暑假预习：三角形的稳定性、确定第三边取值范围、三角形相关线段的作图问题专项训练-2026年七升八暑假数学（人教版）

**基本信息** 初中数学暑假专项训练，聚焦三角形稳定性、第三边取值范围、相关线段作图三大核心考点，以典型例题与变式题构建从概念理解到技能应用的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的稳定性|4题（2例+2变式）|实际应用选择题，考查稳定性在建筑、支架等场景的应用|从三角形结构特性到现实问题解决，体现几何直观与应用意识| |确定第三边取值范围|6题（3例+3变式）|选择（不可能值）、填空（可能值/周长），涉及两边定/含参数情况|基于三角形三边关系原理，培养推理意识与运算能力| |三角形相关线段的作图问题|9题（4例+5变式）|选择（判断高的位置）、操作题（作高/角平分线/中线）|从概念认知到动手操作，发展空间观念与几何直观|

暑假预习：三角形的稳定性、确定第三边取值范围、三角形相关线段的作图问题专项训练 暑假预习：三角形的稳定性、确定第三边取值范围、三角形相关线段的作图问题专项训练 考点目录 三角形的稳定性 确定第三边取值范围 三角形相关线段的作图问题 考点一 三角形的稳定性 例1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【详解】解：厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 例2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 变式1．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的两边之和大于第三边 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，构造三角形支架比较牢固稳定. 变式2．（25-26七年级下·山西长治·期末）滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】A 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形等其他多边形不具备稳定性，桥梁搭建三角形结构设计是利用了三角形的稳定性． 考点二 确定第三边取值范围 例1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边长不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，即可判断出不符合要求的选项． 【详解】解：设该三角形第三边长为， 根据题意可得，即， 选项中，，都在该范围内，只有不在范围内， 因此该三角形第三边长不可能是． 例2．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）的三边长分别是，，，则的周长不可能是（     ） A．11 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，进而得到周长的取值范围，即可判断出不可能的周长． 【详解】解：∵的三边长分别是，，， ∴的周长， 由三角形三边的关系可得， ∴， ∴， ∴的周长不可能是19． 例3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）已知三角形中两条边的长度分别为2和5，则此三角形的第三边的长度可能是_______．（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再在范围内取一个符合条件的值即可． 【详解】解：设三角形第三边的长度为， 根据三角形三边关系可得，即， ∴第三边的长度可以为（答案不唯一）． 变式1．（25-26七年级下·上海金山·期末）现有长度为、、的三根木条，三根木条首尾相接，能组成三角形．的大小可以是（     ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：∵已知三角形的两边长分别为和，第三边长为 ∴即 对比选项，只有满足该范围 ． 变式2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在手工课上，小明有两根长度分别是和的木棒，他想再取一根木棒与已有的两根木棒首尾相接拼成一个三角形．他再取的这根木棒的长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，先求出第三边的取值范围，再匹配符合条件的选项即可． 【详解】解：设再取的木棒长度为，根据三角形三边关系，可得 ，即， 只有满足，因此选B． 变式3．（25-26七年级下·四川成都·期末）若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是___． 【答案】 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边的取值范围，结合最长边为奇数的条件确定第三边的长度，再计算三角形的周长． 【详解】解：设该三角形的第三边长为， 由题意得，即 ∵该三角形的最长边为奇数， ∴，且为奇数， ∴ ∴该三角形的周长为 ． 考点三 三角形相关线段的作图问题 例1．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． 例2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 例3．（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线； （2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高． 【详解】（1）解：如图，为三角形的三条角平分线； （2）解：如图，为三角形的三条高． 例4．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 变式1．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 变式2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线的定义即可解答． 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 变式4．（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知，求作： (1)的平分线； (2)边上的中线； (3)边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线，高，理解三角形的角平分线，中线，高的定义是解题的关键． （1）作的角平分线，交于点D，线段即为所求； （2）取边的中点E，连接，线段即为所求； （3）过点A向边所在直线作垂线，垂足为F，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图，为所求． （3）解：如图，为所求． 变式5．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了作三角形的中线和高线，以及三角形的面积计算，清楚三角形的中线可以等分面积是解题的关键．（1）根据三角形的中线和高线的概念作出图形即可；（2）先求出的面积，然后根据是的中线，可以等分面积，即可获解． 【详解】（1）解：如图，高和中线即为所求； （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：三角形的稳定性、确定第三边取值范围、三角形相关线段的作图问题专项训练 暑假预习：三角形的稳定性、确定第三边取值范围、三角形相关线段的作图问题专项训练 考点目录 三角形的稳定性 确定第三边取值范围 三角形相关线段的作图问题 考点一 三角形的稳定性 例1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 例2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 变式1．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的两边之和大于第三边 D．直角三角形的两个锐角互余 变式2．（25-26七年级下·山西长治·期末）滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 考点二 确定第三边取值范围 例1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边长不可能是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）的三边长分别是，，，则的周长不可能是（     ） A．11 B．12 C．14 D．19 例3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）已知三角形中两条边的长度分别为2和5，则此三角形的第三边的长度可能是_______．（写出一个值即可）． 变式1．（25-26七年级下·上海金山·期末）现有长度为、、的三根木条，三根木条首尾相接，能组成三角形．的大小可以是（     ） A．1 B．4 C．5 D．6 变式2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在手工课上，小明有两根长度分别是和的木棒，他想再取一根木棒与已有的两根木棒首尾相接拼成一个三角形．他再取的这根木棒的长度可以是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级下·四川成都·期末）若三角形的两边长分别是3，4，最长边是奇数，则该三角形的周长是___． 考点三 三角形相关线段的作图问题 例1．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 例2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 例4．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 变式1．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 变式2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 变式4．（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知，求作： (1)的平分线； (2)边上的中线； (3)边上的高． 变式5．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 2 学科网（北京）股份有限公司 $