湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期入学测试数学试题

长沙市第一中学高 2025 级新高一入学测试 数学试卷 时量:120 分钟 总分: 150 分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知对任意实数，式子 都有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 3. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 4. 已知 则 （ ） A. 81 B. 64 C. 47 D. 30 5. 已知方程的两个实根为m，n，其中， 则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，于点H，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在四边形中，分别在线段上，且，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知， 则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分）. 9. 将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，将矩形沿直线（点在边上，点在边上）折叠，点的对应点恰好是边的中点，点的对应点落在反比例的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知， 且， 则（ ） A. x的最小值是 B. z的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将每道题的答案填写在横线内） 12. 已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数的取值范围是，则_____． 13. 如图，在中，，，，的平分线交于点，点分别为线段，边上的动点．则（1）的长为___;（2）的最小值为___． 14. 已知a，b，c为中的三个互不相同的整数，则的最小值为_________． 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16， 17题15分， 第18， 19题17分，共77分） 15. 先化简，再求值，求的值，其中. 16. 【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢?于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们的长和宽（单位：cm）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 a 杏树叶的长宽比 b 【问题解决】填空： （1）上述表格中: ， ; （2）这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于 树的可能性比较大． （3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学被选中的机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少? 17. 如图，在平行四边形OABC中，AB=2，∠BAC=30°，以点O为圆心，作⊙O与直线AC相切，切点为E，连接OE． （1）求⊙O的半径; （2）延长EO交⊙O于点F，G是射线EC上一点，若△EFG与△EOC相似，请求出EG的长; （3）P是⊙O上的一个动点，连接BP交直线AC于点H．在点P运动过程中， 是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 18. 将抛物线 向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在左边），与y轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，E是抛物线上第四象限上的点，F是第四象限内的点，使四边形是平行四边形，连接BF，若△ABF的面积是 求点E的横坐标； （3）如图2，直线． 交抛物线C₂于M，N两点（点M在左边），直线交抛物线于G，H两点（点G在左边），分别交x轴于P，Q两点，求 的值． 19. 高斯是德国著名数学家，是被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉！以高斯命名的“高斯函数”也称为取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，定义x的小数部分为，用表示不小于x的最小整数； （1）设 求， （2）求方程的所有的正实数根； （3）已知t为正整数，若方程的所有不超过t的正实数解为 ，且满足，求t的值． 长沙市第一中学高 2025 级新高一入学测试 数学试卷 时量:120 分钟 总分: 150 分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分）. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将每道题的答案填写在横线内） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16， 17题15分， 第18， 19题17分，共77分） 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】（1）， （2）杏，杨 （3） 【17题答案】 【答案】（1）1 （2）或 （3）存在，最大值为3 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $长沙市第一中学高2025级新高一入学测试 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 贴条形码区 班级： (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 正确填涂 ■ 缺考标记 客观题(18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][c][D 填空题 12: ■ 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. 囚ㄖ■ 17. ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 61 ■ 口 ■