正方形的判定与性质综合、正方形的折叠问题专项训练-2026年人教版数学八升九暑假培优

**基本信息** 聚焦正方形判定与性质综合及折叠问题，以题载知，覆盖中考高频考法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形的判定与性质综合|3例+3变式|含证明正方形、探究线段/角度关系，涉及动点、矩形背景|以正方形定义为核心，关联矩形/菱形性质，通过全等/等腰直角三角形实现性质应用| |正方形的折叠问题|3例+3变式|含翻折后角度计算、线段长度、作图及动态探究|基于轴对称性质，结合勾股定理构建方程，体现空间观念与转化思想|

正方形的判定与性质综合、正方形的折叠问题专项训练 正方形的判定与性质综合、正方形的折叠问题专项训练 考点目录 正方形的判定与性质综合 正方形的折叠问题 考点一 正方形的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图1所示，在正方形中，点 为边上一点，连接，过点 作交 于点 ，过点 作交的延长线于点 ． (1)请问和 有何数量关系，并说明理由； (2)如图所示，在（1）的条件下，以和 为边向右作矩形，连接 交于点，求的度数． 例2．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 例3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 变式1．（24-25八年级下·贵州·阶段检测）如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 变式3．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 考点二 正方形的折叠问题 例1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知正方形的边长为，点E是射线上的点，且，连接，将沿翻折得到，交直线于点F，连接． (1)如图1，点E在线段上． ①求的度数； ②求的周长； (2)如图2，P是线段上一点，点Q在边上，作直线，使得的周长等于正方形周长的一半（要求：仅用无刻度直尺与圆规作图，简要说明作图步骤）； (3)当点E在的延长线上时，求的长． 例2．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）在矩形中，，点E在边上（不与点A、D重合），将沿翻折得到． (1)如图1，当时，的延长线交于点G． ①求证：； ②若平分，，则点F到的距离为______； (2)如图2，当时，连接，，，若，求的长； (3)如图3，当时，的延长线交于点G，的延长线交于点H，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 例3．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 变式1．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． (1)如图1，若点落在对角线上，求的长； (2)如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； (3)如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 变式3．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $正方形的判定与性质综合、正方形的折叠问题专项训练 正方形的判定与性质综合、正方形的折叠问题专项训练 考点目录 正方形的判定与性质综合 正方形的折叠问题 考点一 正方形的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图1所示，在正方形中，点 为边上一点，连接，过点 作交 于点 ，过点 作交的延长线于点 ． (1)请问和 有何数量关系，并说明理由； (2)如图所示，在（1）的条件下，以和 为边向右作矩形，连接 交于点，求的度数． 【答案】(1)， 理由：如下图所示， 四边形是正方形， ，， ∵ ， 又， ， ， 在与中， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可证，再根据平行线的性质可证，可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得； （2）首先连接根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，再根据可证，可证是等腰直角三角形，可得，再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，， 矩形是正方形， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点E作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，然后证明四边形是矩形，得到，从而得到，然后证明得到，即可证明矩形是正方形； （2）证明得，进而推出，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点E作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵，， ． ∵， ∴四边形是矩形． ． ∵ ． ． ． ． ∴矩形是正方形； （2）解：． 证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，． ． ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 例3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为等腰直角三角形中，是斜边上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得出与的位置关系和数量关系。因为四边形是平行四边形，且已得出，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可完成证明． （2）先根据的长度和等腰直角三角形的性质，求出的长度，进而得到正方形的边长。然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算的长度． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线， ∴， ∴为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． （2）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 变式1．（24-25八年级下·贵州·阶段检测）如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【分析】（1）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，，从而可得，即可证得结论； （2）由正方形的面积可得边长，根据勾股定理计算，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵正方形的面积为4， ∴，， ∴， ∴的长为． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 变式3．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；由（1）知，四边形是正方形，得出．由，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是正方形， ． ∵， ， ，， ． ， ， ． 考点二 正方形的折叠问题 例1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知正方形的边长为，点E是射线上的点，且，连接，将沿翻折得到，交直线于点F，连接． (1)如图1，点E在线段上． ①求的度数； ②求的周长； (2)如图2，P是线段上一点，点Q在边上，作直线，使得的周长等于正方形周长的一半（要求：仅用无刻度直尺与圆规作图，简要说明作图步骤）； (3)当点E在的延长线上时，求的长． 【答案】(1)①；②； (2) 解：①分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②作直线交于点，则直线即为所求； (3). 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，证明，得到，得到，即可得出结果；②利用折叠的性质，全等三角形的性质，等量代换求出的周长为即可； （2）分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点， 即可，易得得到，进而得到的周长等于，即正方形周长的一半； （3）根据题意，画出图形，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：∵正方形，边长为， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∴， ∵折叠， ∴， ∴的周长； （2）略 （3）解：当点E在的延长线上时，如图， ∵折叠， ∴， 同（1）法可得：， ∴， 设，则,，， ∵， ∴，即， ∴， ∴. 例2．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）在矩形中，，点E在边上（不与点A、D重合），将沿翻折得到． (1)如图1，当时，的延长线交于点G． ①求证：； ②若平分，，则点F到的距离为______； (2)如图2，当时，连接，，，若，求的长； (3)如图3，当时，的延长线交于点G，的延长线交于点H，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明：当时，四边形为正方形， ， 将沿翻折得到， ， ， ∵， ， ， ； ②； (2) (3)， 理由如下：在矩形中，当时，设，则， 根据折叠可得，， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， 如图，连接， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ． 【分析】（1）①根据折叠可得，再通过角度转换得到，证明即可解答； ②计算出，利用含角的直角三角形边长关系即可解答； （2）延长交于点，证明，设，利用勾股定理解方程即可； （3）设，则，利用勾股定理求得，求得，再计算，设，则，根据，求得，即可解答． 【详解】（1）①略； ②解：如图，过点作于点， 平分， ， 根据折叠可得，， ， ， ， ，即点F到的距离为； （2）解：如图，延长交于点， ， 在矩形中，当时，， 根据折叠可得，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， （3）略 例3．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点， ∴， ∴． ， ， ， 平分； (2) (3)6 【分析】（1）根据折叠的性质得到，进而可知，根据平行线的性质得到，可知，即可得到平分； （2）证明，进而证明，可知； （3）设正方形的边长为，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点向作垂线，垂足为点． 在和中， ， ，． 在和中， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为． 则，，． 在中， ， ， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为6． 变式1．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，． 【分析】（1）可证明，从而得出； （2）过点G作于H，根据正方形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到； （3）连接，过点作交于，可得，再证明即可得，进而勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点G作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴同理可得：， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， 将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ； 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． (1)如图1，若点落在对角线上，求的长； (2)如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； (3)如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． (1)根据正方形的性质可知，当点落在对角线上时，由折叠的性质可知，，，，从而可知，根据折叠的性质可知； (2)连接交于点，延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的对边平行可证，根据等角对等边可知，可证结论成立； (3)连接，在中，，，利用勾股定理可以求出，当点落在上时，的长最短，根据，可知. 【详解】（1）解：在正方形中， ，，， ， 由折叠得，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，连接交于点，延长交于点， 由折叠得，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，连接，在中，，， ， ， ， 当点落在上时，的长最短， 此时， 由（2）知，， ， 当的长最短时，． 变式3．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）①2；② 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，可证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可．②构造平行四边形，可得，可证，可得，再利用逆等线模型，过K作于点K，且，证明，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $