精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期入学测试数学试题

长沙市第一中学高 2025 级新高一入学测试 数学试卷 时量:120 分钟 总分: 150 分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知对任意实数，式子 都有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 对任意实数，式子都有意义，，，解得． 2. 某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】由统计图可知，乙的物理成绩非常靠前，远远高于甲的物理成绩， 但甲、乙两人的理化总成绩却相差不大，说明甲的化学成绩比乙好； 丙的物理成绩非常靠前，比乙好，但是理化总成绩却比乙差许多，说明丙化学成绩比乙差. 综上所述，三人中化学成绩最好的是甲． 3. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知：中间小正方形的边长为：， ，而. 4. 已知 则 （ ） A. 81 B. 64 C. 47 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】， 原式． 5. 已知方程的两个实根为m，n，其中， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的图象结合平移的性质判定即可. 【详解】考虑函数是由函数向下平移个单位得到， 根据图像平移可知，答案选A. 6. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，于点H，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的性质结合勾股定理与等面积法计算即可. 【详解】连接．正方形和正方形， ．， ，， ． ， 即，解得. 7. 如图，在四边形中，分别在线段上，且，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点作的垂线，垂足分别为，连接，分析可得，同理可得，进而得到，类似可得，进而求解即可. 【详解】过点作的垂线，垂足分别为，连接， 则，，而，， 则， 同理，故， 类似可得，则， 因此. 8. 已知， 则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先换元，再利用立方差公式得出的表达式，然后代入中，最后整理化简即可. 【详解】设，则，所以，又， 即，所以，则， 故. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分）. 9. 将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A、原式，故此选项符合题意； B、原式，故此选项符合题意； C、原式，故此选项不符合题意； D、原式，故此选项符合题意． 10. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，将矩形沿直线（点在边上，点在边上）折叠，点的对应点恰好是边的中点，点的对应点落在反比例的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由翻转得到线段和角相等，由点A的坐标得到矩形边长，设，由勾股定理建立方程求得，即可求得，判断A选项；由三角形中角相等得到，即可得到边的关系，求得，判断C选项；从而求得点坐标，由点在反比例函数图象上即可求得，设，由勾股定理列方程即可求得，判断B选项. 【详解】如图，作轴于Q，连接， 由题意可得， 矩形的顶点A的坐标为，∴， ，∵点A的对应点D恰好是边的中点，， 设，则，在中，， ∴，解得，∴，故A正确，符合题意； ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ， ，故C错误，不符合题意； 点P落在反比例函数的图象上，，故D正确，符合题意； 设，则，∴， 即，解得，∴，故B错误，不符合题意； 11. 已知， 且， 则（ ） A. x的最小值是 B. z的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用变量大小顺序，结合放缩系数，构造不等式求范围，判断选项A, B；结合，采用增量换元统一变量判断选项C，D． 【详解】对于A：由，故，故A错误； 对于B：则，故，故B正确； 对于C：令，则， 且， 则依题意 ， 因此，当时取等号，故C正确； 对于D： ， 即，当且仅当时取等号，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将每道题的答案填写在横线内） 12. 已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数的取值范围是，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，讨论一次函数的增减性，从而求得的值. 【详解】当时，随的增大而减小， 当时，，当时，；当时，. ，解得； 当时，随的增大而增大， 当时，，当时，；当时，. ，解得. 故． 13. 如图，在中，，，，的平分线交于点，点分别为线段，边上的动点．则（1）的长为___;（2）的最小值为___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用角平分线性质得OC=CD，结合△ABC两种面积表达式列方程求解；借助角平分线的轴对称性转化线段，依据垂线段最短，求出点O到AB的垂线段长即为最小值. 【详解】是直角三角形，．作交于点D， ，又是的平分线，． ， 即， ．故答案为：． （2）是的平分线，点Q为动点，作点Q关于的对称点在上，． 作交于点P，当点三点共线且时， 最小，为最小值．由（1）可知，是直角三角形， 解得：．故答案为：． 14. 已知a，b，c为中的三个互不相同的整数，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】注意到， 因此要使得式子最小，则分母越大，分子越小， 故时，分子最小，分母最大， 即． 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16， 17题15分， 第18， 19题17分，共77分） 15. 先化简，再求值，求的值，其中. 【答案】 【解析】 【详解】由， 而， 则. 16. 【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢?于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们的长和宽（单位：cm）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 a 杏树叶的长宽比 b 【问题解决】填空： （1）上述表格中: ， ; （2）这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于 树的可能性比较大． （3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学被选中的机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少? 【答案】（1）， （2）杏，杨 （3） 【解析】 【分析】（1）由中位数、众数的定义求对应参数值； （2）由方差的意义及表格数据判断即可； （3）应用树状图法求概率. 【小问1详解】 将杨树叶的长宽比重新排列为， 所以其中位数，杏树叶的长宽比的众数； 【小问2详解】 由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差， 所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小； ，所以这片树叶来自杨树的可能性比较大； 【小问3详解】 根据题意画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种， 恰好小娟小东被选中的概率为. 17. 如图，在平行四边形OABC中，AB=2，∠BAC=30°，以点O为圆心，作⊙O与直线AC相切，切点为E，连接OE． （1）求⊙O的半径; （2）延长EO交⊙O于点F，G是射线EC上一点，若△EFG与△EOC相似，请求出EG的长; （3）P是⊙O上的一个动点，连接BP交直线AC于点H．在点P运动过程中， 是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2）或 （3）存在，最大值为3 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和圆的切线的性质，得到圆的半径； （2）分两种情况讨论，由三角形相似得到和边，即可求得； （3）过点作，得到，由相似得到的关系式，通过平移与⊙O相切，得到最大. 【小问1详解】 四边形是平行四边形，， ∴∵是的切线，∴，∴， ∴，∴的半径为：1； 【小问2详解】 ①如图所示，当时，， ， ， ②如图所示，当时，， ，综上所述：或； 【小问3详解】 如图所示，作，交的延长线于点Q， ，，， ，∴当最大时，最大， 平移，使平移后的直线与相切，设切点为，作，交于，连接， 当点P在时，最大，由上知，， 最大值为3． 18. 将抛物线 向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在左边），与y轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，E是抛物线上第四象限上的点，F是第四象限内的点，使四边形是平行四边形，连接BF，若△ABF的面积是 求点E的横坐标； （3）如图2，直线． 交抛物线C₂于M，N两点（点M在左边），直线交抛物线于G，H两点（点G在左边），分别交x轴于P，Q两点，求 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意对抛物线进行变形求解； （2）利用抛物线方程结合平行四边形的性质求出相关点坐标，结合面积公式构造方程，利用F是第四象限内的点求解； （3）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合已知条件消元，进而求解． 【小问1详解】 由题知，． 【小问2详解】 由（1）得；令，得，令，得， 解得或， 点坐标是点坐标是点坐标是． 设点E的坐标是， 如图，四边形是平行四边形， ， 点F的坐标是， ， 解得：，当时，， 不符合点F在第四象限的条件，故舍去， 点的横坐标为． 【小问3详解】 联立直线与抛物线，得到：， ，同理可得：． 设直线的解析式是， 直线的解析式是，联立直线与抛物线， 得到：， ， 同理可得：， 又令得：，同理， ， ， ， ． 19. 高斯是德国著名数学家，是被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉！以高斯命名的“高斯函数”也称为取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，定义x的小数部分为，用表示不小于x的最小整数； （1）设 求， （2）求方程的所有的正实数根； （3）已知t为正整数，若方程的所有不超过t的正实数解为 ，且满足，求t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设，从而判断参数范围，结合新定义即可得； （2）根据已知得，讨论、，结合反证思想得到，从而有，求出，即可得； （3）根据条件有，从而有，由可知，进而得到，最后结合已知即可求. 【小问1详解】 ，而， ； 【小问2详解】 由定义可知，故，即 ①若，则，从而，矛盾； ②若，则，若，则可知不成立； 若，将方程左边，而右边，矛盾； 若，将方程左边，而右边，矛盾； 因此，则，即， 因此； 【小问3详解】 首先，设，则，故， 因此，当时无解；当时， 由可知：， 故 ， 注意到，显然，从而， 因此， 此时，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学高 2025 级新高一入学测试 数学试卷 时量:120 分钟 总分: 150 分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知对任意实数，式子 都有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 3. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 4. 已知 则 （ ） A. 81 B. 64 C. 47 D. 30 5. 已知方程的两个实根为m，n，其中， 则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，于点H，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在四边形中，分别在线段上，且，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知， 则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分）. 9. 将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，将矩形沿直线（点在边上，点在边上）折叠，点的对应点恰好是边的中点，点的对应点落在反比例的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知， 且， 则（ ） A. x的最小值是 B. z的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将每道题的答案填写在横线内） 12. 已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数的取值范围是，则_____． 13. 如图，在中，，，，的平分线交于点，点分别为线段，边上的动点．则（1）的长为___;（2）的最小值为___． 14. 已知a，b，c为中的三个互不相同的整数，则的最小值为_________． 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16， 17题15分， 第18， 19题17分，共77分） 15. 先化简，再求值，求的值，其中. 16. 【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢?于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们的长和宽（单位：cm）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 a 杏树叶的长宽比 b 【问题解决】填空： （1）上述表格中: ， ; （2）这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于 树的可能性比较大． （3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学被选中的机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少? 17. 如图，在平行四边形OABC中，AB=2，∠BAC=30°，以点O为圆心，作⊙O与直线AC相切，切点为E，连接OE． （1）求⊙O的半径; （2）延长EO交⊙O于点F，G是射线EC上一点，若△EFG与△EOC相似，请求出EG的长; （3）P是⊙O上的一个动点，连接BP交直线AC于点H．在点P运动过程中， 是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 18. 将抛物线 向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在左边），与y轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，E是抛物线上第四象限上的点，F是第四象限内的点，使四边形是平行四边形，连接BF，若△ABF的面积是 求点E的横坐标； （3）如图2，直线． 交抛物线C₂于M，N两点（点M在左边），直线交抛物线于G，H两点（点G在左边），分别交x轴于P，Q两点，求 的值． 19. 高斯是德国著名数学家，是被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉！以高斯命名的“高斯函数”也称为取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，定义x的小数部分为，用表示不小于x的最小整数； （1）设 求， （2）求方程的所有的正实数根； （3）已知t为正整数，若方程的所有不超过t的正实数解为 ，且满足，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $