精品解析：吉林省长春市东北师大附中明珠学校2021-2022学年九年级下学期 数学学科大练习11

东北师大附中初三年级数学综合练习（十一） 一、选择题：（本大题8小题，每小题3分，共24分） 1. 下面的数中，与的和为0的是 ( ) A. 3 B. C. D. 2. 年月日，长春市统计局、长春市第七次全国人口普查领导小组办公室公布了长春市第七次全国人口普查的各项数据．根据这份数据，长春市年最新人口数据约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 5. 如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于E，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，若反比例函数经过，两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：___． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 12. 如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 13. 如图，在三角形纸片中，，点P为边上任意一点（不与A、B重合），连结．将边沿折叠，得到点B的对应点，连接、，当为锐角三角形时，其面积S的取值范围为___________． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 三、解答题：（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，现有四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”和D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀． （1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 ； （2）从中随机抽取两张，请你用列表或画树状图的方法，求两张卡片的图案上是B．“高山滑雪”和D．“钢架雪车”运动项目的概率． 17. 2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩外套的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划多，结果提前4天完成任务．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③给定的网格中按要求作图： （1）在图①中的边上找到点，使； （2）在图②中的边上找到点，使，并连接； （3）在图③中的边上找到点，使． 19. 如图，在中，是斜边的中线，过点C、D分别作交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若四边形的边长为4，面积为，则 ． 20. 某校九年级共有学生450人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小王对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．小王在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表： 成绩（分） 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 人数（人） 2 1 0 2 1 1 1 4 14 注：成绩只能为0.5的整数倍． ．将体育测试成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：，）： c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 上学期 26.75 26.75 本学期 28.50 根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全折线统计图，并标明数据； （2）直接写出的值为 ；根据上述的信息可以判断，本学期九年级学生体育测试成绩明显优于上学期，理由是 （从一个角度回答即可）； （3）若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有 名学生成绩达到优秀： （4）小王统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下： 成绩（分） 人数（人） 5 11 2 3 4 5 注：成绩只能为0.5的整数倍． 通过观察、分析，得出这样的结论“本班在上学期的体育测试成绩的众数一定出现在这一组”．请你判断小王的说法是 （填“正确”或“错误”），你的理由是 ． 21. 甲同学骑共享单车保持匀速从家到公园，到达公园后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回家中，设甲同学距离家的路程为y（m），运动时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示． （1）a= ． （2）在甲同学从公园返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式． （3）在甲同学从家出发的同时，乙同学以100m/min的速度从公园匀速步行去甲同学家学习，当乙同学与甲同学之间的路程为200m时，直接写出甲同学的运动时间． 22. 【概念回顾】我们知道圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点组成的平面图形．由此可知，如图，若，则点A、B、C均在以O为圆心，OA为半径的圆上． 【知识运用】 如图，在中，将绕顶点逆时针旋转，得到，连结、． （1）若，求的大小． （2）若，当时，四边形面积的最大值为______． （3）【拓展应用】如图，将边长为的等边绕顶点逆时针旋转，得到，点为中点．过点作，交于点，当时，则长的取值范围是______． 23. 如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动． 当点P与A、B不重合时，作点A关于点P的对称点，过作直线的垂线交直线于点D． 设点P的运动时间为秒． （1）的长为 ． （2）在点P运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）． （3）当时，求t的值． （4）点P在上运动过程中，当到的某两边所在直线距离相等时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a 为常数且）的顶点为A，与y轴交于点B． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）当时，抛物线的最高点的纵坐标为3，求a的值． （3）抛物线与直线交于两点，设抛物线在这两点之间的部分图象为G，若G上不存在纵坐标相等的两点，直接写出a的取值范围． （4）在抛物线（）上的点M、C的横坐标分别为、2，连结，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，以为邻边作正方形．当抛物线在正方形内的部分对应的函数值y随x的增大而减小或y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初三年级数学综合练习（十一） 一、选择题：（本大题8小题，每小题3分，共24分） 1. 下面的数中，与的和为0的是 ( ) A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】有理数的运算，有理数的减法，熟练掌握知识点，运算法则是解题的关键． 将问题转化为求0与的差即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A 2. 年月日，长春市统计局、长春市第七次全国人口普查领导小组办公室公布了长春市第七次全国人口普查的各项数据．根据这份数据，长春市年最新人口数据约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定． 【详解】解：． 3. 如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：这个几何体的俯视图是． 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法及准确确定不等式组的解集是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出结论． 【详解】解： 由①得：， 由②得：； 则不等式组的解集为：； 故选：C 5. 如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用．注意数形结合思想的应用． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于E，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵的垂直平分线交于E， ∴， ∴的周长为． 7. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使，则，即可推出，则是边的垂线即可，由此求解即可． 【详解】解：当是的垂线时，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 根据作图痕迹可知， A选项中，是的角平分线，不符合题意； B选项中，不与垂直，不符合题意； 选项中，是的垂线，符合题意； 选项中，不与垂直，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 8. 如图，在中，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，若反比例函数经过，两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明，得到，利用比值关系求出的长，再利用勾股定理求出的长，从而得到的坐标，代入反比例函数解析式运算求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ∵直线经过原点，且经过反比例函数， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴在中，， ∴， 把代入可得：， 解得：． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可 【详解】解：． 故答案为: . 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过点作轴于点，由正方形的性质可得，，进而得到，即可证明，得到，，由的坐标可得，，由此可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， 则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接、，设与相交于O，先根据正方形的性质得到，， ，再根据90度的圆周角所对的弦是直径得到，是的直径，点O为圆心，进而利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接、，设与相交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∵正方形是的内接四边形， ∴，是的直径，点O为圆心， ∵的半径为3， ∴弧的长为． 13. 如图，在三角形纸片中，，点P为边上任意一点（不与A、B重合），连结．将边沿折叠，得到点B的对应点，连接、，当为锐角三角形时，其面积S的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠，判断出点的运动轨迹，再加上锐角三角形的特殊条件可进一步限制出点的运动范围，分别计算运动过程中三角形面积的最大最小值即可． 【详解】由折叠，则必有， 又∵C为定点，为定长， 则点的轨迹为以C为圆心，为半径的圆， 当P与B重合时与B重合，当P与A重合时在B以为对称轴的对称点的位置， ∴点的轨迹为一个半圆，如图 又∵为锐角三角形， 过A作的垂线，交圆弧于点M，连接， 因为圆弧关于对称，仅讨论右边部分即可， 如图，若要保持为锐角三角形，则点的运动轨迹为且不包含端点， 由图可得当点在M时面积最小， 此时，∵为直角三角形有， ∴， 由图可得当点在B处时面积最大， 此时， ∵点运动轨迹不包含端点， ∴，即． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 三、解答题：（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，现有四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”和D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀． （1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 ； （2）从中随机抽取两张，请你用列表或画树状图的方法，求两张卡片的图案上是B．“高山滑雪”和D．“钢架雪车”运动项目的概率． 【答案】（1）； （2）树状图见解析， 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下， ∵共12种等可能情况，其中两张卡片的图案上是B．“高山滑雪”和D．“钢架雪车”运动项目的有2种结果， ∴两张卡片的图案上是B．“高山滑雪”和D．“钢架雪车”运动项目的概率为． 【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验． 17. 2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩外套的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划多，结果提前4天完成任务．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 【答案】问题：原计划每天加工多少个？答案：原计划每天加工900个；过程见解析（提出问题合理，解答正确即可） 【解析】 【分析】提出问题：原计划每天加工多少个冰墩墩外套？ 设原计划每天加工x个冰墩墩外套，则实际每天加工（1＋）x个冰墩墩外套，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解方程，经检验后即可得出结论． 【详解】求：原计划每天加工多少个冰墩墩外套？ 解：设原计划每天加工x个冰墩墩外套，则实际每天加工（1＋）x个冰墩墩外套， 依题意得：， 解得：x＝900， 经检验，x＝900是原方程的解， 答：原计划每天加工900个冰墩墩外套． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③给定的网格中按要求作图： （1）在图①中的边上找到点，使； （2）在图②中的边上找到点，使，并连接； （3）在图③中的边上找到点，使． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）如图，取格点、，连接交于点即可； （2）如图，取格点、、、，连接交于点，连接交于点即可； （3）在（2）图基础上，连接交于点即可． 【小问1详解】 解：如图，取格点、，连接交于点， ∵如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点即为所作； 【小问2详解】 如图，取格点、、、，连接交于点，连接交于点， ∵如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点即为所作； 【小问3详解】 如图，连接交于点， 由（2）知：，， ∵如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即， 则点即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 19. 如图，在中，是斜边的中线，过点C、D分别作交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若四边形的边长为4，面积为，则 ． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等，证明平行四边形是菱形． （2）过点C作于点F，根据菱形的面积，得到，利用勾股定理，求得，继而求得，根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：过点C作于点F， 四边形的边长为4，面积为， ， ， ， ， ． 20. 某校九年级共有学生450人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小王对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．小王在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表： 成绩（分） 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 人数（人） 2 1 0 2 1 1 1 4 14 注：成绩只能为0.5的整数倍． ．将体育测试成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：，）： c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 上学期 26.75 26.75 本学期 28.50 根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全折线统计图，并标明数据； （2）直接写出的值为 ；根据上述的信息可以判断，本学期九年级学生体育测试成绩明显优于上学期，理由是 （从一个角度回答即可）； （3）若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有 名学生成绩达到优秀： （4）小王统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下： 成绩（分） 人数（人） 5 11 2 3 4 5 注：成绩只能为0.5的整数倍． 通过观察、分析，得出这样的结论“本班在上学期的体育测试成绩的众数一定出现在这一组”．请你判断小王的说法是 （填“正确”或“错误”），你的理由是 ． 【答案】（1）见解析 （2），本学期九年级学生体育测试成绩的平均数明显优于上学期 （3）360 （4）正确，成绩的分数可以是25.5或26这两个分数，这一组人数有11人，那么这两个分数中必有一个人数大于5 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键． （1）计算出成绩为的学生人数，补全折线统计图即可； （2）根据平均数即可得到结论； （3）求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论； （4）根据众数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 解：成绩为26分的学生人数为：， 补全折线统计图，如图所示， 【小问2详解】 解：根据统计表，本学期的第15个和第16个数据均为29.5， ∴本学期的中位数； 本学期九年级学生体育测试成绩明显优于上学期， 理由是：本学期九年级学生体育测试成绩的平均数明显优于上学期， 故答案为：，本学期九年级学生体育测试成绩的平均数明显优于上学期； 【小问3详解】 解：， 答：本学期九年级约有360名学生成绩达到优秀； 故答案为：360； 【小问4详解】 解：正确， 理由：成绩的分数可以是25.5或26这两个分数，这一组人数有11人，那么这两个分数中必有一个人数大于5，而其他分数段人数都小于或等于5，小王的说法正确． 故答案为：正确，成绩的分数可以是25.5或26这两个分数，这一组人数有11人，那么这两个分数中必有一个人数大于5． 21. 甲同学骑共享单车保持匀速从家到公园，到达公园后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回家中，设甲同学距离家的路程为y（m），运动时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示． （1）a= ． （2）在甲同学从公园返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式． （3）在甲同学从家出发的同时，乙同学以100m/min的速度从公园匀速步行去甲同学家学习，当乙同学与甲同学之间的路程为200m时，直接写出甲同学的运动时间． 【答案】（1）14；（2）；（3）6或或23 【解析】 【分析】（1）根据题意，往返家和公园之间路程和速度均相等，则时间也相等，进而根据图像列式求解即可； （2）本题需进行分类讨论，分别以当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距200m；当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距200m；当甲同学在返回家中的途中，当乙同学已经到达甲同学家后甲乙相距200m为三种情况列式求解即可得解． 【详解】（1）根据题意，从家到公园与从公园回家的路程和速度相等，则所用时间也相等 ∴ ∴ 故答案为：14； （2）设y与x之间的函数关系式为 将与代入得 解得 y与x之间的函数关系式为； （3）根据题意，公园到甲同学家的距离为2000m，乙同学从公园匀速步行去甲同学家速度为100m/min，当时，，当时， ∴对应的函数解析式为 甲同学从家去往公园的途中，对应函数解析式为 当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距200m ∴，解得 当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距200m ∴，解得 当甲同学在返回家中的途中，当乙同学已经到达甲同学家时，甲乙相距m， ∴，解得 ∴综上所述：的值为6或或23． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，准确分析图像并结合行程问题求解是解决本题的关键． 22. 【概念回顾】我们知道圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点组成的平面图形．由此可知，如图，若，则点A、B、C均在以O为圆心，OA为半径的圆上． 【知识运用】 如图，在中，将绕顶点逆时针旋转，得到，连结、． （1）若，求的大小． （2）若，当时，四边形面积的最大值为______． （3）【拓展应用】如图，将边长为的等边绕顶点逆时针旋转，得到，点为中点．过点作，交于点，当时，则长的取值范围是______． 【答案】（1）∠BED=62°； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形BCDE是⊙A的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补求得结果； （2）只需求得△ACD面积最大值：当AD⊥AC时，△ACD的面积最大，进一步求得结果； （3）连接AF，取AD的中点O，连接OF，OG，可推出OG=OA=OD=AD，从而点A、G、D、F在以O为圆心，3为半径的圆O上，可推出15°≤∠CAD≤90°，点G弧上运动，当FG是⊙O的直径时，FG最长，当∠CAD=15°时，FG最小，解△AFG求得FG的最小值． 【小问1详解】 解：∵AB=AC=AD=AE， ∴点B、C、D、E共圆， 即：四边形BCDE是⊙A的内接四边形， ∴∠BED+∠BCD=180°， ∵∠BCD=118°， ∴∠BED=62°； 【小问2详解】 解：如图1， 作AF⊥BC于F，作DH⊥AC于H， ∵AB=AC， ∴CF=BF=BC=3， ∴AF==4， ∴S△ABC=BC•AF=×6×4=12， ∵， ∵DH≤AD=5， ∴当DH=AD=5时，，此时AD⊥AC（图中）， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图2，连接AF，取AD的中点O，连接OF，OG， ∵AD=AE，点F是DE的中点， ∴AF⊥DE， ∴∠AFD=90°， ∴OF=OA=OD=AD=3， 同理可得，OG=OA=OD=AD， ∴点A、G、D、F在以O为圆心，3为半径的圆O上， ∵∠BAD=α， ∴∠CAD=α-∠BCA=α-60°， ∵75°≤α≤150°， ∴15°≤∠CAD≤90°， 如图3，点G在上运动，当运动时，==AD=6， 当∠DAG=15°时，FG最小， 作FH⊥AG于H， ∵∠AFD=90°，∠ADF=60°， ∴AF=6•sin60°=3， 在Rt△AFH中，∠FAH=∠FAD+∠DAG=45°， ∴FH=AF•cos45°=3×=， ∵， ∴∠G=∠D=60°， ∴， ∴3≤FG≤6， 故答案为：3≤FG≤6． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据条件确定共圆． 23. 如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动． 当点P与A、B不重合时，作点A关于点P的对称点，过作直线的垂线交直线于点D． 设点P的运动时间为秒． （1）的长为 ． （2）在点P运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）． （3）当时，求t的值． （4）点P在上运动过程中，当到的某两边所在直线距离相等时，直接写出t的值． 【答案】（1）3 （2）或 （3）或 （4）或或3 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）过点P作于点E，当时，根据题意，得，， 利用，求解即可；当时，过点P作于点F，根据题意，得，，，利用，求解即可． （3）当时，得到，求解即可；当时，利用全等三角形的判定证明，得到点P在中点，求解即可． （4）根据角的平分线性质，分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：过点P作于点E， 当时，根据题意，得，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 当时，过点P作于点F，根据题意，得，，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 【小问3详解】 解：当时，， ， ， 根据勾股定理，得， ， ∴． 当时，，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴点P在中点， ∴， ∴． 综上所述，当或时，． 【小问4详解】 解：当点在的平分线上时，如图，过点P作于点Q，根据题意，得，，， 根据角平分线性质定理，得， ， ， ， 解得； 当点在的平分线上时，如图，过点P作于点G，过点作于点T，根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ， ， ， 解得； ； 当点在的平分线上时，过点作于点N，于点M， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ； 综上所述，符合题意的t的值为或或3； 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a 为常数且）的顶点为A，与y轴交于点B． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）当时，抛物线的最高点的纵坐标为3，求a的值． （3）抛物线与直线交于两点，设抛物线在这两点之间的部分图象为G，若G上不存在纵坐标相等的两点，直接写出a的取值范围． （4）在抛物线（）上的点M、C的横坐标分别为、2，连结，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，以为邻边作正方形．当抛物线在正方形内的部分对应的函数值y随x的增大而减小或y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）且 （4）或或 【解析】 【分析】（1）配方即可求出顶点坐标，令，即可求出点B的坐标； （2）分，，根据二次函数的性质解答即可； （3）联立和得，求出两交点的横坐标为0和．在分当时，当时两种情况，分别求解即可． （4）先求出，，分当时，当时两种情况，画出图象解答即可； 【小问1详解】 解：将配方得， ∴， 令，则，即； 【小问2详解】 解：①若，开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远的点的纵坐标越大， 在中，， ∴最高点在处，则，解得； ②若，开口向下，顶点在范围内，顶点是最高点， ∴，解得； 【小问3详解】 解：∵抛物线与直线交于两点， 联立和得， 解得：或， ∴两交点的横坐标为0和． ①当时，， ∴图象上存在纵坐标相等的两点，不符合． ②当时，开口向下，对称轴为直线， 若图象上不存在纵坐标相等的两点，则需时，随的增大而增大， ∴只需满足， 解得，且． 【小问4详解】 解：∵点M、C的横坐标分别为、2， ∴，， 根据（1）可知，， ①当时，若，（点M在点C右侧），即， 如下图，y随x的增大而增大，符合题意． 若，（点M在点C左侧在点A右侧），即，如下图，抛物线不在正方形内，不符合题意． 若（M与A重合），解得， 若（M在A左侧），即，如下图，y随x的增大而减小，符合题意． ②当时，如图，在第三象限，C在顶点右侧； 如图，当在顶点A左侧时，抛物线在正方形内的部分对应的函数值y随x的增大而增大，符合题意． 当点A在上时，过点作轴，过点作轴，两者交于点，过点作轴，与的延长线交于点， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大，符合题意． 综上，当抛物线在正方形内的部分对应的函数值y随x的增大而减小或y随x的增大而增大时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $