2.2 配方法（解二次项系数不为1的一元二次方程） 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册第二章“配方法”同步练，以“基础操作-技巧深化-综合应用”分层递进，覆盖解法步骤、错误辨析至代数式求值，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础操作|解法步骤、配方技巧|含四川南充等多地阶段检测题，聚焦化1与配方常数计算| |技巧深化|错误辨析、完全平方式识别|设安徽池州等期末错题辨析，强化符号运算与结构认知| |综合应用|代数式求值、拓展问题|结合新定义与几何情境（如辽宁沈阳期末面积最值题），发展应用意识|

2026－2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 第2课时 配方法（解二次项系数不为1的一元二次方程） ▌课时目标 1. 掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法解题步骤，能熟练将方程化为(x＋m)²＝n的形式并求解，体会“化归”思想在解方程中的应用。 2. 理解配方过程中“二次项系数化为1”的必要性，能正确识别完全平方式的结构并求出配方常数，辨析配方法中的常见错误。 3. 能运用配方法将二次三项式配方为a(x＋m)²＋n的形式，解决代数式求值、最值等拓展问题，提升代数变形能力。 ▌课时目录 知识点01：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识点02：二次项系数不为1时的配方技巧 知识点03：配方法解一元二次方程的常见错误辨析 知识点04：配方法在代数式求值中的应用 知识点05：完全平方式的识别与配方常数 ▌知识点01：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 对于形如（）的方程，配方法的核心思路是先将方程两边同时除以a，使二次项系数化为1，再按上一课时的方法配方求解。完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即，得； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 开平方求解。 例如：解方程2x²＋8x－10＝0→两边除以2得x²＋4x－5＝0→移项得x²＋4x＝5→配方得x²＋4x＋4＝5＋4，即(x＋2)²＝9→x＋2＝±3→x₁＝1，x₂＝－5。 1．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）用配方法解方程： 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）用配方法解方程： 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）用配方法解方程： (1) (2) 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）用配方法解方程： ▌知识点02：二次项系数不为1时的配方技巧 二次项系数不为1时，配方前的“化1”操作是关键。 技巧要点： 1. 方程两边必须同时除以二次项系数，不能只对部分项操作； 2. 化1后，新的一次项系数为原一次项系数除以a，新的常数项为原常数项除以a； 3. 配方时添加的是“新一次项系数一半的平方”，即。 为避免分数运算，也可采用“整体配方”策略：先提取二次项系数，如2x²＋8x－10＝2(x²＋4x－5)，对括号内配方得2[(x＋2)²－9]＝2(x＋2)²－18，令其等于0求解。 这种方法在处理代数式配方时尤为便捷。 5．（25-26八年级下·广东广州·期末）用配方法解方程：． 6．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）用配方法解方程． 7．用配方法解方程：． 8．用配方法解方程：； ▌知识点03：配方法解一元二次方程的常见错误辨析 常见错误类型： 1. 化1不彻底：只对二次项除以a，未对一次项和常数项同时除以a。如解方程2x²＋6x－8＝0时，错误地化为x²＋6x－8＝0（常数项未除以2）。 2. 配方常数错误：添加的不是“一次项系数一半的平方”。如x²＋6x＝7，错误地添加6²＝36而非(×6)²＝9。 3. 等式两边失衡：只在左边加配方常数，右边未同步添加。如x²＋4x＝5，左边加4得(x＋2)²，但右边仍写5。 4. 忽略符号：一次项系数为负时，配方常数仍为正，但完全平方式中的符号不变。如x²－6x＝7，配方得(x－3)²＝16，而非(x＋3)²＝16。 9．（25-26八年级下·安徽池州·期末）用配方法解方程：． 10．（24-25八年级下·重庆·期末）用配方法解方程： 11．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解方程： (1) (2) (3) 12．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) ▌知识点04：配方法在代数式求值中的应用 配方法可将二次三项式ax²＋bx＋c化为a(x＋m)²＋n的形式，从而解决代数式求值问题。 例如：已知x²－4x＋y²＋6y＋13＝0，求x、y的值。解：对原式配方得(x－2)²＋(y＋3)²＝0，由非负数性质知x－2＝0且y＋3＝0，故x＝2，y＝－3。 又如：求代数式x²－6x＋10的最小值。解：配方得(x－3)²＋1，∵(x－3)²≥0，∴当x＝3时，代数式取得最小值1。 这类问题体现了配方法在“降次”之外的另一重要用途——利用完全平方式的非负性求最值或确定参数。 13．（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 14．（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 16．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． ▌知识点05：完全平方式的识别与配方常数 完全平方式的标准形式为(x＋m)²＝x²＋2mx＋m²，其中m为任意实数。识别要点： 1. 二次项系数为1； 2. 常数项是一次项系数一半的平方； 3. 中间项系数与常数项满足关系：。给定二次项和一次项，配方常数为(×一次项系数)²。 例如：x²－10x需要添加(－10×)²＝25才能构成完全平方式(x－5)²；3x²＋12x提取3得3(x²＋4x)，括号内需添加4，即3(x＋2)²－12。 注意：当二次项系数不为1时，配方常数需结合提取公因数的操作来确定，不能机械套用公式。 17．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 18．（2026·重庆·一模）已知整式，其中，n均为正整数，为自然数，若． ①满足条件的所有整式M中，次数最高的是6次； ②满足条件的所有整式M共有28个； ③当时，满足条件的所有整式M的和为； ④满足条件的二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 20．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 2．（25-26八年级下·安徽池州·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 7．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 8．（2026·江西·中考真题）如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 第2课时 配方法（解二次项系数不为1的一元二次方程） ▌课时目标 1. 掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法解题步骤，能熟练将方程化为(x＋m)²＝n的形式并求解，体会“化归”思想在解方程中的应用。 2. 理解配方过程中“二次项系数化为1”的必要性，能正确识别完全平方式的结构并求出配方常数，辨析配方法中的常见错误。 3. 能运用配方法将二次三项式配方为a(x＋m)²＋n的形式，解决代数式求值、最值等拓展问题，提升代数变形能力。 ▌课时目录 知识点01：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识点02：二次项系数不为1时的配方技巧 知识点03：配方法解一元二次方程的常见错误辨析 知识点04：配方法在代数式求值中的应用 知识点05：完全平方式的识别与配方常数 ▌知识点01：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 对于形如（）的方程，配方法的核心思路是先将方程两边同时除以a，使二次项系数化为1，再按上一课时的方法配方求解。完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即，得； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 开平方求解。 例如：解方程2x²＋8x－10＝0→两边除以2得x²＋4x－5＝0→移项得x²＋4x＝5→配方得x²＋4x＋4＝5＋4，即(x＋2)²＝9→x＋2＝±3→x₁＝1，x₂＝－5。 1．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）用配方法解方程： 【答案】， 【详解】解： 或 ∴，； 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）用配方法解方程： 【答案】 【分析】先将方程变形为再求解即可． 【详解】解： 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）用配方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）用配方法解方程： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． ▌知识点02：二次项系数不为1时的配方技巧 二次项系数不为1时，配方前的“化1”操作是关键。 技巧要点： 1. 方程两边必须同时除以二次项系数，不能只对部分项操作； 2. 化1后，新的一次项系数为原一次项系数除以a，新的常数项为原常数项除以a； 3. 配方时添加的是“新一次项系数一半的平方”，即。 为避免分数运算，也可采用“整体配方”策略：先提取二次项系数，如2x²＋8x－10＝2(x²＋4x－5)，对括号内配方得2[(x＋2)²－9]＝2(x＋2)²－18，令其等于0求解。 这种方法在处理代数式配方时尤为便捷。 5．（25-26八年级下·广东广州·期末）用配方法解方程：． 【答案 【详解】解： 则或 解得，． 6．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）用配方法解方程． 【答案】，． 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 整理得， 配方得：，即， 两边同时开方得：， 解得：，． 7．用配方法解方程：． 【答案】， 【详解】解： ，． 8．用配方法解方程：； 【答案】 【详解】解：方程化为． ． 解得，． ▌知识点03：配方法解一元二次方程的常见错误辨析 常见错误类型： 1. 化1不彻底：只对二次项除以a，未对一次项和常数项同时除以a。如解方程2x²＋6x－8＝0时，错误地化为x²＋6x－8＝0（常数项未除以2）。 2. 配方常数错误：添加的不是“一次项系数一半的平方”。如x²＋6x＝7，错误地添加6²＝36而非(×6)²＝9。 3. 等式两边失衡：只在左边加配方常数，右边未同步添加。如x²＋4x＝5，左边加4得(x＋2)²，但右边仍写5。 4. 忽略符号：一次项系数为负时，配方常数仍为正，但完全平方式中的符号不变。如x²－6x＝7，配方得(x－3)²＝16，而非(x＋3)²＝16。 9．（25-26八年级下·安徽池州·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 解得，； 10．（24-25八年级下·重庆·期末）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】方程运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴，； 11．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． （1）（3）直接按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2） 先化为一般式，再按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可 【详解】（1）解： 解得； （2）解： ， ， ， ， 解得：，． （3）解： 解得：，． 12．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 据此步骤分别求解以下方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 或 解得：，； （2）解： ， ， 或． 解得：，； （3）解： 解得：，． ▌知识点04：配方法在代数式求值中的应用 配方法可将二次三项式ax²＋bx＋c化为a(x＋m)²＋n的形式，从而解决代数式求值问题。 例如：已知x²－4x＋y²＋6y＋13＝0，求x、y的值。解：对原式配方得(x－2)²＋(y＋3)²＝0，由非负数性质知x－2＝0且y＋3＝0，故x＝2，y＝－3。 又如：求代数式x²－6x＋10的最小值。解：配方得(x－3)²＋1，∵(x－3)²≥0，∴当x＝3时，代数式取得最小值1。 这类问题体现了配方法在“降次”之外的另一重要用途——利用完全平方式的非负性求最值或确定参数。 13．（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 14．（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． ▌知识点05：完全平方式的识别与配方常数 完全平方式的标准形式为(x＋m)²＝x²＋2mx＋m²，其中m为任意实数。识别要点： 1. 二次项系数为1； 2. 常数项是一次项系数一半的平方； 3. 中间项系数与常数项满足关系：。给定二次项和一次项，配方常数为(×一次项系数)²。 例如：x²－10x需要添加(－10×)²＝25才能构成完全平方式(x－5)²；3x²＋12x提取3得3(x²＋4x)，括号内需添加4，即3(x＋2)²－12。 注意：当二次项系数不为1时，配方常数需结合提取公因数的操作来确定，不能机械套用公式。 17．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 18．（2026·重庆·一模）已知整式，其中，n均为正整数，为自然数，若． ①满足条件的所有整式M中，次数最高的是6次； ②满足条件的所有整式M共有28个； ③当时，满足条件的所有整式M的和为； ④满足条件的二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题目给定条件，按的不同取值分类讨论，逐个验证四个结论，结合整式的概念、配方法判断非负性，即可得到结果． 【详解】解：∵ 和是正整数，其余系数为自然数（非负整数），且，逐个分析如下： ① 要得到最大次数，需要使系数之和最小；因为为正整数，为自然数，所以的最小值为1（当且其余系数均为0时），由可得，，即最高次数为5次，故①错误； ② 按分类计算整式总个数： 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 总个数为，故②错误； ③ 时，计算所有整式的和： 的系数总和为； 的系数总和为； 常数项总和与系数相等，为； ∴ 满足条件的所有整式的和为，故③正确； ④ 二次三项式满足：，，得，所有符合的整式为、、，共个，配方后恒为非负数，，故④错误； 综上，只有个结论正确，故选A． 19．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 20．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 2．（25-26八年级下·安徽池州·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，完成配方后即可判断正确选项． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即． 3．（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 二、填空题 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 7．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 【答案】 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 8．（2026·江西·中考真题）如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 三、解答题 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查配方法解二次方程的核心步骤：将二次项系数化为→移项→配方→开平方求解，解题关键在于正确找到配方项的系数，并注意运算符号的处理． （1）先移项得，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可； （2）先将方程变形为，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边同除以4，得， 配方，得， 即， ， 故答案为：． （2）解：方程变形为， 两边同除以，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， ． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $