暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练-2026年七升八暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦角平分线性质、判定及作图，通过精选例题与变式题构建“概念理解-性质应用-判定推理-作图实践”的完整训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线的性质|8题（例1-4+变式1-4）|选择/填空为主，涉及面积计算、距离转化|以性质定理为核心，结合三角形面积公式，实现从“角平分线到距离相等”的转化应用| |角平分线的判定|6题（例1-3+变式1-3）|证明题为主，需构造全等或利用距离关系|基于性质逆定理，通过“距离相等证角平分线”，强化逻辑推理与几何论证能力| |角平分线的作图|6题（例1-3+变式1-3）|尺规作图及后续计算证明|衔接性质判定，通过作图实践深化对“到角两边距离相等的点在角平分线上”的空间观念理解|

暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 考点一 角平分线的性质 考点目录 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的作图问题 例1.(25-26八年级下·福建漳州期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,若AB=6, AC=4,DE=2,则△ABC的面积为(). E B D A.20 B.12 C.10 D.6 【答案】C 【分析】如图：过D作DF上AC于F,利用角平分线的性质定理可得DF=DE=2,再利用三角形的面积关系以 及三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：如图：过D作DF⊥AC于F, E D :AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E, .DF=DE=2, 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 aBc的面积为8m+5m-24B-DE+号4C-DF 1 2×6x2+2×4x2=10 例2.(25-26八年级下广东清远期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,若CD=3,则点D 到AB的距离为() B D A.4.5 B.4 C.3.5 D.3 【答案】D 【分析】先作DE⊥AB,再根据角平分线的性质定理解答即可. 【详解】解：过点D作DE⊥AB,交AB于点E, ,AD平分∠BAC,∠C=∠AED=90°， .DE CD=3. 所以点D到AB的距离是3. A C D 例3.(25-26八年级下·甘肃白银期末)如图，在△ABC中，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O,AB=6cm, BC=8cm△ABO 9cm2△BOC 的面积为，则 的面积为 B 【答案】 12cm2 【分析】过点O作OM L AB-于点M,ON L BC-于点N,OP LAC于点P,由角平分线的性质推出 2 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 OM=OP=ON,由三角形的面积求出OM=3cm,得到ON=3cm,即可求出△BOC的面积. 【详解】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,OPLAC于点P, M :OA平分∠BAC,OM⊥AB,OP⊥AC, ...OM=OP :OC平分∠ACB,ON⊥BC,OP LAC, ..ON=OP ∴OM=ON, S80= 4B.OM =9cm2 1 六2x6x0M=9, ..OM =3cm, ..ON =3cm, BC=8cm, S.moc=BC.ON=x8x3=12em 例4.(2526八年级下广东佛山期末)如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F.若 AB=6,BC=4,△ABC的面积为8，则△ABF的面积为 【答案】3 【分折1根据题点得BE=EC=8C=2和Sa号Sac=4,过点P作FM1BC于点M,过点F作NL4B 1 2 于点N,根据角平分线得PM=N,则有 4r=3S.F,结合 S.ABE=S.ABF+S.BEF =3S.BEF+S.BEF=4 ,解得 3 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 SABEF=1 S.ABF =3S.BEF=3 即可得 【详解】解：，AE是中线，BC=4, BE=EC=号BC=2, :△ABC的面积为8， 、1 SAARE=7SAANC=4. 过点F作FM⊥BC于点M,过点F作FN⊥AB于点W,如图， D EM BD是角平分线， .FM=FN. 1 1 S.-4B-FN,S.-EB-FM,4B=6 1 AB·FN S.= .S.BEF AB=3 LEB-FM EB 则父F=3SE .S.ABE=S.4oF+S.BEF=3S.BEF+S.BEF=4 SABEF=1 S.ABF=3S.BEF=3 则 变式1.(25-26八年级上山东德州期中)如图，AB‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且 与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是() 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 B A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【分析】过点P作PE⊥BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE,PD=PE,那么 PE=PA=PD,又AD=8,进而求出PE长. 【详解】解：过点P作PE⊥BC于E,如图， B :ABICD,PA⊥AB, .PD LCD. :BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, .PA=PE,PD=PE, .PE=PA=PD. PA+PD=AD=8. ∴.PA=PD=4， ∴.PE=4 变式2.(25-26八年级上四川南充阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为 圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点：②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作 弧，两弧相交于点P;③作射线BP,交AC于D点.若AB=10,BC=6,AC=8,则线段CD的长为() 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 D M B 16 A.3 B.5 C.3 D.6 【答案】A 【分析】过点D作DE⊥AB于点E,根据基本作图，得∠CBD=∠ABD,设CD=DE=x,根据三角形的面积不变， 得74B-DE+8CDC=5C4C,求解即可 【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E,根据基本作图，得∠CBD=∠ABD, .:DC⊥BC,DE⊥AB .DC=DE, 设CD:DE=根据三角形的面积不变，符4BD5+8C-DC-BC4C, 1 :AB=10,BC=6,AC=8, 2x10-x+与×6x=号x6x8. 1 1 解得x=3: EM 故线段CD的长为3： 变式3.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=40°，点D在AC边上，且 AD=3,点E是BC边上的动点，连接BD、DE,若DE的最小值是3，则∠ABD的度数为一°. 6 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 【答案】20 【分析】根据DE有最小值可得DE⊥BC,由此可得AD=DE=3,结合角平分线的性质求解即可. 【详解】解：当DE有最小值时，则有DE⊥BC, :∠A=90°， AD⊥AB, .AD=DE=3. .BD为∠ABC的角平分线， ∠ABC=40° ∠ABD=∠ABC 2 2×40°=20 变式4.(2526八年级下河南平顶山期末)如图，AD‖BC,CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC,AB过点P, 且与AD垂直，垂足为A,交BC于B,若AB=IO,则点P到DC的距离是」 AD B 【答案】5 【分行】过点P作pLCD于点上，可证明B1BC,由角T分线的作得到P4=PB=P你一号48=5，系此可 得答案. 【详解】解：如图所示，过点P作PF⊥CD于点F, AD :AD川BC,AB⊥AD, .AB⊥BC, 又.CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC, .PA=PF,PB=PF. > 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 1 PA-PB-PF-24B-5. ∴.点P到DC的距离是5. 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 考点二 角平分线的判定 例1.(2526八年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ACE中，∠E=90°，点B在边AE上，点D在边CE上， 连接AD、BD,过点D作DF⊥AC于点F,BE=CF,DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线. B 【答案】证明：：∠E=90°，DF⊥AC, .∠E=LCFD=90°， ..BE =CF,DB=DC, Rt△BDE≌RIACDF(HL) ∴DE=DF, .AD是∠BAC的平分线. 【分析】先证明 ABDE≌Rt4CDF(HL),则DE=DF,再根据角平分线的判定定理可得4D是∠B1C的平分线。 【详解】略 例2.(25-26八年级下辽宁锦州期中)如图，在△ADF中，∠F=90°，点B、C分别在边AF、DF上，连接 AC、BC,CB=CD,∠D=∠CBF,在边AD上截取DE=BF,连接CE.求证：AC平分∠DAB 【答案】证明见解析 CDE≌ACBF(SAS 【分析】证明 得到∠DBC=∠F=90°，CE=CF,再根据角平分线的判定定理可得结论. 【详解】证明：在△CDE与△CBF中， .DE=BF,∠D=∠CBF,CD=CB △CDE≌ACBF(SAS) 9 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 .∠DEC=∠F=90°，CE=CF. .CE⊥AD,CF⊥AF .AC平分∠DAB 例3.(2425八年级上：江西吉安·期中)解答下列各题 (I)【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,且PE=PF，,求证：点P在 ∠AOB的平分线上： A F B 图1 (2)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=9O°，点E在边AB上，DE=DC,DF⊥AC于点F,BE=FC. 图2 ①求证：AD平分∠BAC: ②若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54，求线段AC的长 【答案】(1) 证明：连接OP,如图1， E B 图1 PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, ∠PE0=∠PF0=90°， 在Rt△PEO和Rt△PFO中， PO=PO PE=PF, 10 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 Rt△PEO≌RtAPFO(HL) .∠POE=∠POF. 点P在∠AOB的平分线上： (2) ①证明：，DF⊥AC, ∠DFC=90°， 在RtADBE和RtADFC中， (DE DC BE=FC, RtaDBE≌RtADFC(HL) .DB=DF, 而DB⊥AB,DF⊥AC, .AD平分∠BAC: ②15 【分析】(I)连接OP,如图1，根据“HL”可证明Rt△PEO≌Rt△PFO,所以∠POE=∠POF,从而得到结论： (2)①先证明 tDBE≌RtDFC(L）,得到DB=DF,然后根据(I)的结论可判断AD平分∠B1C, ②利用三角形面积公式得到4BBD+号4C-DF=54.由于DF:BD=4'AB=12代入解方程即可。 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：，S△MBD+S△4CD=S△ABc, 4B-8D+号4CDF-54, 1 ,DF=BD=4,AB=12, 1 1 ×12×4+。AC×4=54 .21 解得AC=15 即线段AC的长为15. 变式1.(25-26八年级上江苏扬州期中)如图，在△ABC中，∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P,延 11 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 长BA,BC,PM⊥BE,PN⊥BF.求证： E M B CNF (I)CP平分∠ACF, (2)∠ABC+2∠APC=180° 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(I)过点P作PD⊥AC于D,根据角平分线的性质定理得到PM=PV,PM=PD,进而得到PN=PD, 从而得到结论： (2)易证得 PMM≌PAD(HL)和△PCD≌aPCN(HL),进而得到∠APM=∠APD和∠CPD=∠CPN,从而得到结 和 论 【详解】(1)解：如图，过点P作PD⊥AC于D, E M A 平分 平分 B CN F .PB ∠ABC PA∠EAC PM⊥BEPN⊥BFPD⊥AC ∴PM=PN,PM=PD, :.PN PD, :PN⊥BF,PD⊥AC, “点P在∠ACF的角平分线上， .CP平分∠ACF: (2)解：PM⊥BE,PN⊥BF, ∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°， ∴.∠ABC+∠MPN=180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， 12 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 PA=PA PM=PD, ∴.△PAM≌△PAD(HL) .∠APM=∠APD, 在Rt△PCD和Rt△PCN中， 「PC=PC PD=PN, ∴.△PCD≌△PCN(HL) ∠CPD=∠CPN, .∠MPN=2∠APC, ∠ABC+2∠APC=180° 变式2.(25-26八年级上四川广安期末)如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，连接AD,∠ABC的平 分线交AD于点E,连接CE,过点E作EH⊥BD于点H,若∠ACE=34°，∠CEH=56°. B D (I)求证：AE平分∠CAF: 求aACD ②若4B=8,CD=0,4C=6,且5ae=16, 的面积. 【答案】(1) 证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M,EN⊥AC于点N, M 平分 H D.BE ∠ABC .EM=EH 13 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 .∠ACE=34°，∠CEH=56°， .∠HCE=90°-∠CEH=90°-56°=34°=∠ACE. ∴CE平分∠ACD, :EN=EH, :EM =EN, AE平分∠CAF. (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定 定理是解题的关键。 (I)过点E作EM⊥BF于点M,EN⊥AC于点N根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、 EN=EH,即可得到EM=EN,根据角平分线的判定定理即可解答； (2)根程8c号4BBM结合已知条件得Ey的长，最后运用Sn=Saa+5m即可解答， 【详解】(1)略 (2)解：B=8,CD=10,4C=6,且5me=16 =1AB.EM=1x8.EM=16. 2 .EM=4, ∴.EN=EH=EM=4, :5Sam=5ae+5m方4C-EN+号cD-gH=方6x4+xiI0x4=2, 故△ACD的面积为32， 变式3.(25-26八年级上山东临沂期末)如图，点M为BC的中点，DM平分∠ADC,∠B=∠C=90° (I)求证：AM平分∠BAD. (2)猜想线段CD,AB,AD之间的数量关系，并证明. 14 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 【答案】(1) 证明：如图，作MN⊥AD交AD于点N, D M 点为的中点， B M BC .MC=MB DM平分∠ADC,MN⊥AD,∠C=90°， .MC=MN, :MB=MN, 又：∠B=90°，即MD⊥AB, .点M在∠BAD的平分线上， 即AM平分∠BAD: (2) 解：猜想：AD=CD+AB, 证明如下， 由(1)可知，MC=MN, 又：MD=MD, .Rt△DCM≌RtADNM(HL), .CD=ND. 同理可得，Rt△ABM≌RteANM,∴AB=AN, ·AD=AN+ND .AD=CD+AB 【分析】本题考查线段中点的定义，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的性 质和判定是解题的关键。 (1)作MN⊥AD交AD于点N,根据线段中点的定义和角平分线的性质，易证MB=MN,再根据角平分线的判 定即可求证： (2)利用“HL”,易证RtADCM≌RtDNM,Rt△ABM≌RtANM,从而CD=ND,AB=AN,进而根据 AD=AN+ND,可证AD=CD+AB 15 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 【详解】(1)略 (2)略 16 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 考点三 角平分线的作图问题 例1.(2526八年级下·陕西汉中期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.用尺规作图作射线BP,交AC于D, 并使D到BC,AB的距离相等. 【答案】 D 【分析】作∠ABC的角平分线即可. 【详解】略 例2.(25-26八年级下·陕西成阳期末)如图，已知∠AOB,点C在射线OA上，过点C作射线CD,请用尺规作 图法在射线CD上找一点P,使得点P到OA、OB的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法） A C B 【答案】解：如图所示，点P即为所求 D B 【分析】根据角平分线的性质定理作图即可. 【详解】略 例3.(2026：广东梅州三模)如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，且AB=BD. 17 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 B D (1)实践与操作：作∠ABC的平分线，交AC于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). (2)应用与证明：在(1)的条件下，连接DE,求证：AE=DE A 【答案】(1) B D (2)证明：：BE是∠ABC的平分线， ∠ABE=∠DBE. 在△ABE和△DBE中 AB=DB ∠ABE=∠DBE BE=BE ∴.△ABE≌△DBE(SAS) .AE DE. 【分析】(1)以点B为圆心，任意长为半径作弧，与AB、BC相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距 离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交AC于点E: (2)结合角平分线的定义，可得∠ABE=∠DBE,证明 ABE≌△DBE(SAS) 即可证得结论： 【详解】(1)略 (2)略 变式1. (25-26七年级下广东佛山期中)如图，己知△ABC,∠B=90°」 B (I)尺规作图：作∠A的平分线，交BC于D.(不写作法，保留作图痕迹). 18 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 (②)在第(1)题的前提下，若4C=8,Sac=12 求BD的长 【答案】(I)∠BAC的平分线AD如图所示： B (2)3 【分析】(1)根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； (2)作DE⊥AC于点E,如图，根据角平分线的性质可得DB=DE,再根据三角形的面积公式求出DE即可. 【详解】(1)略： (2)解：作DE⊥AC于点E,如图， ,AD平分∠BAC,∠B=90°， .DB=DE, .AC=8 SMuDC=12 2*8DE=12. 解得DE=3, DB=3 B 变式2.(25-26七年级下·山东济南期中)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°」 B (1)画出△ABC的角平分线AD: (2)求∠ADB的度数. 10 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 【答案】(1) 由题意，画图如下： D B (2)105° 【分析】1)根据尺规作角平分线的方法作图即可： (2)根据角平分线的定义，求出∠BAD的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可 【详解】(1)解：略： (2)解：：∠BAC=60°，∠B=45°，AD为△ABC的角平分线， :∠BAD= 2<BAC=30° .∠ADB=180°-45°-30°=105° 变式3.(24-25七年级下吉林长春期末)在△ABC中，DE∥BC,∠B=50° (I)用圆规和无刻度直尺作∠DEC的角平分线交BC于点F(保留作图痕迹)； (2)若LEFC=55°，求∠A的度数. 【答案】(1) 如图所示。 H B (2)60° 20 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 【分析】(1)根据尺规作图--角平分线的步骤作图即可： (2)先根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=50°，∠DEF=LEFC=55°，再由角平分线得到 ∠DEC=2∠DEF=110°，然后通过三角形的外角性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：DE∥BC, ·.∠ADE=∠B=50°，∠DEF=∠EFC=55°， :EF平分∠DEC, ·∠DEC=2∠DEF=110°， :∠DEC是△ADE的外角， ∠A+∠ADE=∠DEC, ∴.∠A=∠DEC-∠ADE=60°， 21暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 暑假预习：角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 考点目录 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的作图问题 考点一 角平分线的性质 例1．（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 例2．（25-26八年级下·广东清远·期末）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 例4．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 变式1．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 变式3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 变式4．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 考点二 角平分线的判定 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 例2．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 例3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 变式1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 变式2．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 变式3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 考点三 角平分线的作图问题 例1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 例2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点在射线上，过点作射线，请用尺规作图法在射线上找一点，使得点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 例3．（2026·广东梅州·三模）如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 变式1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 变式2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 变式3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，． (1)用圆规和无刻度直尺作的角平分线交于点保留作图痕迹； (2)若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $