3.4 相似三角形的性质课时1（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应线段性质，核心讲解相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比。课堂导入从全等三角形对应线段相等切入，通过问题“相似三角形对应线段有怎样的关系”搭建学习支架，引导学生从已知探索未知。 其亮点在于以模型房立柱等实际问题驱动，通过严谨推导（如对应高、中线、角平分线的证明）培养推理意识，结合例题（SR与BC关系求DE）和随堂练习（板凳横梁计算）体现数学语言表达现实世界。帮助学生理解定理形成过程，教师可直接用于教学提升效率。

第三章 图形的相似 3.4 相似三角形的性质课时1 九上数学北师 1.了解相似三角形的性质定理。 2.会用性质解决相关的问题。 学习目标 2 两个全等三角形的对应高、对应角平分线和对应中线分别相等，那么两个相似三角形的这些对应线段会有怎样的关系呢? 课堂导入 3 C A D B 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房的屋架△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱。如果CD = 1.5cm，那么模型房的屋架立柱有多高? C′ A′ D′ B′ 模型房的屋架立柱的高为3cm。 新知讲解 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 理由：∵CD⊥AB， ∴C′D′⊥A′B′， ∴∠ADC = ∠A′D′C′ = 90°。 ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠A = ∠A′， ∴△ACD∽△A′C′D′。 ∴ = = 。 ∵CD = 1.5cm， C A D B C′ A′ D′ B′ ∴ = ， ∴C′D′ = 3cm。 故模型房的屋架立柱的高为3cm。 新知讲解 C A D B 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 问题 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房的屋架△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱。如果CD = 1.5cm，那么模型房的屋架立柱有多高? C′ A′ D′ B′ 思考：如果两个三角形相似，那么它们的对应高的比是多少? 新知讲解 证明：相似三角形对应高的比等于相似比。 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′对应边上的高。 求证： = k。 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B = ∠B′。 ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB = ∠A′D′B′ = 90°， ∴△ABD∽△A′B′D′， 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 ∴ = = k。 新知讲解 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为3，那么这两个三角形的两条中线AD，A′D′有怎样的关系? 这两个三角形的两条中线AD，A′D′长度的比值为3。 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 A B D C A′ B′ D′ C′ 新知讲解 因为△ABC∽△A′B′C′，相似比为3， 所以∠B = ∠B′， = = 3。 因为AD，A′D′分别为△ABC与△A′B′C′的中线， 所以BD = BC，B′D′ = B′C′， 所以 = = 3 所以△ABD∽△A′B′D′， 所以 = = 3。 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 A B D C A′ B′ D′ C′ 思考：如果两个三角形相似，那么对应中线的比是多少? 新知讲解 证明：相似三角形对应中线的比等于相似比。 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AM，A′M′分别为△ABC和 △A′B′C′对应边上的中线。 求证： = k。 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B = ∠B′， = 。 ∵AM，A′M′分别是边BC，B′C′上的中线， ∴BM = BC，B′M′ = B′C′， 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 ∴ = ∴△ABM∽△A′B′M′，∴ = = k。 思考：相似三角形的角平分线也有类似的结论吗？ 新知讲解 证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AN，A′N′分别为△ABC和△A′B′C′对应角的平分线。 求证： = k。 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B = ∠B′，∠BAC = ∠B′A′C。 又∵AN，A′N′分别平分∠BAC，∠B′A′C′， ∴∠BAN = ∠B′A′N′， ∴△ABN∽△A′B′N′， 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 ∴ = = k。 新知讲解 定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 注意：相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序。 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 新知讲解 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在边BC上，点D′，E′在边B′C′上。 (1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′ = ∠B′A′C′，则的值等于多少? 由“两角分别相等的两个三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′ ， 于是 = = k。 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 A B D E C A′ C′ E′ D′ B′ 新知讲解 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在边BC上，点D′，E′在边B′C′上。 (2) 若BE = BC，B′E′ = B′C′，则的值等于多少? 由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′， 于是 = = k。 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 A B D E C A′ C′ E′ D′ B′ 新知讲解 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在边BC上，点D′，E′在边B′C′上。 (3) 你能提出更一般性的问题吗? 例如，∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′ = ∠B′A′C′，则等于多少? 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 A B D E C A′ C′ E′ D′ B′ 新知讲解 如图，AD是△ABC的高，AD = h，点R在边AC上，点S在边AB上， SR⊥AD，垂足为E。当SR = BC时，求DE的长。如果SR = BC呢? 例1 知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理 A S E R B D C 解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD， ∴ SR∥BC。 ∴ ∠ASR = ∠B，∠ARS = ∠C。 ∴ △ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。 ∴ = (相似三角形对应高的比等于相似比)， 即 = 。 当SR = BC时，得 = 。解得DE = h 。 当SR = BC时，得 = 。解得DE = h 。 新知讲解 1.如果两个相似三角形对应高的比为5 ׃ 4，那么这两个相似三角形的相似比为 。 5 ׃ 4 随堂练习 2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线， = ，B′D′ = 4cm， 求BD的长。 . . 解：根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得 = = ， 即 = ， ∴BD = 6cm。 随堂练习 3.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm。 （1）求这两个三角形的相似比。 （2）在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短中线的长是3cm，那么较长的中线有多长? . . 解：（1）因为相似三角形对应角平分线的比等于相似比， 所以这两个相似三角形的相似比是2 ׃ 5。 （2）设较长的中线长为x cm，则 = 解得 x = ， 所以较长的中线长为cm。 随堂练习 4.如果两个相似三角形的对应边之比为3 ׃ 7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，那么另一个三角形对应中线的长为( ) A. B. C. 或 D. 无法确定 C 随堂练习 5.某高级中学为高一新生设计的学生板凳正面视图如图所示。其中BA = CD， BC = 20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm，8cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为30cm，那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等忽略不计) 随堂练习 解：如图，过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于N，M两点，作CP⊥AD于点P，交EF于点Q。 由题意，得四边形ABCM和四边形AENM都是平行四边形， ∴EN = AM = BC = 20cm。 ∴MD = AD-AM = 30-20 = 10(cm)。 由题意，知CP = 40cm，PQ = 8cm。 ∴CQ = 32cm。 ∵EF∥AD， ∴∠CNF =∠CMD，∠CFN =∠CDM， ∴△CNF∽△CMD， ∴ = ， 即 = ，∴NF=8cm。 ∴EF = EN+NF = 20+8 = 28(cm)。 故横梁EF应为28cm。 N Q M P 随堂练习 对应边成比例，对应角相等 相似三角形的性质 基本性质 “三线” 对应高的比等于相似比 对应角平分线的比等于相似比 对应中线的比等于相似比 课堂小结 $