30.3 正多边形与圆 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正多边形与圆，涵盖定义、对称性、中心/半径/边心距等概念及相关计算，通过问题导入（如矩形是否为正多边形）衔接内切圆等前序知识，以表格对比内角/中心角/外角、方法归纳（连半径作边心距）搭建学习支架。 其亮点在于结合苯分子结构、喷水龙头等现实案例，通过问题链引导学生用数学眼光观察空间形式，借助公式推导和几何证明培养推理能力，以思维导图总结知识体系。学生能提升应用意识，教师可高效开展概念教学与解题训练。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 30.3 正多边形与圆 第30章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 内切圆与内心的定义 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心。 内心本质：三角形三条角平分线的交点。 2. 内心三大核心性质（必考） 1. 内心到三角形三边的距离相等，距离长度即为内切圆半径$$r$$； 2. 内心一定在三角形内部（任意三角形内心均在内部，无例外）； 3. 内心与顶点的连线平分对应内角。 3. 三角形内切圆半径公式（计算大题核心） （1）通用公式（任意三角形） $$\boldsymbol{r=\dfrac{2S}{C}}$$ $$S$$：三角形面积；$$C$$：三角形周长。 （2）直角三角形专属速算公式（超级高频） 在$$Rt\triangle ABC$$中，直角边为$$a、b$$，斜边为$$c$$： $$\boldsymbol{r=\dfrac{a+b-c}{2}}$$ 该公式无需算面积，直接口算求值，考试提速神器。 4. 三角形外心 vs 内心（必考辨析） 对比项目 外心（外接圆圆心） 内心（内切圆圆心） 交点来源 三边垂直平分线交点 三个内角平分线交点 距离性质 到三个顶点距离相等（等于外接圆半径） 到三条边距离相等（等于内切圆半径） 位置特点 锐角内、直角斜边中点、钝角外 始终在三角形内部 5. 特殊结论 1. 等边三角形：外心、内心、重心、垂心四心重合； 2. 一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 三角形的内心是三角形（）的交点 A. 三条高 B. 三条角平分线 C. 三条中线 D. 三边垂直平分线 2. 下列关于内心说法正确的是（） A. 内心可能在三角形外部 B. 内心到三顶点距离相等 C. 内心到三边距离相等 D. 直角三角形内心在斜边中点 3. Rt△ABC中，直角边3、4，斜边5，则内切圆半径为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （二）填空题 4. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，圆心叫做________。 5. 三角形内心是三条________的交点，到三角形________距离相等。 6. 直角三角形两直角边为6、8，斜边10，内切圆半径$$r=$$________。 （三）解答题 7. 已知△ABC的周长为24，面积为24，求△ABC内切圆的半径。 8. 在Rt△ABC中，$$\angle C=90^\circ$$，$$AC=5$$，$$BC=12$$，求该三角形内切圆半径。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：内心：三条角平分线交点；外心：垂直平分线交点；重心：中线交点；垂心：高的交点。 2. 答案：C 解析：内心永远在三角形内部，到三边距离相等；到顶点距离相等的是外心。 3. 答案：A 解析：直角三角形内切圆半径$$r=\dfrac{3+4-5}{2}=1$$。 4. 答案：内切圆；内心 5. 答案：角平分线；三边 6. 答案：2 解析：$$r=\dfrac{6+8-10}{2}=2$$。 7. 解析： 由三角形内切圆通用公式 $$r=\dfrac{2S}{C}$$， 代入 $$S=24，C=24$$， $$r=\dfrac{2\times24}{24}=2$$。 答：内切圆半径为2。 8. 解析： 先由勾股定理求斜边：$$AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$$， 直角三角形内切圆半径公式： $$r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{5+12-13}{2}=2$$。 答：内切圆半径为2。 四、高频易错总结 1. 四心混淆：最易混淆内心、外心，牢记内心对角平分线、对边；外心对垂直平分线、对顶点； 2. 公式乱用：普通三角形不能用直角三角形专属半径公式，考场严禁混用； 3. 位置记错：外心可在内外、边上，内心一定在三角形内部； 4. 概念混淆：外接圆对应顶点，内切圆对应边长，审题不清极易答反； 5. 公式遗忘：通用公式$$r=\dfrac{2S}{C}$$是压轴求半径核心，必须熟练背诵变形。 了解正多边形与圆的有关概念. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 会运用正多边形与圆的有关知识解决实际问题. 问题1 什么叫作正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等； 注意 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 正多边形的对称性 知识点 1 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形. 归纳 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ O A B C D 问题1 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？ E F G H EF是边AB,CD的垂直平分线，∴OA=OB,OD=OC. GH是边AD,BC的垂直平分线， ∴OA=OD,OB=OC. ∴OA=OB=OC=OD. ∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆. 正多边形的有关概念 知识点 2 O A B C D E F G H AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG. ∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆. 1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上? 3.所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？ 一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫作这个正多边形的外接圆. 多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆. 想一想 O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心. 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于 . 9 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 正多边形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60 ° 120 ° 120 ° 90 ° 90 ° 90 ° 120 ° 60 ° 60 ° 正多边形的外角=中心角 完成下面的表格： 练一练 10 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF： ①它的中心角等于 度 ； ② OC BC (填＞，＜或＝）； ③△OBC是 三角形； ④圆内接正六边形的面积是 △OBC面积的 倍. ⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________. C D O B E F A P 60 = 等边 6 正多边形的有关计算 知识点 3 11 例 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2). C D O E F A P 抽象成 正多边形的有关计算 素养考点 B 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积： 在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝ 4m O A B C D E M r 解：过点O作OM⊥BC于M. F 13 2.作边心距，构造直角三角形. 1.连半径，得中心角. O A B C D E F R M r · 方法归纳 ：圆内接正多边形的辅助线 O 边心距r 边长一半 半径R C M 中心角一半 知识点1 正多边形的概念 1. 下列叙述中，正确的有( ) ①正多边形和圆既是轴对称图形又是中心对称图形； ②各边相等的多边形各角也相等； ③正多边形的中心与其内切圆圆心重合； ④正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等. B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 15 ①正多边形“各边相等”和“各角相等”两个条件相互 独立，不能相互推出.②正 边形的每一个内角都等于 ，每一个中心角和外角都等于 . 中考考法 16 知识点2 正多边形的画法 2. 如图,按要求画出 的内接正多边形. 【解】如图所示. 中考考法 17 知识点3 正多边形和圆的有关计算 3. 苯分子的环状结 构是由德国化学家凯库勒提出 的，随着研究的不断深入，发 现苯分子中的6个碳原子与6个 氢原子均在同一平面，且所有 B A. B. C. D. 碳碳键的键长都相等（如图①），组成了一个完美的六边形 （正六边形），图②是其平面示意图，则 的度数为( ) 中考考法 18 4. 已知，正六边形的面积为 ，则正六边形的边 长为( ) C A. 1 B. C. 2 D. 4 中考考法 19 5.[2025上海] 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点， 且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边， 那么这个角的大小是___________. 或 中考考法 20 【点拨】如图，当角的顶点在圆上时，如 交 的两边，截取的两条弦为 ,，此时 恰好是正五边形的一 个内角， ； 当角的顶点在圆的外部，即交 的两边，截取的两 条弦为,时，则 ， . .综上，这个角的大小是 或 . 中考考法 21 6.[2026盐城期末] 如图，正方形 内接 于，为弧的中点，连接, ， ， . （1）求证： ； 【证明】 四边形 是正方形， . 为的中点， . . . 中考考法 22 （2）求 的度数. 中考考法 23 【解】连接, ，如图. 四边形 是正方形， . 为弧 的中点， . . 中考考法 24 7. 要在边长为 的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草 坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是( ) B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 中考考法 25 （第8题） 8. 如图，电子屏幕上有边长为1的正六边形 ，红色光点和蓝色光点会按规则在 六个顶点上闪亮.规则为：红点按顺时针方 向每秒1个顶点依次闪亮（例如，经过1秒由 点亮变为点 亮），蓝点按逆时针方向每 C A. 0 B. 1 C. D. 2 秒隔1个顶点闪亮（例如，经过1秒由点亮变为点 亮），若 一开始，红点在处，蓝点在 处同时开始闪亮，则经过751 秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是( ) 中考考法 26 【点拨】 红点每6秒闪亮的顶点会转动1周， 而 ， 经过751秒后，红点闪到了点 处. 蓝点每3秒闪亮的顶点会转动1周，而 ， 经过751秒后，蓝点闪到了点 处. （第8题） 中考考法 27 连接，过点作于点 ，如图. 六边形 是正六边形， , , . ， . . ， 即经过751秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是 . 中考考法 28 思路支架 中考考法 （第9题） 9. [2026南京期末] 如图，圆心 恰好为 正六边形的中心，已知 , 的半径为，现将 在正六边形内 部沿某一方向平移，当它与正六边形 的某条边相切时停止平移，设此 时平移的距离为，则 的取值范围是________________. 中考考法 30 【点拨】如图，连接，， 圆心 恰好为正六边形 的中心， 是等边三角形， . 过作于,当平移到，和 相切于点 时，平移距离最短，易得 ， . . 此时平移 中考考法 31 的距离；当 平移 到，和，分别相切于点 ， 时，平移距离最长，连接 ， . 易得 ， . ， 中考考法 （负值已舍去） 此时平移的距离 .综上所述， 的取值范围 是 . 中考考法 正多边形 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形与圆 中心角 内角 外角 周长 面积 正多边形的定义 正多边形的 性质 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.所有正多边形都是轴对称图形，边数为偶数时，它既是轴对称图形又是中心对称图形 $