第2章 2.3 用公式法求解一元二次方程 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册第二章第3课时同步练，以“求根公式推导-判别式应用-综合拓展”为主线，分层覆盖公式法全流程，通过基础运算、含参分析、跨学科情境题实现知识巩固与能力进阶，契合数学抽象、推理及模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|求根公式推导步骤、判别式概念|直接对应知识点，如公式法解方程（题1-3），强化运算准确性| |技能应用层|判别式与根的关系、公式法规范解题|结合根的情况判断（题5-7）、含参方程分析（题8），培养推理能力| |综合拓展层|参数范围求解、几何情境应用|融入古希腊图解法（题4）、新定义“倒方程”（题19）及等腰三角形综合题（题11），衔接阶段测评，发展创新意识|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第二章一元二次方程 2一元二次方程的解法 第3课时用公式法求解一元二次方程 课时目标 理解求根公式的推导过程，明确求根公式源于配方法，体会从特殊到一般的数学抽象 过程，掌握公式法的理论依据。 2.掌握一元二次方程根的判别式△=b一4ac的含义，能根据判别式的取值准确判断方 程根的情况，并能利用判别式求参数的取值范围。 3. 能熟练运用公式法解一元二次方程，规范解题步骤，正确处理△<0时无实数根的结 论，提升运算的准确性和严谨性。 课时目逯 知识点01：求根公式的推导 知识点02：一元二次方程根的判别式 知识点03：判别式与根的情况 知识点04：公式法解一元二次方程的步骤 1/10 知识点05：利用判别式判断方程根的情况 知识点06：已知根的情况求参数的取值范围 知识点01：求根公式的推导 对于形如ar2+bx+c=0（a≠0)的方程用配方法推导： 完整步骤： x+2x+C=0 b 化二次项系数为l:方程两边同除以a,得aa; 2+x=-9 移项： a a x2+ x+6)2 b 配方得， a 2a a（2a )2 b2-4ac x+- 左边写成完全平方式： 2a) 4a2; b b2 -4ac X+- 当b2-4ac≥0时， =4a2 2a -b±Vb2-4ac x= 移项得求根公式： 2a 1.(25-26八年级下山西阳泉期末)用公式法解方程：3x2-6x=1: 2.(25-26八年级下山东泰安期末)用公式法解方程：3x2-4x-1=0: 3.(2526九年级下山东烟台期末)用公式法解方程.式-5x+1=0, 4.(25-26九年级下·山东淄博·期末)古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一 元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式.只能用“图解法”来求解.在欧 几里得的《几何原本》中，形如x+ax=b（a>0,b>0)的方程的“图解法”是：如图，以2和b 2/10 为两直角边作Rt△4BC,再在斜边上截取BD=号 ,则4D的长就是所求方程的一个解. b B (1)若a=4,b=3,求图中线段AD的长，并验证线段AD的长是方程x2+4x=3的一个解： (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处. 知识点02：一元二次方程根的判别式 式子△=b-4ac叫做一元二次方程ar2+br+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用△（德尔 塔)表示。 判别式的实质是求根公式中被开方数部分，它决定了方程是否有实数根以及根的个数。 注意：判别式只适用于一元二次方程，且必须满足a≠0的前提条件。计算△时，各项系数 需连同符号代入，如方程2x2一3x一1=0中，=2，b=一3，c=-1,则△=（一3）2 4×2×(-1)=9+8=17。 5.(25-26八年级下广西百色·期未)一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.,无法确定 6.(25-26八年级下·广西百色·期末)一元二次方程x2-3x-4=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有一个实数根 7.（25-26八年级下江苏南京期末)已知关于*的一元二次方程+r+c=0(a≠0)， 下列说法中正确 的个数有() ①若b=0,则方程总有实数根；②若b3=4ac,则方程有两个相等的实数根： ③若a=b=c,则方程无实数根：④若b=a+C,则方程总有实数根 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3/10 8.(25-26八年级下山东烟台期末)已知关于x的方程 2-(k+2)x+2k=0 (1)求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根： (2)若等腰△ABC的边长a=3,另两边长b,C恰好是这个方程的根，求△ABC的周长. 知识点03：判别式与根的情况 一元二次方程ax2+br+c=0(a≠0)的根的情况由△的取值唯一确定： ysb+公 当△>0时，方程有两个不相等的实数根， 2,2=二bA 2a 当△=0时，方程有两个相等的实数根（也称一个实数根）， 当△<0时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数不能开平方）。 例如：方程x2一5x十6=0中，△=25一24=1>0，有两不等实根x1=3,x2=2;方程x2-4x +4=0中，△=16一16=0，有两相等实根x1=2=2;方程x2-2x十3=0中，△=4一12= 一8<0，无实数根。 9.(25-26八年级下·北京延庆期末)下列方程中，有两个不相等的实数根的是（) A.x2+4=0 B.x2+2x+1=0 C.x2+x-2=0 D.2x2+x+1=0 10.(2026河南新乡三模)若一次函数y=x+b(a,b为常数a≠0)的图象如图所示，则关于x的一元 二次方程x2-ax+b=0的根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D,无法确定 4/10 2-(2m+1)x+2m=0 11.(25-26八年级下·安徽宣城期末)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根： (2)若△ABC的两边AB、AC的长分别是此方程的两个实数根，第三边BC长为2，当△ABC是等腰三 角形时，求m的值. 12.(25-26八年级下·安徽滁州期末)设n是实数，已知关于x的一元二次方程x2-x-n+n=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若方程的两根都大于-1，求n的取值范围. 知识点04：公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解方程的规范步骤： 化为一般形式ar+br+c=0,确定a、b、c的值（注意符号）： 计算判别式△=b3-4ac,判断根的情况： 若△≥0，将a、b、c代入求根公式r2V64配 2a 求出方程的根；若△<0，直接写出 “方程无实数根”； 写出最终答案。 例如：解方程2x2-7x十3=0→a=2,b=-7,c=3→4△=49-24=25>0x=4(7 5)→x1=3,2=0.5。注意：代入公式时b的值要连同符号代入（如b=一7代入后为一（一7） =7)。 13.(25-26八年级下北京期末)用公式法解方程：x2=4x+3: 14.(25-26八年级下浙江杭州期末)用公式法解方程：2x2-4x-1=0 15.(25-26八年级下河南开封期末)用公式法解方程：3x2-4x-6=0. 16.(24-25九年级上山西大同阶段检测)用公式法解方程：x2-7x-1=0 5/10 知识点05：利用判别式判断方程根的情况 不解方程，直接通过计算△的值判断根的情况。步骤： 将方程化为一般形式，确定a、b、c: 计算△=b2-4ac； 根据△的符号得出结论。 例如：判断方程3x2-2x+1=0的根的情况：a=3,b=一2，c=1,△=4一12=-8<0， 故方程无实数根。 又如：判断方程0m一1)x2+2x一1=0（≠1）的根的情况：△=4+4一1)=4L,当>0 且≠1时△>0，有两不等实根；当=0时△=0，有两相等实根；当<0时△<0，无 实根。 此类含参问题需分类讨论，同时注意二次项系数不为0的隐含条件。 17.(25-26八年级下山东济南期末)一元二次方程x2+4x+7=0根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 18.(2026河南平顶山三模)关于x的一元二次方程x2-x+2=0的根的情况是（) A,有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 19。(25-26八年级下：山东济南期未)定义：关于*的方程+b+a=0是方程+r+C=0(a*c±0) 的“倒方程”.有下列五个结论：①-4x2+3x+1=0的“倒方程”是x2-3x-4=0;②如果x=-2是 x2+2x+c=0的“倒方程”的解，则c=4;③若一元二次方程am2-3x+c=0没有实数根，则它的 “倒方程”也没有实数根：④如果x=1是一元二次方程r2+bx+c=0的根，则x=是其“倒方程” cx2+bx+a=0 的根：回若"是一元二次方程3r+x+1=0 m 的“倒方程”的一个实数根，则 6/10 m3+m2-3m+2026 的值为2026.其中，正确的有() A2个 B.3个 C.4个 D.5个 2-2(k-1)x+k2=0 20.(25-26八年级下江苏苏州期末)已知关于x的一元二次方程 (1)若x=-2是方程的一个根，求k的值： (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围. 知识点06：已知根的情况求参数的取值范围 已知方程根的情况，反推参数应满足的条件。核心思路：根据根的情况列出关于△的不等 式或等式，再求解参数。常见题型： 方程有两不等实根→△>0； 方程有两相等实根→△=0： 方程无实根→△<0。 注意需同时满足二次项系数不为0的隐含条件。 例如：关于x的方程2一4x十1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：由题意 得k≠0且△=16-4k>0,解得k<4且k≠0。又如：关于x的方程x2+(L-2)x十m=0有 两个相等的实数根，求m的值。解：△=（一2）2一4=2一8L十4=0，解得m=4一23。 解题关键：列准△的等式或不等式，并注意α≠0的限制条件。 21.(25-26八年级下·安徽宣城期末)若关于x的方程 m-1)x2+x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 () A.ms5 5 5 4 B.m≥ 4 C.m≤ 4且m≠1 D.m之4且m≠1 22.(25-26八年级下山东淄博期末)若关于x的方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值 为 23。(2026交徽蚌掉三模)若关于的一元二次方程(m-)r-2x+c=0有两个相等的实数根，则c的 值是一。 24.(25-26八年级下安徽安庆期末)已知关于x的一元二次方程x2-2ax+2a-1=0,其中a为实数. 7/10 1)求证：一元二次方程x2-2ax+2a-1=0有实数根； Q)设-元=次方程-2ar+2a-1=0的一个实数根为.若2<< ,求“的取值范围. 课时训练 一、选择题 ±V4-4×(-1) 1.(25-26八年级下河北张家口·期末)用公式法解方程x2-1=2x时，得*= 2 一，则“口” 处应填() A.1 B.-1 C.2 D.-2 2-bx-c=0(c>0) 2.(25-26九年级上福建厦门期中)关于x的一元二次方程 的根是() b±Vb2+4c b±Vb2-4c A. B 2 -b±Vb2+4c -b±Vb2-4c C 2 D. 2 3.(25-26八年级下山东东营期末)已知关于x的方程ax2+4x-2=0有两个实数根，则a的取值范围是 () A.a≥-2 B.a>-2 C.a≥-2且a≠0D.a≤2且a≠0 x2+bx+c=0(a≠0 4.(25-26八年级下·安徽滁州期末)对于一元二次方程 ,给出下列说法： ①若方程axr+c=0有两个不相等的实根，则方程ax+br+c=0必有两个不相等的实根； ②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有aC+b+1=0成立； ③若0是一元二次方程ar+bx+c=0的根，则 -4ac=(2ax+b)」 ④存在实 数mnm≠刀），使得am+bm+c=ar+n+c。 其中正确的是() 8/10 。 A.只有①③B.只有①② C.只有①③④ D.①②③④ 二、填空题 5.(25-26八年级下·上海嘉定·期中)顶角为36°的等腰三角形的腰与底的比值为一. 6.(25-26九年级上吉林长春阶段检测)已知代数式7x(x+)-10的值与代数式9x-9的值相等，则x=_ 7.(25-26九年级上·宁夏中卫阶段检测)定义运算：m*n=mn2-mn-1.例如： 4*2=4×22-4×2-1=7 2*x=0 则方程 的根一 8.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k 的值是 三、解答题 9.(25-26八年级全国暑假作业)用公式法解下列方程. 1)22-3x-7=0 2-5=206x+1) 6)2x2+v5x-5=0 10.(25-26八年级下·吉林期末)如果方程 2+px+9=0 满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这 .G=D2 样的一元二次方程为同族方程，并规定9，例如x2-7x+12=0有整数解3和4，所以 (-7)249 r-7x+12=0属于同族方程，所以G 1212. (1)以下一元二次方程中是同族方程的是（填写序号） ①x2-5x+6=0；②x2-3x+1=0:③2x2-3x-2=0;④x2-4x+4=0. 9/10 2)如果同族方程+心+g=0 中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证： 对任意一个完美方程，总有G=4: nx2-(k-3)x-3=0 (3)关于x的一元二次方程” 属于同族方程，求正整数k的值. 10/10 2026－2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 第3课时 用公式法求解一元二次方程 ▌课时目标 1. 理解求根公式的推导过程，明确求根公式源于配方法，体会从特殊到一般的数学抽象过程，掌握公式法的理论依据。 2. 掌握一元二次方程根的判别式Δ＝b²－4ac的含义，能根据判别式的取值准确判断方程根的情况，并能利用判别式求参数的取值范围。 3. 能熟练运用公式法解一元二次方程，规范解题步骤，正确处理Δ＜0时无实数根的结论，提升运算的准确性和严谨性。 ▌课时目录 知识点01：求根公式的推导 知识点02：一元二次方程根的判别式 知识点03：判别式与根的情况 知识点04：公式法解一元二次方程的步骤 知识点05：利用判别式判断方程根的情况 知识点06：已知根的情况求参数的取值范围 ▌知识点01：求根公式的推导 对于形如（）的方程用配方法推导： 完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方得，； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 当时， 6. 移项得求根公式：。 1．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）用公式法解方程：； 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）用公式法解方程：； 【答案， 【分析】利用公式法解答即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴，； 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】用求根公式法解一元二次方程． 【详解】解：。 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1)若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【答案】(1)解：∵ ， ， ， 当时， ， ∴线段的长是方程的一个解； (2)解：∵， ， ， 用求根公式求得， 正确性：的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【分析】（1）先根据勾股定理求得的长，可求的长，再代入方程验算即可； （2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 ▌知识点02：一元二次方程根的判别式 式子叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用Δ（德尔塔）表示。 判别式的实质是求根公式中被开方数部分，它决定了方程是否有实数根以及根的个数。 注意：判别式只适用于一元二次方程，且必须满足的前提条件。计算Δ时，各项系数需连同符号代入，如方程2x²－3x－1＝0中，a＝2，b＝－3，c＝－1，则Δ＝(－3)²－4×2×(－1)＝9＋8＝17。 5．（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 6．（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况判断，利用一元二次方程根的判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 7．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． ▌知识点03：判别式与根的情况 一元二次方程（）的根的情况由Δ的取值唯一确定： 1. 当时，方程有两个不相等的实数根，； 2. 当时，方程有两个相等的实数根（也称一个实数根），； 3. 当时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数不能开平方）。 例如：方程x²－5x＋6＝0中，Δ＝25－24＝1＞0，有两不等实根x₁＝3，x₂＝2；方程x²－4x＋4＝0中，Δ＝16－16＝0，有两相等实根x₁＝x₂＝2；方程x²－2x＋3＝0中，Δ＝4－12＝－8＜0，无实数根。 9．（25-26八年级下·北京延庆·期末）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 10．（2026·河南新乡·三模）若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 11．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【详解】（1）略 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 12．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：， 该方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是． ▌知识点04：公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解方程的规范步骤： 1. 化为一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）； 2. 计算判别式，判断根的情况； 3. 若，将a、b、c代入求根公式求出方程的根；若，直接写出“方程无实数根”； 4. 写出最终答案。 例如：解方程2x²－7x＋3＝0→a＝2，b＝－7，c＝3→Δ＝49－24＝25＞0→x＝(7－5)→x₁＝3，x₂＝0.5。注意：代入公式时b的值要连同符号代入（如b＝－7代入后为－(－7)＝7）。 13．（25-26八年级下·北京·期末）用公式法解方程：； 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ， ∴，，， ∵ ∴ ， ∴ 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用公式法解方程： 【答案】， 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得，． 15．（25-26八年级下·河南开封·期末）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】（本题主要考查一元二次方程的解法，用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】 ， ， 代入公式得： ， ∴ ． 16．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）用公式法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【详解】解： 代入求根公式得 ∴， ▌知识点05：利用判别式判断方程根的情况 不解方程，直接通过计算Δ的值判断根的情况。步骤： 1. 将方程化为一般形式，确定a、b、c； 2. 计算； 3. 根据Δ的符号得出结论。 例如：判断方程3x²－2x＋1＝0的根的情况：a＝3，b＝－2，c＝1，Δ＝4－12＝－8＜0，故方程无实数根。 又如：判断方程(m－1)x²＋2x－1＝0（m≠1）的根的情况：Δ＝4＋4(m－1)＝4m，当m＞0且m≠1时Δ＞0，有两不等实根；当m＝0时Δ＝0，有两相等实根；当m＜0时Δ＜0，无实根。 此类含参问题需分类讨论，同时注意二次项系数不为0的隐含条件。 17．（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用根的判别式计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得， ∵， ∴该一元二次方程无实数根． 18．（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据根的判别式进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 19．（25-26八年级下·山东济南·期末）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 20．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． ▌知识点06：已知根的情况求参数的取值范围 已知方程根的情况，反推参数应满足的条件。核心思路：根据根的情况列出关于Δ的不等式或等式，再求解参数。常见题型： 1. 方程有两不等实根→Δ＞0； 2. 方程有两相等实根→Δ＝0； 3. 方程无实根→Δ＜0。 注意需同时满足二次项系数不为0的隐含条件。 例如：关于x的方程kx²－4x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：由题意得k≠0且Δ＝16－4k＞0，解得k＜4且k≠0。又如：关于x的方程x²＋(m－2)x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值。解：Δ＝(m－2)²－4m＝m²－8m＋4＝0，解得m＝4－2√3。 解题关键：列准Δ的等式或不等式，并注意a≠0的限制条件。 21．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 22．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 23．（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 24．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 【详解】解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 3．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 4．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 二、填空题 5．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 【答案】 【分析】作的平分线交于点，得到的和都是顶角为的等腰三角形，根据它们的腰和底对应成比例，列比例式解答即可． 【详解】解：设等腰中，顶角，（腰长），（底边长）， ∴ ． 作的平分线交于点． 则， ， ． ， ， ， ∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴它们的腰和底的比相等， 即， 代入得， 整理得， 两边同除以， 设， 得， 解得， ， ． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·宁夏中卫·阶段检测）定义运算：．例如：，则方程的根______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴,． 故答案为：,． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】1 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入对应系数计算即可求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， 因为方程有两个相等的实数根，所以， 代入系数得， 化简得， 解得． 三、解答题 9．（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 10．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． / 学科网（北京）股份有限公司 $