第2章 2.1 直接开平方法、配方法（解二次项系数为1的一元二次方程） 课时同步训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，以“基础理解—技能应用—综合拓展”分层设计，覆盖6个核心知识点，通过阶梯式题型培养抽象能力、运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|降次实质、直接开平方法定义与步骤、配方概念|以基础解方程题为主，强化概念理解，如直接开平方法适用条件判断，培养抽象能力| |技能应用层|配方法步骤、等式平衡原理|通过规范解题过程题，如二次项系数为1的方程配方，提升运算能力| |综合拓展层|跨知识点综合应用|结合几何构造（如赵爽弦图）解一元二次方程，渗透推理意识与创新意识|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第二章一元二次方程 2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法、配方法（解二次顶系数为1的一元二次方程） 课时目标 理解一元二次方程“降次”的实质，体会将二次方程转化为一次方程求解的转化思想， 明确直接开平方法和配方法的内在联系。 2. 掌握直接开平方法的定义、适用条件和解题步骤，能熟练解形如(c十m)=n(n≥0)的 一元二次方程，并正确处理<0时无实数根的情况。 3. 理解配方的概念，掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤，能熟练将 形如x十px+q=0的方程通过配方转化为(x+)=n的形式并求解。 课时目录 知识点01：一元二次方程降次的实质 知识点02：直接开平方法的定义与适用条件 知识点03：直接开平方法解一元二次方程的步骤 知识点04：配方的概念 119 知识点05：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识点06：配方过程中等式平衡原理的运用 【知识点01：一元二次方程隆次的实质 解一元二次方程的核心思想是“降次”，即通过变形将未知数的最高次数由2降低为1， 把一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。 降次是贯穿所有一元二次方程解法的主线思想：直接开平方法通过对完全平方式开平方实 现降次：配方法通过构造完全平方式再开平方实现降次。 例如：方程x一2)=9通过开平方转化为x一2=3或x一2=一3两个一次方程，这就是典型 的降次过程。 1.(25-26八年级下辽宁盘锦期末)解方程： 4(x-1)°=(x+2) 2(25:26九年级上北京东城期中)解方程：(x-=2 3.(25-26八年级下湖南长沙期末)解方程：(x-少=25， 4.(25-26九年级上·安徽芜湖期中)解方程： 9=( 知识点02：直接开平方法的定义与适甲条性 直接开平方法是利用平方根的定义，对形如(x十m=的方程两边同时开平方，将一元二 次方程转化为两个一元一次方程的方法。 适用条件：方程左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数（≥0）。 当n>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根（即一个 根)； 当<0时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数没有平方根）。 例如：(x一3)？=16适用直接开平方法，而x2十2x一3=0需要先变形才能使用。 5.(25-26八年级下浙江舟山期末)解方程：2(x-=18 219 6.(25-26八年级下广西百色期末)解方程：2x2-8=0 7.(22-23九年级上·新疆阿克苏期末)解方 .(x+2}-25=0 (2x-1)2-9=0 8.(25-26八年级下·江苏苏州期末)解方程： 知迟点03：直接开平方法解一元二次方程的步骤 解题步骤： 将方程化为(x十P=n的形式： 当n≥0时，两边开平方得x十m=±h: 分离未知数得x=-m±Vn,即=-m+历，名=-m-V历， 当<0时，直接判定方程无实数根。 例如：解方程(x一2)？=9→x一2=±3→x=2+3→x1=5,x2=一1。 又如：解方程x十1)2=0→x十1=0→x1=x2=一1。 再如：解方程(x一3)=一4→，右边为负数，方程无实数根。 9(25-26八年级下福建福州期末)解方程：(x+1-2=0 10.(25-26八年级下江苏苏州期末)解方程：2x2-1=7: 11.(25-26九年级下黑龙江大庆期未)解方程： 4(x-2)2=36 12.(25-26八年级下山东泰安期末)解方程：(2x-3-64=0, 知识点04：配方的概念 配方是指通过变形，将一元二次方程的二次项和一次项组合成一个完全平方式的过程。 完全平方式的结构为(x十=x2+2x十，其中常数项是一次项系数一半的平方。 配方的关键是在方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使左边构成一个完全平方 式，右边成为一个常数。 例如：将x2+6x变形为完全平方式：x2+6x十9=(x十3)？，其中添加的常数项9=(2×6)}。 319 13.(25-26八年级下浙江丽水期末)解方程：x2-4x+3=0. 14.(25-26九年级上·北京阶段检测)解方程：x2-5x+6=0 15.(25-26八年级下辽宁大连期末)解方程：3(x--6=0 16.(25-26八年级下·辽宁盘锦期末)解方程：x2-4x=8; 知识点05：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 对于形如x2十x十q=0(二次项系数为1)的方程，配方法步骤： 移项：将常数项移到等号右边，得x2十x=一q: 1 1 配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即(2p),得x2+x+(2p)=一q十( 2p),左边化为(+2p): 1 开平方：对变形后的方程(x+2p)?=n用直接开平方法求解： 写出解。 例如：解方程x2十6r一7=0→移项得x2十6x=7→配方得x2+6x十9=7+9，即(x十3)}2=16→ 开平方得x十3=±4x1=1,x2=-7。 17. (25-26八年级下河北石家庄期末)解方程：x2-2x-2=0: 18.(25-26八年级下浙江杭州期末)解方程： x(x+1)=1 19.(25-26八年级下浙江宁波期末)解方程：x2=2x+3; 20.(25-26八年级下福建福州期末)解方程：解方程：x2+6x=1. 知识点06：配方过程中等式平衡原理的运用 配方过程必须遵循等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成 立。在配方时，为了使左边构成完全平方式而添加的常数项，必须同时在方程右边也加上 相同的常数，以保持等式成立。 419 例如：对x2一4x+3=0配方，移项得x2一4x=一3，左边需要添加(-4×2)2=4才能构成完 全平方式，因此右边也必须同时加4，得x2-4x十4=一3+4，即(x一2)=1。若只在左边加 4而右边不加，则破坏了等式的平衡，导致求解错误。这是配方法中最容易忽视的环节， 需特别强调。 21.(25-26八年级下·江西抚州期末)【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以 将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题， 例如：分解因式+2x-3(+2x+小4=(x+广-2=(+1+2(x+1-2)-(6+30x-).又如. 求代数式2x2+4x-6的最小值，我们可以通过配方得到： 2x2+4x-6=2(2+2x-3)=2[（(+2x+）-4=2(+-8.因为x+1旷≥0，所以2(x+旷20，则 2(x+-82-8,当x=-1时，2x2+4-6有最小值，最小值是-8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-8x+7: (2)当x为何值时，多项式-2x2-4x+5有最大值？并求出这个最大值. 3)若多项式x2+4与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式 22.(25-26八年级下·山东济南期末)配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公 式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整数能表示成 a+b2 a b 10 （,是整数)的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，是“和谐数”，理由：因为 10=32+12 10 所以是“和谐数”· 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数” (填“是”或“否”) 【探究问题】 519 ②)若a2-8a+25可配方成a-m+n(m,n为常数)，则m的值 B)已知M=a2+4ab+5b2-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”，试求出符合条 件的一个k值，并说明理由. 【拓展应用】 ④已知实数”，'满足=-5x+10 0,当为多少时，-能取得最小值，并求出最小值， 23.(25-26九年级上·安徽宿州阶段检测)配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值 2x2-x+2+y2 问题，如求代数式 的最小值，解法如下： 00 +y2+1515 88, 15 ∴2x2-x+2+y2的最小值是8 根据材料中的方法，解答下列问题， a)r+4r-2 的最大值为 (2)求m2+n2+6m-2n+15的最小值. 24.(25-26八年级下·浙江宁波期末)配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部 6/9 分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中， 并结合非负数的意义来解决一些问题.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题， 2+4y+6 例：求代数式 的最小值。 解：广+4y+6=y+4y+4+2=0+2}+2 因为心+2≥0，所以0+2)+222，所以+4y+6的最小值是2 (1)代数式x2-4x+3的最小值为- 2)关于x的二次多项式x2-4ax+2a2+a-6(a为常数)有最小值为-9，求常数a的值. 7 6)已知实数x,y满足-x+2x+y-3=0,求x-2y的最大值. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下河北张家口期末)将一元二次方程x2+4x=9配方，得到方程x2+4x+▲=9+▲， 其中“▲”表示的数为() A.16 B.4 C.2 D.1 2.(25-26八年级下浙江绍兴期末)将方程2+4x-7=0用配方法化为+=b的形式，则a,b的值 为() A.a=2,b=3B.a=2,b=11C.a=-2,b=11D.a=-2,b=3 3.(25-26八年级下浙江台州期末)若关于的一元二次方程K-m(x-)=0的解也是(-3引=b。 a≠0)的解，则m与n满足的数量关系为（) A m+n=3 B m+n=6 C.m+n=6a D.m+n=6b 4。(25-26八年级下江苏南通期末)已知关于x的一元二次方程(c+2+4-k=0有实数根，则k的取值 范围是() 719 A.k≥4 B.k>4 C.k≤4 D.k<4 二、填空题 5.(25-26八年级全国暑假作业)若方程x-m=0的根为整数，则m的值可以是 (只填符 合条件的一个即可) (x-2)2=2025 6.(25-26八年级下·山东淄博期中)方程 的较小实数根为一 7.(25-26八年级下渐江杭州期末)用配方法解方程2-4红-3=0时，若将方程安形为K-2=m,则 m=· 8.(25-26九年级下-山东聊城阶段检测)将方程2-2x-1=0化成x+a=b(4,b为常数)的形式，则 (a+b)2026- 三、解答题 9.(25-26八年级下浙江金华期末)解下列方程： x-1)'=9 @P+4-2=0 10.(25-26八年级下·江苏苏州期末)三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形 解一元二次方程的方法，以解一元二次方程x2+3x-10=0为例： 将方程+3x-10=0写成(x+3)=10 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为任+x+3,4个小长方形与正方形的面积的和为红(x+3)+3,即4x10+9=9。 所以，(+x+3=49.易得一个正实数根x=2. 请用构造几何图形方法解决下列问题： 8/9 x+3 +3 x+3 x+3 图1 图2 1)一元二次方程x2+2x-24=0的一个正实数根为-： (2)关于x的一元二次方程x2+5x-n=0(n为常数)，在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出 该一元二次方程的正实数根及的值，（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）· 919 2026－2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法、配方法（解二次项系数为1的一元二次方程） ▌课时目标 1. 理解一元二次方程“降次”的实质，体会将二次方程转化为一次方程求解的转化思想，明确直接开平方法和配方法的内在联系。 2. 掌握直接开平方法的定义、适用条件和解题步骤，能熟练解形如(x＋m)²＝n(n≥0)的一元二次方程，并正确处理n＜0时无实数根的情况。 3. 理解配方的概念，掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤，能熟练将形如x²＋px＋q＝0的方程通过配方转化为(x＋m)²＝n的形式并求解。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程降次的实质 知识点02：直接开平方法的定义与适用条件 知识点03：直接开平方法解一元二次方程的步骤 知识点04：配方的概念 知识点05：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识点06：配方过程中等式平衡原理的运用 ▌知识点01：一元二次方程降次的实质 解一元二次方程的核心思想是“降次”，即通过变形将未知数的最高次数由2降低为1，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。 降次是贯穿所有一元二次方程解法的主线思想：直接开平方法通过对完全平方式开平方实现降次；配方法通过构造完全平方式再开平方实现降次。 例如：方程(x－2)²＝9通过开平方转化为x－2＝3或x－2＝－3两个一次方程，这就是典型的降次过程。 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： 【答案】，； 【详解】解： ， ， 即或， 解得，； 2．（25-26九年级上·北京东城·期中）解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开方法求解即可。 【详解】解：， ， ， ，； 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：； 【答案】 【详解】解：， 开平方，得， ∴或， 解得； 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解：二次项系数化为1，得， 开平方得， ，． ▌知识点02：直接开平方法的定义与适用条件 直接开平方法是利用平方根的定义，对形如(x＋m)²＝n的方程两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程的方法。 适用条件：方程左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数（n≥0）。 1. 当n＞0时，方程有两个不相等的实数根；当n＝0时，方程有两个相等的实数根（即一个根）； 2. 当n＜0时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数没有平方根）。 例如：(x－3)²＝16适用直接开平方法，而x²＋2x－3＝0需要先变形才能使用。 5．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）解方程： 【答案】， 【分析】运用直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：， ， 所以或． 6．（25-26八年级下·广西百色·期末）解方程： 【答案】， 【详解】解： ∴，． 7．（22-23九年级上·新疆阿克苏·期末）解方程： 【答案】， 【分析】先移项，再直接开方可得解． 【详解】解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程：； 【答案】， 【详解】解：， ， ， 解得，； ▌知识点03：直接开平方法解一元二次方程的步骤 解题步骤： 1. 将方程化为(x＋m)²＝n的形式； 2. 当n≥0时，两边开平方得x＋m＝±√n； 3. 分离未知数得，即，； 4. 当n＜0时，直接判定方程无实数根。 例如：解方程(x－2)²＝9→x－2＝±3→x＝2±3→x₁＝5，x₂＝－1。 又如：解方程(x＋1)²＝0→x＋1＝0→x₁＝x₂＝－1。 再如：解方程(x－3)²＝－4→∵右边为负数，∴方程无实数根。 9．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： 【答案】，. 【分析】移项后利用直接开平方法求解． 【详解】解：， 移项得， 开平方得， 解得，， 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程：； 【答案】， 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 即，； 11．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程：； 【答案】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ， ， ， ； 12．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程：； 【答案】 【详解】解：， ， 或， ； ▌知识点04：配方的概念 配方是指通过变形，将一元二次方程的二次项和一次项组合成一个完全平方式的过程。 