26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，系统涵盖定义、一般形式、特殊形式及应用。课堂导入先复习函数定义与一次函数，通过正方形面积、商品利润等实际问题引出二次函数，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，通过抽象概括和数学建模，培养学生的抽象能力与模型意识。例题包含单循环比赛、产量增长等情境，练习分层设计，课堂小结清晰梳理知识，助力学生形成逻辑思维，教师可提升教学效率，学生能增强用函数思想解决问题的意识。

26.1二次函数的概念 第二十六章二次函数 1 1.理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求;能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数; 2.能根据实际问题列出简单的二次函数解析式 经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程、提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本 感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题 的意识. 素养学习目标 1.函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.已经学习的具体函数 复习巩固 （2）正比例函数：y=kx(k≠0) （1）一次函数：y=kx+b(k，b是常数，k≠0) 函数的表示方式有哪些？ 解析式法、图像法、列表法 你能列出下列变量之间的函数关系式吗? 1.正方形的边长为x，面积y与边长x之间的函数关系. y=x2 2.某商品进价为20元，售价为x元，每日销量为(100-x)件，每日利润y与售价x之间的函数关系. y=（x-20）(100-x)=-x2+120x-2000 探索新知 y= x2 y=-x2+120x-2000 观察函数共同： 3.二次项系数不为0，即a≠0. 1.函数解析式是整式； 2.自变量的最高次数是2. 二次函数定义 二次函数是形如 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。这是其基本形式定义。 形式结构 函数表达式明确展示了二次项、一次项和常数项。x 是自变量，y 是因变量，结构清晰固定。 基础与前提 只有严格符合该形式的函数才是二次函数。此定义是后续所有性质、图像和应用学习的根本基础。 二次函数的定义 二次函数定义二次函数是形如 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。这是其基本形式定义。形式结构函数表达式明确展示了二次项、一次项和常数项。x 是自变量，y 是因变量，结构清晰固定。基础与前提只有严格符合该形式的函数才是二次函数。此定义是后续所有性质、图像和应用学习的根本基础。二次函数的定义 二次函数定义 标准形式 二次函数的标准形式为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。 核心特征 函数图像为抛物线，其开口方向与宽度由系数 a 决定。 判别关键 判断是否为二次函数，首要条件是最高次项为二次。 系数限定条件 系数a非零 a ≠ 0 是根本条件，它决定了函数的二次项存在。 系数b可为零 b 可以为 0，此时函数形式为 y = ax² + c。 系数c可为零 c 可以为 0，此时函数图像经过坐标原点。 二次函数的关键限定 二次函数定义标准形式二次函数的标准形式为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。核心特征函数图像为抛物线，其开口方向与宽度由系数 a 决定。判别关键判断是否为二次函数，首要条件是最高次项为二次。系数限定条件系数a非零a ≠ 0 是根本条件，它决定了函数的二次项存在。系数b可为零b 可以为 0，此时函数形式为 y = ax² + c。系数c可为零c 可以为 0，此时函数图像经过坐标原点。二次函数的关键限定 例1（单循环问题） （教材问题1）：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 解：m= n(n-1) m= n2- n 典型例题 例2（教材问题2）：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示? 解：由题知： y=20(1+x)2 y=20x2+40x+20 例3 （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 解：S=2πr2+2πr·r 即 S=4πr2. r r 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和. （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式. 解：y = 8(1－x)2 即y = 8x2 － 16x+8. 1.最简二次函数 2.缺常数项 3.缺一次项 当b=0且c=0时，形式为y=ax²，是最简形式。 当c=0时，形式为y=ax²+bx，函数图像过原点。 当b=0时，形式为y=ax²+c，图像关于y轴对称。 二次函数的特殊形式 最简二次函数缺常数项缺一次项当b=0且c=0时，形式为y=ax²，是最简形式。当c=0时，形式为y=ax²+bx，函数图像过原点。当b=0时，形式为y=ax²+c，图像关于y轴对称。当b和c均为零时，函数简化为y=ax²。其图像顶点恒在原点，对称轴为y轴，是研究二次函数图像平移和缩放的基础模型。最简形式特征缺少常数项或一次项的特殊形式在实际问题中很常见，例如抛体运动、面积最值问题，掌握它们能简化计算并快速分析函数性质。缺项形式应用了解这些特殊形式有助于识别问题本质，在解题时可根据条件选择合适模型，从而更高效地建立方程、分析图像和求解结果。灵活处理问题二次函数的特殊形式 课堂练习 1.下列函数: ①y=2x-1;②y=-2x²-1;③y=-2x²+3x³;④ y=2x2−x−1;⑤y=ax²+ bx+c.其中，二次函数的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 2.若二次函数 y=2x2−ax+2a−1的图象经过点(-1，4)，则a的值为__________. a=1 3.已知函数 𝑦=（𝑎−2）𝑥2−2𝑥+1是二次函数，则a的取值范围是 ( ) A. a≠2 B. a≤3 C. a<2 D. a>2 A 4.判断下列函数中，哪些是二次函数?若是二次函数，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=2(x-1)2+8 (2)y= (3)y=-9-5x2 （1）解:是.∵ y=2x²-4x+10 ∴二次项系数为：2,一次项系数：-4,常数项：10 （2）解：不是.∵ （3）解：是.∴二次项系数：-5,一次项系数：0, 常数项：-9 =-5x2-9 不是整式 5. (1)已知函数y=(m-3)x2-8x+15是二次函数，求m的取值范围. 解：∵m-3≠0， ∴m≠3. (2)已知函数y=-3xm-1+2x-8是二次函数，求m的值. 解：∵m-1=2， ∴m=3. 6.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)y=8x²-16x+8; (2) y=x²; (3) y=-x2+5x; (4)y=2(x-1)²-5. 教材P31练习 第1题 解（1）二次项系数:8一次项系数:-16常数项:8 （2）二次项系数:1一次项系数:0常数项:0 （3）二次项系数: 一次项系数:5 常数项:0 （4）∵y=2(x-1)²-5=2x2-4x-3 二次项系数:2一次项系数:-4常数项:-3 - 7.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为y m2. 写出y关于x的函数解析式. 教材P31练习 第2题 解：由题知y = (30+x)(20+x) 化简得y= x2+50x+600. 当堂检测 1.下列函数是二次函数的是( ) A. y= B. y=x2+1 C. y=2x+1 D. y=x3 2.如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型下列函数图像是抛物线的是( ) A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数 3. 已知 y=m−3x∣m−1∣(m为常数)是二次函数，那么m的值是( ) A. 3或-1 B. - 1 C. - 3 D. 3 B A D 4.已知二次函数. y=−x−3−6x2,则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是( ) A. a=-1, b=-3, c=6 B. a=-1, b=3, c=6 C. a=-6, b=-1, c=3 D. a=-6, b=-1, c=-3 5. 把y=(3-3x)(6+x)变成一般式,它的常数项为__________ . D 18 课堂小结 (a≠0，a,b,c是常数). 二次函数 1.定义右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a≠0. 2.一般形式y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数) 3.特殊形式y=ax2 ，y=ax2+bx，y=ax2+c 1. 某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x，写出三月份的销售额y（单位：万元）关于x的函数解析式. 解：二月份的销售额为50(1+x)万元， 三月份的销售额为50(1+ x)(1+ x)万元， 所以y =50(1+ x)2 ， 即y =50x2 +100x +50. 基础层 从教材习题26.1中选取； 课后分层作业 2. 设人民币一年期定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存. 如果本金是30000元，写出两年后的本息之和 y（单位：元）关于年利率x的函数解析式. 解：一年后的本息之和为30000(1+x)元， 两年后的本息之和为30000(1+x)(1+x)元， 所以 y=30000(1+ x)2 ， 即 y=30000x2+ 60000x+30000. 3. 如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为5cm的边框.已知镜面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元，求这面镜子的价格y（单位：元）关于镜子半径x（单位：m）的函数解析式. 解：∵5cm=0.05m，这面镜子的价格等于镜面的价格与边框价格的和。 镜面的价格为π(x – 0.05)2 ·180元， 边框的价格为 π［x2 –(x – 0.05)2 ］·100， ∴ y = π(x – 0.05)2 ·180 + π·［x2 –(x – 0.05)2 ］· 100， 即y = 180πx2–8πx + 0.2π. 提升层 4. 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下， 速度每秒增加1.5 m/s. 写出钢球滚动的距离 l (单位： m)关于滚动的时间 t (单位：s)的函数解析式. (提示：本题中，距离=平均速度 ×时间 t， = ，其中，v0是开始时的速度，vt是 t s时的速度.) (2)如果斜面的长是3 m，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间? 拓展层 解：（1）由题意，得v0=0，vt=1.5t m/s， 所以 = =0.75 t （ m/s）， 所以 l = t =0.75t2 . （2）当l =3时，0.75t2 =3， 解得 t1=2，t2= -2（舍去）. 所以钢球从斜面顶端滚到底端要用2 s. $