＝8 【练习7】（2025秋•同步）有下列式子：①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1x＝x+1；④x+2y＝3，其中方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习8】（2024秋•黄浦区校级期末）关于等式，下列说法正确的是（　　） A．它不是方程 B．未知数的系数是1 C．常数项是 D．它的解是0 【练习9】（2025秋•沭阳县期中）已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2023的值为 　 　 ． 【练习10】（2023秋•绥阳县期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 　 ． 【练习11】（2012春•信宜市校级期中）关于方程（a+1）x＝1，下列结论正确的是（　　） A．方程无解 B．x C．a≠﹣1时方程解为任意实数 D．以上结论都不对 【练习12】（2025春•张店区校级月考）下列结论： ①若x＝1是关于x的方程a+bx+c＝0的一个解，则a+b+c＝0； ②若a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b； ③若b＝2a，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x； ④若﹣a+b+c＝1，且a≠0，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解． 其中结论正确个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【练习13】（2024秋•同步）列方程： （1）x的与20的差等于﹣4； （2）三个连续的偶数，中间一个数为x，它们的和为64． 【练习14】（2022秋•惠阳区月考）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，求这个两位数． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：方程的定义判断 作业2：方程的定义判断 作业3：方程的解的判断 作业4：含参方程的解 作业5：列方程（几何图形） 作业6：列方程（打折问题） 作业7：已知解求参数（覆盖数字）作业8：已知解求参数 作业9：列方程（多种情境） 作业10：列方程（古文趣题） ❤ 复习建议 回归定义，辨析概念： 方程与等式、代数式、不等式的区别是基础，建议用对比表格强化记忆。 代入检验，养成习惯： 求参数或验证解时，坚持“代入原方程”检验，避免计算失误。 画“等量关系”线： 列方程时，先圈出题目中的等量关系关键词（“是”、“比”、“等于”等），再设未知数。 分类整理参数问题： 将“已知解求参数”的题目归类，总结“整体代入”和“特殊值法”的适用场景。 创新题型拓思维： 关注“换元法”和“整数解定理”等拓展内容，提升代数推理能力。 【作业1】（2024秋•南昌县期末）下列式子中，是方程的是（　　） A．2x﹣3 B．2+4＝6 C．x2 D．2x﹣1＝3 【作业2】（2025春•万州区校级月考）下列各式：①5+2＝7；②x＝0；③2a＜3b；④4x+y；⑤x+y+z＝0；⑥x1；⑦1＝3x，其中是方程的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业3】（2024秋•云岩区期末）有一个方程的解为x＝3，则这个方程是（　　） A．3x﹣1＝2 B．2x﹣3＝﹣x C． D．（x﹣1）2＝4 【作业4】（2015秋•锦江区校级期末）对于ax+b＝0（a，b为常数），表述正确的是（　　） A．当a≠0时，方程的解是x B．当a＝0，b≠0时，方程有无数解 C．当a＝0，b＝0，方程无解 D．以上都不正确 【作业5】（2024秋•同步）用86cm的铁丝围成一个宽为20cm的矩形，设矩形长为xcm，则正确的方程是（　　） A．20+x＝86 B．20+2x＝86 C．2（20+x）＝86 D．（20+86）＝x 【作业6】（2021秋•同步）一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 　 　 ． 【作业7】（2025秋•石家庄校级月考）某书中一道方程题：2（x﹣3）﹣Δ＝x+1，Δ处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x＝9，那么Δ处应该是数字　 　 ． 【作业8】（2024秋•海伦市期末）如果方程5x＝﹣3x+k的解为﹣1，则k＝　 　 ． 【作业9】（2024秋•同步）根据下列条件列出方程： （1）一个正方形的边长为xcm，周长为36cm； （2）14减去数x的一半所得的差是6； （3）甲队有28人，乙队有x人，甲队人数比乙队多； （4）爱心志愿队共有50名队员，其中女队员有y人，男队员比女队员多2人． 【作业10】（2024秋•同步）请引入适当的未知数，并列出方程． 我国著名的珠算家程大位的名著《直指算法统宪》有一道数学趣题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几个？” 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 方程与列方程（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解方程的定义 — 能准确判断一个式子是否为方程，区分等式、不等式与代数式。 · 掌握方程的解的概念 — 会检验一个数是否为方程的解，理解解与参数的关系。 · 会利用方程的解求参数 — 能根据已知解代入方程，建立关于参数的方程并求解。 · 能根据实际问题列方程 — 能从文字中提取等量关系，正确设未知数并列出方程。 · 培养代数思维 — 体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，提升建模能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 方程必须同时满足两个条件：① 含有未知数（字母）；② 是等式（用“=”连接）。 注意： 方程一定是等式，但等式不一定是方程（如 2+3=5 不含未知数）。不等式（如 x>3）和代数式（如 2x−1）都不是方程。 📌 典型例题 1（方程的定义） 下列式子是方程的是（　　） A. x−1　　B. 2+1=3　　C. a＞b　　D. x=5 【解析】 A 不是等式，B 不含未知数，C 是不等式，D 既有未知数又是等式，符合方程的定义。 答案：D ☆2. 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验一个数是否为方程的解，只需将该数代入方程，看左右两边是否相等。 注意： 方程的解是“值”，解方程是“过程”。方程的解可能有一个、多个或无解。 📌 典型例题 2（方程的解） x=3 是下列哪个方程的解？（　　） A. 3x−1=2　　B. 2x−3=−x　　C. |x−3|=1　　D. (x−1)²=4 【解析】 将 x=3 逐一代入检验： A：左边=8，右边=2，不相等；B：左边=3，右边=−3，不相等； C：左边=|3−3|=0，右边=1，不相等；D：左边=(3−1)²=4，右边=4，相等。 答案：D ☆3. 列方程 列方程的关键是找到题目中的等量关系。 一般步骤：① 设未知数；② 用含未知数的式子表示相关量；③ 根据等量关系列出方程。 注意： 列方程时要注意单位统一，且等量关系要正确反映题意。 📌 典型例题 3（列方程） 某校长方形的操场周长为 210 m，长与宽之差为 15 m，设宽为 x m，列方程为____________。 【解析】 宽为 x m，则长为 (x+15) m。矩形周长 = 2(长+宽)，所以 2(x + x + 15) = 210。 答案： 2(x + x + 15) = 210 📊 知识总结表 核心概念 定义 注意事项 方程 含有未知数的等式 ① 必须含未知数；② 必须是等式；③ 不等式、代数式不是方程 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值 ① 代入检验是基本方法；② 解可能不唯一；③ 注意无解的情形 列方程 根据等量关系列出含未知数的等式 ① 找准等量关系；② 设未知数要明确；③ 注意单位统一 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】方程的定义（第1−7题） ※方法总结 · 判断依据： 先看是否为“等式”（含“=”），再看是否含有“未知数”（字母）。 · 常见陷阱： 不等式（如 x＞3）、代数式（如 2x−1）、不含未知数的等式（如 2+3=5）都不是方程。 · 速记口诀： “等式含未知，方程才成立；缺一不可少，两者要记牢。” 1．（2024春•同步）含有 　未知数　 的 　等式　 叫做方程． 【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式叫方程）得出答案即可． 【解答】解：含有未知数的等式叫方程， 故答案为：未知数，等式． 【点评】本题考查了方程的定义，能熟记方程的定义是解此题的关键． 2．（2026春•沙坪坝区校级期中）下列方程：下面的式子中，是方程的是（　　） A．3.2+1.8＝5 B．x﹣6 C．2x＝1 D．2a+3b 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可． 【解答】解：A、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意； B、不是等式，故此选项不符合题意； C、是方程，故此选项符合题意； D、不是等式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 3．（2025秋•邹城市期末）下列式子是方程的是（　　） A．x﹣1 B．2+1＝3 C．a＞b D．x＝5 【分析】根据方程的定义进行判断． 【解答】解：A选项不是等式，故不是方程，不符合题意； B选项中不含未知数，故不是方程，不符合题意； C选项是不等式，故不是方程，不符合题意； D选项既有未知数，又是等式，故是方程，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了方程的定义，解题的关键是掌握含有未知数的等式叫方程． 4．（2025秋•柳州期末）下列各式中，不是方程的是（　　） A．x＝2 B．3x＝2x+5 C．x+y＝0 D．2x﹣3y+1 【分析】方程是含有未知数的等式，需同时满足两个条件：含有未知数和是等式，据此可得答案． 【解答】解：选项A、B、C均含有未知数且是等式，符合定义； 选项D含有未知数但不是等式，不符合定义． 故选：D． 【点评】本题考查了方程的定义，掌握方程的定义是关键． 5．（2025秋•牡丹江期末）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B．3x＞2 C．2x+1＝4 D．﹣2+3＝1 【分析】含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【解答】解：A、不是等式，故此选项不符合题意； B、是不等式，故此选项不符合题意； C、是方程，故此选项符合题意； D、不含未知数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 6．（2025秋•揭阳校级月考）下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④2＝0；⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【分析】方程就是含有未知数的等式，据次定义可得出正确答案． 【解答】解：（1）根据方程的定义可得①③④⑥⑦⑧是方程； （2）②2x＞3是不等式，不是方程； （3）⑤3x﹣2不是等式，就不是方程； 故有6个式子是方程． 故选：C． 【点评】本题考查了方程的定义，判断一个式子是方程必须同时具备两点，一是等式，二是含有未知数． 7．（2024秋•临邑县期末）在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】方程是指含有未知数的等式，所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；由此进行判断． 【解答】解：在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程有②③④共有3个． 故选：C． 【点评】此题考查方程的辨识，只有含有未知数的等式才是方程． 【考点2】方程的解（第8−12题） ※方法总结 · 代入检验法： 将给出的值代入方程左右两边，若相等则为方程的解。 · 解的唯一性： 不同方程的解可能不同，同一方程的解也可能有多个（如 |x|=2 的解为 ±2）。 · 注意： 解方程时移项要变号，去分母要注意每一项都乘。 8．（2024春•九台区校级月考）使方程左、右两边的值 　相等　 的未知数的值，叫做方程的解． 【分析】根据方程解的定义直接写出答案即可． 【解答】解：方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解． 故答案为：相等． 【点评】本题考查了方程的解的定义，掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解是关键． 9．（2025秋•黔东南州期末）x＝3是下列哪个方程的解（　　） A．3x﹣1＝2 B．2x﹣3＝﹣x C．|x﹣3|＝1 D．（x﹣1）2＝4 【分析】把x＝3分别代入各选项中的方程，能使方程的左右两边相等，即可得出答案． 【解答】解：A．把x＝3代入方程3x﹣1＝2，左边＝3×3﹣1＝8，右边＝2，左边≠右边，故选项A不符合题意； B．把x＝3代入方程2x﹣3＝﹣x，左边＝2×3﹣3＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，故选项B不符合题意； C．把x＝3代入|x﹣3|＝1，左边＝|3﹣3|＝0，右边＝1，左边≠右边，故选项C不符合题意； D．把x＝3代入方程（x﹣1）2＝4，左边＝（3﹣1）2＝22＝4，右边＝4，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键． 10．（2024秋•姑苏区校级期末）下列方程的解是x＝2的方程是（　　） A．4x+8＝0 B．x0 C．x＝2 D．1﹣3x＝5 【分析】把x＝2代入各方程验证判定即可． 【解答】解：把x＝2代入各方程验证可得出x＝2是方程x0的解． 故选：B． 【点评】本题主要考查了方程的解，解题的关键是把x＝2代入各方程验证． 11．（2025春•威海期末）下列方程中，解为x＝2的为（　　） A．3x＝3+x B．x（x﹣7）＝﹣10 C．（x﹣3）（x﹣1）＝0 D．2x＝10﹣4x 【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，因而可以把x＝2代入下列各式看是否成立． 【解答】解：把x＝2代入x（x﹣7）＝﹣10得：﹣10＝﹣10； 将x＝2代入其他选项均不能满足左边等于右边． 故选：B． 【点评】使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边＝右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解． 12．（2025秋•泌阳县月考）下列方程的解中，与其他三个不相同的是（　　） A．﹣x+2＝1 B．x﹣1＝0 C． D．2（x+1）＝﹣2x﹣6 【分析】解每个方程，得到方程的解，对比即可得出． 【解答】解：A、解方程﹣x+2＝1，得x＝1； B、解方程x﹣1＝0，得x＝1； C、解方程，得x＝1； D、解方程2（x+1）＝﹣2x﹣6，得x＝﹣2； 因此，A、B、C的解相同，都是x＝1，D的解不同，是x＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是正确解出各选项方程的解． 【考点3】已知方程的解，求参数（第13−21题） ※方法总结 · 核心思路： “有解就代入”——将方程的解代入原方程，得到关于参数的方程。 · 整体思想： 有时需要整体代入（如 a+b 的值），再求目标代数式的值。 · 无解与无数解： 当参数使方程变为 0·x = 0 时，方程有无数解；当 0·x = b（b≠0）时，方程无解。 13．（2025秋•叙永县校级期末）关于x的方程ax+b+1＝0的一个解是x＝1，则2024﹣a﹣b＝（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【分析】根据方程的解的定义把x＝1代入ax+b+1＝0中，得到a+b＝﹣1，再将要求的式子变形为2024﹣（a+b），再代入求值即可． 【解答】解：把x＝1代入ax+b+1＝0中，得a+b+1＝0， ∴a+b＝﹣1， ∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣（﹣1）＝2024+1＝2025， 故选：B． 【点评】本题考查了方程的解，代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 14．（2025秋•丰润区期末）如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（　　） A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣2 【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【解答】解：把x＝﹣3代入方程2x+k﹣4＝0， 得：﹣6+k﹣4＝0 解得：k＝10． 故选：B． 【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母k的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 15．（2025秋•玉溪期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．2 【分析】设▲处的数字是a，把x＝2代入方程得2+a＝6，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【解答】解：设▲处的数字是a， 把x＝2代入方程得2+a＝6， 解得a＝4， 即▲处的数字是4． 故选：C． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 16．（2025秋•伊犁州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 　4　 ． 【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字． 【解答】解：把x＝2代入方程，得2+▲＝6， 解得▲＝4． 故答案为：4． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 17．（2024秋•达日县期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 x＝﹣1　 ． 【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可． 【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2， 得3+1＝3a﹣2， 解得a＝2， 故原方程为﹣3x+1＝6﹣2， ﹣3x＝3， 解得x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 18．（2025春•宽城区校级期中）要使关于x方程mx＝m的解为x＝1，则（　　） A．m≠0 B．m可为任何有理数 C．m＞0 D．m＜0 【分析】根据方程解的定义及方程的解为x＝1可判断出m的取值范围． 【解答】解：（1）把x＝1代入方程， 得：m＝m ∴m可为任何有理数 （2）根据方程的定义可知m≠0 综上可知：m≠0 故选：A． 【点评】本题涉及到方程的解及方程的定义属于基础题． 19．（2025秋•大同月考）小明同学在做数学练习册时，不小心把方程3（y﹣5）﹣▲＝y+2中的一个常数弄脏了，在请教同学后，同学告知方程的解是y＝8，请问这个被弄脏的常数▲是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 【分析】将y＝8代入原方程，解出▲即可． 【解答】解：由题意可得：3（8﹣5）﹣▲＝8+2， ∴▲＝﹣1 故选：A． 【点评】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，属于基础题． 20．（2025春•两江新区校级月考）如果a、b是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是x＝2，那么3b﹣2a的值是（　　） A．1 B．2 C．16 D．31 【分析】将方程去分母后并整理，再结合无论k为何值时，它的解总是x＝2，把x＝2代入整理的等式中，从而可得不论k为何值，该等式一定成立，据此求得3b，2a的值后代入原式计算即可． 【解答】解：已知关于x的方程， 去分母得：4（2kx﹣a）＝24+3（x+bk）， 去括号得：8kx﹣4a＝24+3x+3bk， ∵a、b是定值，且无论k为何值时，它的解总是x＝2， ∴16k﹣4a＝24+6+3bk， 整理得：（16﹣3b）k＝4a+30， 那么不论k为何值，该等式一定成立， 则16﹣3b＝0，4a+30＝0， 因此3b＝16，2a＝﹣15， 则3b﹣2a＝16+15＝31， 故选：D． 【点评】本题考查方程的解，代数式求值，熟练掌握方程解的意义是解题的关键． 21．（2025秋•嵊州市期末）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，1总是它的解，则a＝　2　 ，b＝　﹣2　 ． 【分析】将x＝1代入方程，化简后得到关于 k 的方程，由无论 k 为何值方程都成立，可得 k 的系数和常数项均为零，从而求出 a 和 b． 【解答】解：∵关于x的方程，无论k为何值，1总是它的解， ∴将x＝1代入方程 ， 得 ， 2（k+a）＝6﹣（2+bk）， 2k+2a＝4﹣bk， 2k+bk+2a﹣4＝0， （2+b）k+（2a﹣4）＝0， ∵无论k为何值方程都成立， ∴2+b＝0且2a﹣4＝0， 解得：b＝﹣2，a＝2． 故答案为：2；﹣2． 【点评】本题考查了方程的解，掌握解方程的步骤是关键． 【考点4】列方程（第22−26题） ※方法总结 · 找等量关系： 通过关键词（“是”、“比”、“等于”、“共”、“差”、“倍”等）确定相等关系。 · 设未知数技巧： 直接设（求什么设什么）或间接设（设中间量），根据题意灵活选择。 · 检验： 列出方程后，检查等量关系是否正确，单位是否统一，未知数是否明确。 22．（2025秋•花都区校级月考）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 　2（x+x+15）＝210　 ． 【分析】先表示出长，再根据长方形的周长公式列出方程即可． 【解答】解：设宽为xm，则长为（x+15）m， 根据题意得，2（x+x+15）＝210． 故答案为：2（x+x+15）＝210． 【点评】本题考查了一元一次方程，主要利用了长方形的周长公式． 23．（2024秋•厦门校级期中）请你写出一个方程：　2x﹣1＝5（答案不唯一）　 ． 【分析】根据方程的定义求解即可． 【解答】解：方程可以是2x﹣1＝5， 故答案为：2x﹣1＝5（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查方程的定义，方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 24．（2024秋•同步）根据下列条件列出方程： （1）长方形的长是x，宽是长的，长方形的周长是24； （2）小海用25元买了15本练习本，找回1元，设每本练习本的单价为y元； （3）x与2的积减去13所得差的一半为x； （4）蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿．现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有100条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍，设蜘蛛有x只． 【分析】（1）根据长方形的长是x，得长方形的宽是x，根据长方形的周长是24可列出方程； （2）根据“25元买了15本练习本，找回1元”，即可列出方程； （3）根据x与2的积减去13所得差的一半为（2x﹣13），即可列出方程； （4）设蜘蛛有x只，则蜻蜓有2x只，根据它们共有100条腿可列出方程． 【解答】解：（1）∵长方形的长是x，宽是长的， ∴长方形的宽是x， 又∵长方形的周长是24， ∴列出的方程为：2（xx）＝24； （2）由题意得，15y+1＝25； （3）∵x与2的积减去13所得差的一半为（2x﹣13）， 又∵x与2的积减去13所得差的一半为x， ∴列出的方程为：（2x﹣13）x； （4）设蜘蛛有x只，则蜻蜓有2x只， ∵蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿．现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有100条腿， ∴列出的方程为：8x+6×2x＝100． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出相等关系，列出相应的方程． 25．（2024秋•同步）小海和小华一共有235张邮票，小海的邮票数量是小华的4倍，求小海的邮票数量．请引入未知数，列出方程． 【分析】依据题意，设小海的邮票数量为x张，则小华的邮票是x张，进而根据邮票总数即可列方程得解． 【解答】解：由题意，设小海的邮票数量为x张，则小华的邮票是x张， ∴xx＝235． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题时要熟练掌握并能根据题目中相等关系列方程是关键． 26．（2024秋•陇县期末）小明今年12岁，他爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍？（列方程并估计问题的解） 【分析】设x年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍，再根据x年后两人的年龄是2倍关系列出方程即可． 【解答】解：设x年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍， 根据题意得，36+x＝2（12+x）， x＝12． 【点评】本题考查了列一元一次方程，需要注意父子二人的年龄都增加x． 【考点5】创新及压轴题（第27−30题） · 方法总结：综合运用方程的定义、解的概念、含参讨论、整数解分析等。 · 核心思想：分类讨论、整体代换、整数因式分解（三次方程整数解只可能是常数项的因数）。 27．（2018秋•裕安区期末）有下列结论： ①若a+b+c＝0，则abc≠0； ②若a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b； ③若b＝2a，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x； ④若a+b+c＝1，且a≠0，则x＝1一定是方程ax+b+c＝1的解； 其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】各项整理得到结果，即可作出判断． 【解答】解：①错误，当a＝0，b＝1，c＝﹣1时，a+b+c＝0+1﹣1＝0，但是abc＝0； ②正确，方程整理得：（a﹣b）x＝a﹣b， 由方程有唯一解，得到a﹣b≠0，即a≠b，此时解为x＝1； ③错误，由a≠0，b＝2a，方程解得：x2； ④正确，把x＝1，a+b+c＝1代入方程左边得：a+b+c＝1，右边＝1，故若a+b+c＝1，且a≠0，则x＝1一定是方程ax+b+c＝1的解， 故选：C． 【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 28．解关于x的方程：ax＝b，下列说法正确的是bce .（按字母顺序填写所有正确结论的序号，如abc） a．方程的解为x； b．当a≠0，x； c．当a＝0，b＝0时，x为任意值； d．当a＝0，b＝0时，原方程无解； e．当a＝0，b≠0，原方程无解． 【分析】根据方程的解的定义解决此题． 【解答】解：a．根据等式性质，当a≠0，这个方程的解为x，那么a不正确． b．与a同理，那么b正确． c．当a＝0，b＝0时，x为任意值，那么c正确． d．与c同理，那么d不正确． e．当a＝0，b≠0，原方程无解，那么e正确． 综上：正确的有bce． 故答案为：bce． 【点评】本题主要考查方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解决本题的关键． 29．（2024秋•魏县期末）已知关于x的方程的两个解是； 又已知关于x的方程的两个解是； 又已知关于x的方程的两个解是； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． （1）关于x的方程的两个解是x1＝　11　 和x2＝　　 ； （2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？ 【分析】（1）根据上述的结论方程的两个解是，即可猜想得到答案； （2）可以把x﹣1看作一个整体，即方程两边同时减去1，得x﹣111，然后根据猜想得到x﹣1＝11，x﹣1，进一步求得方程的解． 【解答】解：（1）根据猜想的结论，则x1＝11，x2； （2）原方程可以变形为x﹣111， 则x﹣1＝11，x﹣1． 则x1＝12，x2． 【点评】此题要能够根据探索得到的结论进行分析求解，能够运用换元法进行求解，有一定难度． 30．（2008•常德）阅读理解： 若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m＝0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m＝0，移项得：m＝﹣c3﹣pc2﹣qc，即有：m＝c×（﹣c2﹣pc﹣q），由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m＝0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x3+4x2+3x﹣2＝0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2＝0进行验证得：x＝﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，2不是方程的整数解． 解决问题： （1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7＝0的整数解只可能是哪几个整数？ （2）方程x3﹣2x2﹣4x+3＝0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由． 【分析】（1）认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x3+px2+qx+m＝0的整数解只可能是m的因数”，再作答． （2）根据分析（1）得出3的因数后再代入检验可得出答案． 【解答】解：（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，﹣1，7，﹣7这四个数． （2）该方程有整数解． 方程的整数解只可能是3的因数，即1，﹣1，3，﹣3，将它们分别代入方程x3﹣2x2﹣4x+3＝0 进行验证得：x＝3是该方程的整数解． 【点评】本题考查同学们的阅读能力以及自主学习、自我探究的能力，该类型的题是近几年的热点考题． 认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x3+px2+qx+m＝0的整数解只可能是m的因数”是解答问题的基础． 随堂检测 · 精选练习 练习1：方程的定义判断 练习2：方程的定义判断 练习3：方程的解的判断 练习4：已知解求参数 练习5：已知解求参数（整体代入） 练习6：列方程（文字描述） 练习7：列方程（几何图形）练习8：方程定义辨析 练习9：已知解求参数 练习10：方程定义与解 练习11：含参方程的解 练习12：方程解的综合 练习13：列方程（偶数问题） 练习14：列方程（两位数问题） 【练习1】（2024秋•同步）下列说法中正确的是（　　） A．含有未知数的式子叫方程 B．能够成为等式的叫方程 C．方程就是等式，等式就是方程 D．方程就是含有未知数的等式 【分析】根据方程的定义逐项判断即可． 【解答】解：含有未知数的等式叫方程，则A，B不符合题意，D符合题意； 方程是等式，等式不一定是方程，则C不符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查等式的性质，方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【练习2】（2026春•唐河县月考）下列各式中，是方程的是（　　） A．2x+3 B．2+3＝5 C．2x+3＞5 D．2x+3＝5 【分析】根据方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”，逐一判断各选项是否满足“含未知数”且“是等式”这两个条件即可． 【解答】解：A、是代数式，不是等式，不符合方程定义； B、是等式，但不含未知数，不符合方程定义； C、是不等式，不是等式，不符合方程定义； D、既含有未知数x，又是等式，符合方程定义． 故选：D． 【点评】本题考查的是方程的定义：含有未知数的等式叫方程．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 【练习3】（2025秋•贵州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．4 【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字． 【解答】解：由条件可得2+▲＝6， 解得：▲＝4． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【练习4】（2025秋•杨浦区期末）已知关于x的方程（a+2）（x+5）＝2的解是x＝﹣6，那么a的值是　﹣4　 ． 【分析】根据方程解的定义代入计算即可． 【解答】解：把x＝﹣6代入关于x的方程（a+2）（x+5）＝2得， （a+2）×（﹣6+5）＝2， 解得a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查方程的解，理解方程解的定义是正确解答的关键． 【练习5】（2025秋•兴庆区校级期末）若x＝3是关于x的一元一次方程ax+b＝4的解，则代数式（3a+b）2+3（3a+b）﹣1的值是　27　 ． 【分析】利用方程的解得到3a+b的值，再整体代入代数式计算即可． 【解答】解：∵x＝3是关于x的一元一次方程 ax+b＝4的解， ∴3a+b＝4， ∴原式＝42+3×4﹣1＝16+12﹣1＝27． 故答案为：27． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【练习6】（2025秋•重庆月考）若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（　　） A．﹣x+2＝8 B．﹣2x＝8 C．﹣x＝2+8 D．x﹣2＝8 【分析】根据数学语言转化为等式即可得解． 【解答】解：设某数为x，根据题意得，﹣x+2＝8． 故选：A． 【点评】本题考查了方程的定义，主要是对数学语言转化为等式的能力的考查． 【练习7】（2025秋•同步）有下列式子：①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1x＝x+1；④x+2y＝3，其中方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据方程的定义对题目中各小题进行分析，判断其是否是方程． 【解答】解：①2x+3y﹣1中没有“＝”，不是方程； ②1+7＝15﹣8+1中没有未知数，不是方程； ③1x＝x+1是方程； ④x+2y＝3是方程． 故选：B． 【点评】本题主要考查了方程的定义：方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“＝”．可直接列出等式并含有未知数．它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等． 【练习8】（2024秋•黄浦区校级期末）关于等式，下列说法正确的是（　　） A．它不是方程 B．未知数的系数是1 C．常数项是 D．它的解是0 【分析】因此此题可根据一元一次方程的定义及解法可进行排除选项． 【解答】解：方程可变形为，解得：x＝3； ∴未知数的系数为，常数项是，方程的解为x＝3； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义及其解法，熟练掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键． 【练习9】（2025秋•沭阳县期中）已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2023的值为 　2025　 ． 【分析】将x＝1代入3x﹣m＝x+2n，得到m和n的数量关系并代入m+2n+2023计算即可． 【解答】解：将x＝1代入3x﹣m＝x+2n， 得3﹣m＝1+2n， 经整理，得m+2n＝2， 则m+2n+2023 ＝2+2023 ＝2025． 故答案为：2025． 【点评】本题方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【练习10】（2023秋•绥阳县期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 x＝﹣3　 ． 【分析】把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，求出a＝3，得出原方程为6﹣5x＝21，求出方程的解即可． 【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3， ∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21， 解得：a＝3， 即原方程为6﹣5x＝21， 解得x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 【练习11】（2012春•信宜市校级期中）关于方程（a+1）x＝1，下列结论正确的是（　　） A．方程无解 B．x C．a≠﹣1时方程解为任意实数 D．以上结论都不对 【分析】判断该方程是否有解，需要了解方程有解的条件，在此题中即是“a+1≠0”． 【解答】解：该方程是一元一次方程，但其中含有一个未知量“a”，此时就要判断x的系数“a+1”是否为0． 当a+1≠0即a≠﹣1时，方程有实数解，解为：x． 当a+1＝0时，方程无解． 故选：D． 【点评】在方程中存在字母未知量时，需要判断未知量的可能情况． 【练习12】（2025春•张店区校级月考）下列结论： ①若x＝1是关于x的方程a+bx+c＝0的一个解，则a+b+c＝0； ②若a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b； ③若b＝2a，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x； ④若﹣a+b+c＝1，且a≠0，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解． 其中结论正确个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【解答】解：①把x＝1代入a+bx+c＝0得：a+b+c＝0，故结论正确； ②a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解是x＝1，结论正确； ③b＝2a，则2，方程移项，得：ax＝﹣b，则x2，则结论错误； ④把x＝﹣1代入ax+b+c＝﹣a+b+c＝1，方程一定成立，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解，结论正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了方程解的定义，方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键． 【练习13】（2024秋•同步）列方程： （1）x的与20的差等于﹣4； （2）三个连续的偶数，中间一个数为x，它们的和为64． 【分析】（1）根据“x的与20的差等于﹣4”，即可列出关于y的一元一次方程； （2）先表示出三个偶数，再根据“三个连续的偶数，它们的和为64”，即可列出关于x的一元一次方程． 【解答】解：（1）根据题意得：x﹣20＝﹣4； （2）根据题意得：x﹣2+x+x+2＝64． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，找的方法是通过题目中的关键词如：大，小，倍等． 【练习14】（2022秋•惠阳区月考）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，求这个两位数． 【分析】首先设十位数字为x，则个位数字为（x+3），根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为x+（x+3），这个两位数是10x+（x+3），再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的可得方程x+（x+3）＝[10x+（x+3）]，解方程可得x的值，进而得到答案． 【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（x+3），由题意得： x+（x+3）＝[10x+（x+3）]， 解得x＝3， 故十位数字为3，个位数字为6，这个两位数字是36， 答：这个两位数是36． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：方程的定义判断 作业2：方程的定义判断 作业3：方程的解的判断 作业4：含参方程的解 作业5：列方程（几何图形） 作业6：列方程（打折问题） 作业7：已知解求参数（覆盖数字）作业8：已知解求参数 作业9：列方程（多种情境） 作业10：列方程（古文趣题） ❤ 复习建议 回归定义，辨析概念： 方程与等式、代数式、不等式的区别是基础，建议用对比表格强化记忆。 代入检验，养成习惯： 求参数或验证解时，坚持“代入原方程”检验，避免计算失误。 画“等量关系”线： 列方程时，先圈出题目中的等量关系关键词（“是”、“比”、“等于”等），再设未知数。 分类整理参数问题： 将“已知解求参数”的题目归类，总结“整体代入”和“特殊值法”的适用场景。 创新题型拓思维： 关注“换元法”和“整数解定理”等拓展内容，提升代数推理能力。 【作业1】（2024秋•南昌县期末）下列式子中，是方程的是（　　） A．2x﹣3 B．2+4＝6 C．x2 D．2x﹣1＝3 【分析】“含有未知数的等式叫做方程”，据此可得答案． 【解答】解：根据方程的定义可知， A选项不是方程，不符合题意； B选项没有未知数，不是方程，不符合题意； C选项不是方程，不符合题意； D选项是一次方程，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了方程的定义，关键是方程定义的熟练掌握． 【作业2】（2025春•万州区校级月考）下列各式：①5+2＝7；②x＝0；③2a＜3b；④4x+y；⑤x+y+z＝0；⑥x1；⑦1＝3x，其中是方程的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【解答】解：①5+2＝7中没有未知数，不是方程； ②x＝0、⑤x+y+z＝0、⑥x1、⑦1＝3x符合方程的定义； ③2a＜3b、④4x+y都不是等式，不是方程． 故选：C． 【点评】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【作业3】（2024秋•云岩区期末）有一个方程的解为x＝3，则这个方程是（　　） A．3x﹣1＝2 B．2x﹣3＝﹣x C． D．（x﹣1）2＝4 【分析】分别把x＝3代入各个选项中的方程，通过计算判断左右两边是否相等，然后根据方程解的定义逐一进行判断即可． 【解答】解：A．把x＝3代入方程3x﹣1＝2，左边＝8，右边＝2，∵左边≠右边，∴x＝3不是3x﹣1＝2的解，故此选项不符合题意； B．把x＝3代入方程2x﹣3＝﹣x，左边＝3，右边＝﹣3，∵左边≠右边，∴x＝3不是2x﹣3＝﹣x的解，故此选项不符合题意； C．把x＝3代入方程，左边，右边，∵左边≠右边，∴x＝3不是方程，的解，故此选项不符合题意； D．把x＝3代入方程（x﹣1）2＝4，左边＝4，右边＝4，∵左边＝右边，∴x＝3是方程（x﹣1）2＝4的解，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了方程的解，解题关键是熟练掌握方程解的定义． 【作业4】（2015秋•锦江区校级期末）对于ax+b＝0（a，b为常数），表述正确的是（　　） A．当a≠0时，方程的解是x B．当a＝0，b≠0时，方程有无数解 C．当a＝0，b＝0，方程无解 D．以上都不正确 【分析】ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，就不是一元一次方程，当a≠0时，是一元一次方程．分两种情况进行讨论． 【解答】解：A、当a≠0时，方程的解是x，故错误； B、当a＝0，b≠0时，方程无解，故错误； C、当a＝0，b＝0，方程有无数解，故错误； D、以上都不正确． 故选：D． 【点评】此题很简单，解答此题的关键是：正确记忆一元一次方程的一般形式中，一次项系数不等于0． 【作业5】（2024秋•同步）用86cm的铁丝围成一个宽为20cm的矩形，设矩形长为xcm，则正确的方程是（　　） A．20+x＝86 B．20+2x＝86 C．2（20+x）＝86 D．（20+86）＝x 【分析】根据矩形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：设矩形长为xcm， 由题意得2（20+x）＝86， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，要掌握运用矩形的周长计算公式来解题的方法． 【作业6】（2021秋•同步）一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 　0.8x＝88　 ． 【分析】根据打八折后售价等于88元列式即可． 【解答】解：设原价为x元， 根据题意得，0.8x＝88． 故答案为：0.8x＝88． 【点评】本题考查了方程的定义，理解打折的意义是解题的关键． 【作业7】（2025秋•石家庄校级月考）某书中一道方程题：2（x﹣3）﹣Δ＝x+1，Δ处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x＝9，那么Δ处应该是数字　2　 ． 【分析】把方程的解代入方程，进行求解即可． 【解答】解：根据题意，把x＝9代入2（x﹣3）﹣Δ＝x+1， 得，2×（9﹣3）﹣Δ＝9+1， 18﹣6﹣Δ＝9+1， 解得：Δ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了方程的解，掌握解方程的步骤是关键． 【作业8】（2024秋•海伦市期末）如果方程5x＝﹣3x+k的解为﹣1，则k＝　﹣8　 ． 【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．若x＝﹣1是方程的解，把x＝﹣1代入原方程得到一个关于k的方程，就可以求出k的值． 【解答】解：根据题意把x＝﹣1代入方程5x＝﹣3x+k 得：﹣5＝3+k， 解得：k＝﹣8． 故填：﹣8． 【点评】解题的关键是根据方程的解的定义转化为关于k的方程． 【作业9】（2024秋•同步）根据下列条件列出方程： （1）一个正方形的边长为xcm，周长为36cm； （2）14减去数x的一半所得的差是6； （3）甲队有28人，乙队有x人，甲队人数比乙队多； （4）爱心志愿队共有50名队员，其中女队员有y人，男队员比女队员多2人． 【分析】（1）根据正方形的边长为xcm，得周长为4xcm，据此可列出方程； （2）根据14减去数x的一半所得的差是14x，即可列出方程； （3）根据甲队人数比乙队多可列出方程； （4）根据男队员比女队员多2人可列出方程． 【解答】解：（1）∵正方形的边长为xcm， ∴正方形的周长为4xcm， 又∵正方形的周长为36cm， ∴列出的方程为：4x＝36； （2）∵14减去数x的一半所得的差是14x， 又∵14减去数x的一半所得的差是6， ∴14x＝6； （3）∵乙队有x人，甲队人数比乙队多， ∴甲队有（1）x人， 又∵甲队有28人， ∴列出的方程为：（1）x＝28； （4）∵女队员有y人，男队员比女队员多2人， ∴男队员有（y+2）人， 又∵爱心志愿队共有50名队员， ∴列出的方程为：y+2+y＝50． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出相等关系，列出相应的方程． 【作业10】（2024秋•同步）请引入适当的未知数，并列出方程． 我国著名的珠算家程大位的名著《直指算法统宪》有一道数学趣题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几个？” 【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数＝100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程即可． 【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人， 根据题意得：3x（100﹣x）＝100． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据和尚数和馒头数为等量关系列出方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $