精品解析：辽宁大连市第21中学2025-2026学年九年级下学期数学期末测试卷

大连市第二十一中九年级数学测试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若，相似比为1:2，则与的面积的比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 4. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° 6. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. （2，﹣7） B. （2，7） C. （﹣2，﹣7） D. （﹣2，7） 7. 函数是二次函数，则它的图象（ ） A. 开口向上，对称轴为轴 B. 开口向下，顶点在轴上方 C. 开口向上，与轴无交点 D. 开口向下，与轴无交点 8. 在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若反比例函数的图象在第一、第三象限，则m的取值范围______． 12. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 13. 如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____． 14. 如图，，若，，，则的长是_____． 15. 的半径为5，弦，则与间的距离为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（8，4），将矩形OABC绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上的点B′处，得到矩形OA′B′C′，OA′与BC相交于点D，则经过点D的反比例函数解析式是______． 三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分） 17. 计算： 18. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 19. 如图，P是正方形ABCD边BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD中点． （1）求证：△ADQ∽△QCP． （2）试问：AQ与PQ有什么关系（位置与数量）？ 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分） 21. 用总长为的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于点A(m，1)、B(-1，n)，与x轴相交于点C(2，0)，且AC=OC． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 23. 已知：如图，在△中，．以为直径的交于点，过点作⊥于点． （1）求证：与相切； （2）延长交的延长线于点，若，=，求线段的长． 五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，直线经过O、C两点．点A的坐标为，点B的坐标为，动点P在线段上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿的方向向点C运动，过点P作垂直于x轴，与折线相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（），的面积为S． （1）点C的坐标为___________，直线的解析式为___________． （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值． （4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段上运动时，设的延长线与直线相交于点N．试探究：当t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 25. 如图（1），在中，，，为边上任意一点，为边一动点，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接. （1）试探索与的位置关系，并证明； （2）如图（2）当为延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图（3）在中，，，为延长线上一点，为边一动点，分别以为边作等腰三角形和等腰三角形，使得，连接.要使（1）中的结论依然成立，还需要添加怎样的条件？为什么？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点 （1）______． （2）若此抛物线经过点，抛物线与轴的另一个交点为，当点落在线段上，且最小值为时，求函数解析式． （3）若，当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第二十一中九年级数学测试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念逐一进行判断即可得. 【详解】A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标都互为相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 3. 若，相似比为1:2，则与的面积的比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论： ∵，相似比为1:2， ∴与的面积的比为1:4. 故选C. 考点：相似三角形的性质. 4. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的平移规律即可得答案，故答案选A． 考点：抛物线的平移规律． 5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆周角定理计算即可； 【详解】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°， ∴∠OAB＝∠OBA＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°， ∴∠C＝∠AOB＝40°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确计算是解题的关键． 6. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. （2，﹣7） B. （2，7） C. （﹣2，﹣7） D. （﹣2，7） 【答案】A 【解析】 【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标． 【详解】解：， 顶点坐标为（2，﹣7）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，可将函数解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k）． 7. 函数是二次函数，则它的图象（ ） A. 开口向上，对称轴为轴 B. 开口向下，顶点在轴上方 C. 开口向上，与轴无交点 D. 开口向下，与轴无交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 8. 在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据弧长公式：． 故选D． 【点睛】本题考查弧长的计算． 9. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证四边形为平行四边形，根据相似三角形对应线段成比例及平行四边形对边相等的性质判断即可. 【详解】解：∵在中， ∴易证四边形为平行四边形 ∴易证 ∴，A项错误 ，B项错误 ，C项错误 ，D项正确 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练运用两者性质确定线段比例关系是解题的关键. 10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若反比例函数的图象在第一、第三象限，则m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，，解不等式即可得结果． 【详解】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限， 则， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一三象限；时，函数位于二四象限． 12. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 13. 如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解． 【详解】， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出 14. 如图，，若，，，则的长是_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据相似的性质，列出比例式计算即可． 【详解】∵， ∴BO：DO=AB：CD， ∵BO=6，DO=3，CD=2， ∴AB= =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练列出比例式计算是解题的关键． 15. 的半径为5，弦，则与间的距离为________． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题考查圆中弦的距离计算，掌握分弦在圆心同侧和两侧两种情况，利用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键． 分两种情况讨论，即圆心点在或不在之间，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦心距，进而求出与间的距离． 【详解】解：过圆心作于，交于，连接． ， ， ， 而， ， 在中，； 在中，； 当圆心点不在之间，距离为； 当圆心点在之间，距离为． 故答案为：1或7． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（8，4），将矩形OABC绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上的点B′处，得到矩形OA′B′C′，OA′与BC相交于点D，则经过点D的反比例函数解析式是______． 【答案】y= 【解析】 【详解】∵B（8，4），∴OA=8，AB=OC=4，∴A′O=OA=8，A′B′=AB=4， tan∠COD= ，即 ，解得CD=2，∴点D的坐标为（2，4）， 设经过点D的反比例函数解析式为y=（k≠0）， 则=4，解得k=8， 所以，经过点D的反比例函数解析式为y= ． 故答案为y=． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用三角函数求出CD的长度，从而得到点D的坐标是解题的关键，还考查了坐标与图形-旋转． 三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 【答案】 【解析】 【分析】设出解析式，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故抛物线的函数关系式是. 19. 如图，P是正方形ABCD边BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD中点． （1）求证：△ADQ∽△QCP． （2）试问：AQ与PQ有什么关系（位置与数量）？ 【答案】（1）见解析；（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ． 【解析】 【分析】（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D=∠C=90°，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例； （2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．根据相似三角形的对应边成比例即可求得AQ与PQ的数量关系；根据相似三角形的对应角相等即可证得AQ与PQ的位置关系． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠C=∠D=90°； 又∵Q是CD中点， ∴CQ=DQ=AD； ∵BP=3PC， ∴CP=AD， ∴==． 又∵∠C=∠D=90°， ∴△ADQ∽△QCP； （2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下： 由（1）知，△ADQ∽△QCP，==， 则===，AQ=2PQ； ∵△ADQ∽△QCP， ∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC， ∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°， ∴AQ⊥QP． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．相似三角形的对应边成比例、对应角相等． 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分） 21. 用总长为的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 【答案】 【解析】 【分析】先写出S关于l的函数解析式，再求出使S最大的l值． 【详解】矩形场地的周长是，一边长为，所以另一边长为．场地的面积 ， 即． 因此，当时，S有最大值． 也就是说，当l是时，场地的面积S最大． 【点睛】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝，y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝，y＝．解决本题的关键是用l表示矩形的另一边长． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于点A(m，1)、B(-1，n)，与x轴相交于点C(2，0)，且AC=OC． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，y=x-2 (2) -1≤x＜0或x≥3． 【解析】 【分析】(1)过点A作轴于点D，如图所示，由点C的坐标可求出OC的长，根据AC=OC求出AC的长，由点A的纵坐标为1，得到AD=1，利用勾股定理求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出m的值，将点A与点C坐标分别代入一次函数解析式求出a于b的值，即可得出一次函数解析式；将点A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； (2)将点B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出点B坐标，利用图形即可得出所求不等式的解集． 【详解】解：(1)过点A作AD⊥x轴于点D，可得AD=1， ∵C(2，0)，即OC=2，AC=OC， ∴． 在Rt△ACD中，根据勾股定理得：． ∴OD=OC+CD=2+1=3， ∴A(3，1)． 将点A、点C的坐标代入一次函数解析式得： ，解得：． ∴一次函数解析式为y=x-2． 将点A(3，1)代入反比例解析式得：k=3， ∴反比例解析式为； (2)将点B(-1，n)代入反比例解析式得：n=-3，即B(-1，-3)． 根据图形得：不等式的解集为-1≤x＜0或x≥3． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，勾股定理，根据两函数图象的交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 23. 已知：如图，在△中，．以为直径的交于点，过点作⊥于点． （1）求证：与相切； （2）延长交的延长线于点，若，=，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)先连接OD，由于AB是直径以及∠B=∠C，即可得出∠1=∠C，进而得出，再根据DE⊥AC以及平行线的性质得出DE⊥OD，即可证得结论； (2)连接AD，延长DE交BA的延长线于点F，在Rt△ABD中求出AD，再得出∠B=∠3，利用得出AE，在Rt△CDE中求出DE，利用得出，根据相似三角形的性质得出，代入数值计算即可得出线段AF的长． 【小问1详解】 证明：连接， ∵=， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵⊥于， ∴⊥， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵为的直径， ∴∠=90°， ∵=6，=， ∴=， ∵， ∴， ∴， 在△中，∠=90°， ∵， ∴. 又∵， ∴△∽△， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，综合性较强，解答本题的关键是作出辅助线． 五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，直线经过O、C两点．点A的坐标为，点B的坐标为，动点P在线段上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿的方向向点C运动，过点P作垂直于x轴，与折线相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（），的面积为S． （1）点C的坐标为___________，直线的解析式为___________． （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值． （4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段上运动时，设的延长线与直线相交于点N．试探究：当t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 【答案】（1）； （2） （3）当时，S有最大值，最大值为 （4）当时，△QMN为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标，运用待定系数法即可求得直线l的解析式； （2）根据t的取值范围不同分三种情况分别进行讨论，得到三种S关于t的函数，解题时注意t的取值范围； （3）分别根据三种函数解析式求出当t为何值时，S最大，然后比较三个最大值即可解答； （4）当M点在线段上运动时，点Q一定在线段上，分两种情况：①点Q在点M右侧，②点Q在点M左侧，根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为， ∴， ∴在中，，， ∵点B的坐标为， ∴点C的坐标为． 设直线l的解析式为， ∵直线l经过点， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴当点Q运动到点B时，． 分三种情况讨论： ①当点Q在上，即时，如图l， ∵轴，且点M在直线上， ∴M点的坐标是． 过点作轴于D，过点Q作轴于E，则，，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴ ∴Q点的坐标是， ∵ ∴， ∴， 即． ②当点Q在上，点M在上，即时， 过点Q作轴于F， ∵， ∴， ∴点Q的坐标为，即， ∴， ． ∴ 即． ③∵， ∴当点Q与点M相遇时，，解得， 当点Q在上，点M在上，即时，如图， ，． ， 即． 综上所述，S与t的函数关系式为； 【小问3详解】 解：①当时，， ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随t的增大而增大， ∴当时，S有最大值，最大值为． ②当时，， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，S有最大值，最大值为． ③当时，， ∵，S随t的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值． ∵ ∴当时，S有最大值，最大值为． 【小问4详解】 解：当M点在线段上运动时，点Q一定在线段上， ①点Q在点M右侧，如图， 由（2）可知，点M的坐标为，， ∵轴，且点N在直线上， ∴， ∴， ∵三角形是等腰三角形，且， ∴， ∴，解得； ②点Q在点M左侧， ∵，， ∴， ∵轴，且点N在直线上， ∴， ∴， ∵三角形是等腰三角形，且， ∴， ∴，解得． ∵点Q运动到点C的时间为， ∴，不合题意，舍去． 综上所述，当时，为等腰三角形． 【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题等知识点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用． 25. 如图（1），在中，，，为边上任意一点，为边一动点，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接. （1）试探索与的位置关系，并证明； （2）如图（2）当为延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图（3）在中，，，为延长线上一点，为边一动点，分别以为边作等腰三角形和等腰三角形，使得，连接.要使（1）中的结论依然成立，还需要添加怎样的条件？为什么？ 【答案】（1），见解析；（2）成立，，见解析；（3）要使（1）中的结论依然成立，还需要添加的条件是，见解析. 【解析】 【分析】（1）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB； （2）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB； （3）需要添加的条件需满足：（内错角相等，两直线平行）． 【详解】（1），证明如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）成立，，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）要使（1）中的结论依然成立，还需要添加的条件是，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【点睛】考查了全等三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解答本题要充分利用等边三角形的三边关系、三角关系，可有助于提高解题速度和准确率． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点 （1）______． （2）若此抛物线经过点，抛物线与轴的另一个交点为，当点落在线段上，且最小值为时，求函数解析式． （3）若，当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为4，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）将代入即可； （2）根据抛物线经过点得到，即，求出点横坐标，可知，根据顶点纵坐标公式得到，求解即可； （3）用含b的代数式表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为直线，由题意可得出当或时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值，进而判断即可． 【小问1详解】 解：将代入得； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点落在线段上， ∴， ∴， ∵顶点纵坐标公式为，最小值为，，， ∴， 整理得， 解得：，， ∴， ∴， ∴函数解析式为； 【小问3详解】 解：当时，抛物线开口向上，解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ①当时，， ，时，即， 解得（舍）． ，时，即， 解得（舍）， ②，即， ，时，即， 解得（舍）． 当，，即， 解得（舍）， 当，时，即， 解得， 此时，当时，，符合题意． 当，时，即， 解得， 此时，当时，，符合题意． ③，， 当，时，即， 解得， 此时，当时，不符合题意． 当，时，即， 解得（舍）． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $