30.3正多边形与圆+课件+2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“正多边形与圆”，涵盖正多边形定义、对称性、有关概念及计算等核心知识点。课堂导入通过复习圆的位置关系、正多边形定义及举例，衔接旧知，以问题链搭建学习支架，引导学生探究正多边形与圆的内在联系。 其亮点在于以探究活动驱动，通过将圆n等分证明正多边形的形成培养数学眼光，结合表格总结内角、中心角等关系发展数学语言，例题（如亭子地基计算）提升推理与应用能力。帮助学生理解知识本质，教师可高效开展教学。

30.3 正多边形与圆 人教版 九年级 数学（上） 第30章 直线与圆的位置关系 新课导入 前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？ 谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？ 正多边形和圆有什么关系呢？ 2 问题1 什么叫作正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等； 注意 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 正多边形的对称性 知识点 1 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 探究新知 5 观察下列图形它们有什么特点？ 探究新知 问题1：将一个圆分为五等份，依次连结各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论． 解：∵＝＝＝＝，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA. ∵＝＝3，∴∠C＝∠D. 同理可证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E， ∴五边形ABCDE是正五边形． ∵A，B，C，D，E在⊙O上， ∴五边形ABCDE是圆内接正五边形. 探究新知 7 问题2 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？ 这个n边形一定是正n边形. 问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？ 各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形. 探究新知 问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点? 都是各边相等，各内角相等的多边形 问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗? 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形. 归纳 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ O A B C D 问题1 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？ E F G H EF是边AB,CD的垂直平分线，∴OA=OB,OD=OC. GH是边AD,BC的垂直平分线， ∴OA=OD,OB=OC. ∴OA=OB=OC=OD. ∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆. 正多边形的有关概念 知识点 2 O A B C D E F G H AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG. ∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆. 探究新知 13 （1）正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心. （2）正多边形的半径:外接圆的半径。 （3）正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角. （4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离. 2.正多边形的有关概念 探究新知 14 3.正多边形和圆有关的计算问题 问题1： (1)正多边形的中心角怎么计算？ (2)边长a，半径R，边心距r有什么关系？ 正n边形的中心角等于360°÷n 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？ 思考 图形 名称 边的关系 角的关系 …… …… …… …… 四条边相等 三个角相等(60°) 三条边相等 四个角相等( 90°) 六条边相等 五个角相等(108°) 五条边相等 六个角相等(120°) 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形 正多边形及有关概念 16 1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上? 3.所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？ 一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫作这个正多边形的外接圆. 多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆. 想一想 O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心. 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于 . 18 探究新知 19 问题2： 如何把一个圆进行n等分呢？ 结论：把中心角n等分，则弧被n等分，即可得到正多边形． (3)正多边形的面积如何计算？ 探究新知 20 4.画正多边形 画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式： （2）用尺规等分圆 （1）用量角器等分圆周. 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形. 正多边形的概念： 矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ 矩形 不符合各边相等 菱形 不符合各角相等 正方形 是正多边形 练一练 22 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 正多边形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60 ° 120 ° 120 ° 90 ° 90 ° 90 ° 120 ° 60 ° 60 ° 正多边形的外角=中心角 完成下面的表格： 练一练 23 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF： ①它的中心角等于 度 ； ② OC BC (填＞，＜或＝）； ③△OBC是 三角形； ④圆内接正六边形的面积是 △OBC面积的 倍. ⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________. C D O B E F A P 60 = 等边 6 正多边形的有关计算 知识点 3 24 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 你还能找出哪些正多边形呢？ 注意 3条 4条 5条 6条 正多边形都是 图形，一个正n边形共有___条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 . 边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心. 轴对称 n 中心 中心对称图形 有没有对称轴？ 想一想 例 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2). C D O E F A P 抽象成 正多边形的有关计算 素养考点 B 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积： 在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝ 4m O A B C D E M r 解：过点O作OM⊥BC于M. F 28 例题讲解 29 例2　 已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 你知道正多边形与圆的关系吗？ 把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？ 弧相等 弦相等 圆周角相等 （多边形的边相等） （多边形的角相等） 多边形是正多边形 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？ 将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形. 外接圆的圆心 外接圆的半径 正多边形的每一条边所对的圆心角 弦心距 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形的边心距 课堂小结 32 1.正多边形和圆有怎样的关系吗？ 2.你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？ 3.你能画出正多边形吗？ 正多边形 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形与圆 中心角 内角 外角 周长 面积 正多边形的定义 正多边形的 性质 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.所有正多边形都是轴对称图形，边数为偶数时，它既是轴对称图形又是中心对称图形 $