完全平方式的结构为(x＋m)²＝x²＋2mx＋m²，其中常数项是一次项系数一半的平方。 配方的关键是在方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使左边构成一个完全平方式，右边成为一个常数。 例如：将x²＋6x变形为完全平方式：x²＋6x＋9＝(x＋3)²，其中添加的常数项9＝(×6)²。 13．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解答； 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同时加上4，得，即， 则，或， 解得，． 14．（25-26九年级上·北京·阶段检测）解方程： 【答案】， 【详解】解： ∴或 解得，． 15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解方程： 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ． 16．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程：； 【答案】， 【分析】（利用配方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ，； ▌知识点05：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 对于形如x²＋px＋q＝0（二次项系数为1）的方程，配方法步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，得x²＋px＝－q； 2. 配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即(p)²，得x²＋px＋(p)²＝－q＋(p)²，左边化为(x＋p)²； 3. 开平方：对变形后的方程(x＋p)²＝n用直接开平方法求解； 4. 写出解。 例如：解方程x²＋6x－7＝0→移项得x²＋6x＝7→配方得x²＋6x＋9＝7＋9，即(x＋3)²＝16→开平方得x＋3＝±4→x₁＝1，x₂＝－7。 17．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解方程：； 【答案】，； 【分析】运用配方法求解方程即可． 【详解】解： 解得，； 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 19．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解方程：； 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 20．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程：解方程：． 【答案】， 【详解】解： 解得，． ▌知识点06：配方过程中等式平衡原理的运用 配方过程必须遵循等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。在配方时，为了使左边构成完全平方式而添加的常数项，必须同时在方程右边也加上相同的常数，以保持等式成立。 例如：对x²－4x＋3＝0配方，移项得x²－4x＝－3，左边需要添加(－4×)²＝4才能构成完全平方式，因此右边也必须同时加4，得x²－4x＋4＝－3＋4，即(x－2)²＝1。若只在左边加4而右边不加，则破坏了等式的平衡，导致求解错误。这是配方法中最容易忽视的环节，需特别强调。 21．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 22．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 23．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 【答案】(1)2 (2)5 【分析】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最大值为2； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为5 ∴的最小值为5． 24．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为_． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 二、填空题 5．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）方程的较小实数根为_____． 【答案】/ 【分析】对方程两边开平方得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根，比较根的大小即可得到较小实数根． 【详解】解：对方程两边直接开平方，得 ， 即或， 解得，， ， 方程的较小实数根为． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 8．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 三、解答题 9．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）因为等式左侧是完全平方形式，所以可以用直接开平方法，根据平方根的定义，得到等于9的两个平方根，再分别求解． （2）可选择配方法，先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式后开平方求解． 【详解】（1）解： 两边直接开平方得： ， 当 时，解得 ； 当 时，解得 ． ． （2）解：先移项得：， 配方得： ， 整理得， 开平方得：， 移项得， ． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为_； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 【答案】(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． / 学科网（北京）股份有限公司 $