精品解析：贵州遵义市南白中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

遵义市南白中学2025-2026学年高一下学期期中考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知，故. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”为全称命题， 则其否定为“，”. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设点P到坐标原点的距离为， 则. 4. 一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，结合扇形的弧长、面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为（）， 由题意可得方程组： ，解得，， 因此该扇形的圆心角弧度数为，故A正确. 5. 已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算向量的模长，对两边平方求出，再代入投影数量公式计算即可. 【详解】由，可得， 已知，将等式两边平方并展开得， 又因为，所以解得； 则在上的投影数量为，故B正确. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，故， 则原式. 7. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式确定每个选项对应函数解析式，先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可． 【详解】若， 则，， ，， 由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项B，C； 对于选项A，，当时函数值为，从而排除选项A. 故选：D． 8. 已知，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令新向量代换条件，将目标式转化为的模长的二次函数，配方求最值，并验证等号成立条件. 【详解】设与为任意向量，令，则由题设知，且. 于是. 由向量数量积的性质得，所以. 令 ，则需最小化 . 该二次函数在处取得最小值. 等号可验证成立：当，且与同向，时，. 因此的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分． 9. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，,故B正确； 对于C，,故C正确； 对于D，,故D正确. 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若，则事件与相互独立 C. 若发生时一定发生，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若发生时一定发生，则，则，故C不对． 对于D，,因为 因为，所以，故D正确. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（ ） A. 的最小正周期为4 B. 的图象关于点对称 C. 为奇函数 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知得到的图象关于直线、对称，进而得到的最小正周期为4，利用奇偶性和周期性依次判断各项的正误即可. 【详解】因为 是定义在上的偶函数，所以， 即，函数的图象关于直线对称， 因为，所以，函数的图象关于点中心对称， 由，令，则， 因为，即， 所以，即， 进一步得，所以是函数的一个周期， 若存在更小的正周期，则，而上， 结合其对称性，在上的唯一解是， 故不存在小于的正周期，最小正周期为，A 正确， 由，则， 由于，显然不恒为，因此图象不关于对称，B 错误， 令，则，且， 由得， 由得， 因为， 所以，即为奇函数，C 正确， 当时，，结合函数的对称性， 当时，函数表达式为， 此时， 即，解得， 结合最小正周期为，解集为，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】计算的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，，则. 又，则  . 即  ，整理得，解得. 13. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 14. 已知外接圆圆心是，两条边上的高线相交于点，是内一点，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设外心为原点，由重心性质得三顶点向量和，证明该向量对应点即为垂心，从而建立向量关系，求得比值. 【详解】设为原点，记. 由于在同一圆上，则. 由题意，所以. 即①. 取点 ，使， 则， 于是. 因此 ，同理可得 ，所以 就是三角形 的垂心 . 故. 结合①得，从而. 因此.​ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； （2）用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 【答案】（1），分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图面积之和为求出的值，根据累计频率确定分位数所在区间并列方程求解； （2）根据频率比确定分层抽样各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得， 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以分位数位于第组， 设分位数为，则，解得， 所以该校学生周平均课外阅读时间的分位数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知， 组的频率为，组的频率为， 两组频率之比为， 利用分层抽样的方法从这两组中抽取人， 则从组中抽取人，记为， 从组中抽取人，记为， 从这人中随机选出人，样本空间，共个样本点， 其中人恰好在同一组的为，共个样本点， 所以所求概率为． 16. （1）计算； （2）已知． （ⅰ）化简； （ⅱ）关于的方程有解，求的取值范围． 【答案】 (1) (2) (ⅰ) ，定义域 ；(ⅱ) 【解析】 【分析】（1）由对数的运算性质和幂的运算性质可直接得到计算结果； （2）（i）由诱导公式可直接得到化简结果，注意求函数的定义域，需要考虑分母不为零和正切函数自身的定义域； （ii）运用“参变分离法”，原方程有解就是新方程有解，求函数的值域即可解决问题. 【详解】（1）； （2）（i）， 其中，，所以， 即，其定义域为； （ii）， 由题意可知，方程有解， 令， 则的取值范围就是函数的值域， ， 令，则且， 于是可化为， 所以且， 所以函数的值域为， 即的取值范围是. 17. 已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间，最值和最值点． 【答案】（1） （2） 单调递减区间为 ；最大值为 ，最大值点为 ；最小值为 ，最小值点为 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的计算公式和三角恒等变换的“二倍角公式”、“辅助角公式”即可求出函数的解析式； （2）使用三角函数的“整体代换法”，将函数化归为，结合函数的图象和性质即可求出函数的单调递减区间、最值和最值点. 【小问1详解】 ， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，因为，所以，即函数的解析式为； 【小问2详解】 令，，则，， 所以函数的单调递减区间为， 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为； 所以函数的最大值为，最大值点为；最小值为，最小值点为. 18. 已知，. （1）求和的值； （2）若，为锐角，求的值； （3）若，为锐角，求角. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用同角基本关系式和的范围求，接着利用二倍角公式求； （2）先求，再利用得解； （3）利用二倍角正切公式得，再求，结合角的范围得解. 【小问1详解】 因为，且所以， 又，所以， 因此，； 【小问2详解】 因为，，所以， 又，则， 则 ， 则， 所以； 【小问3详解】 因为，，则，且， 则， 又，所以. 19. （1）证明：（ⅰ） （ⅱ） （2）利用及（1）的恒等式证明： （3）化简或求值：. 【答案】（1）（i） ，得证； （ii） ，得证； （2）设，则，所以，故， 由（1）的恒等式可得， 因为，，得， 整理得， 令，则，可得， 因为，所以，故，得证； （3） 【解析】 【分析】（1）应用三角恒等变换展开证明即可； （2）利用（1）的结论，设得，解方程即可得； （3）综合应用（1）（2）的结论，应用诱导公式、和差化积化简求值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）知，，， 所以，原式 ， 由，， 所以， 由（2）知，且， 所以， 原式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学2025-2026学年高一下学期期中考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分． 9. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若，则事件与相互独立 C. 若发生时一定发生，则 D. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（ ） A. 的最小正周期为4 B. 的图象关于点对称 C. 为奇函数 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则__________． 13. 已知函数，则__________． 14. 已知外接圆圆心是，两条边上的高线相交于点，是内一点，且满足，则__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； （2）用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 16. （1）计算； （2）已知． （ⅰ）化简； （ⅱ）关于的方程有解，求的取值范围． 17. 已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间，最值和最值点． 18. 已知，. （1）求和的值； （2）若，为锐角，求的值； （3）若，为锐角，求角. 19. （1）证明：（ⅰ） （ⅱ） （2）利用及（1）的恒等式证明： （3）化简或求值：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $