精品解析：江苏省无锡市江阴市南闸实验学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026第一学期初三数学学科12月质量调研卷 考试时间：120分钟 满分分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 2. 下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 共享单车是一种“绿色出行”方式，道路交通法规定未满16周岁不得驾驶电动自行车．振兴初中为了加强交通安全教育，引导学生文明出行，随机调查了部分出行学生一周内使用共享单车的情况，并整理成如下表： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 46 22 12 12 6 2 根据以上表格信息，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 12，12 B. 1，1 C. 0，0 D. 1，0 8. 已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若，则的值为________． 12. 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是________． 13. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进所上升的高度为_____． 14. 把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为___________． 15. 如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 16. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为____________． 17. 二次函数(a、b、c是常数，的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 4 4 m 该二次函数的表达式为________________________． 18. 如图，是的直径，C是上的一动点，以为边在其左侧作正方形，连接，则的最大值为_________． 三 解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 22. 如图所示，直线经过点和两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点，若的面积为 （1）求点的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 23. 某班级召开主题班会，准备从候选人中随机选主持人，候选人由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生共4人组成． （1）若选1名主持人，请直接写出甲被选中的概率______； （2）若选2名主持人，求所选主持人恰好是1名男生和1名女生的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程，并求出结果）． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点P，Q是的中点，连接并延长交的延长线于点D． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由： （2）若，，求的半径． 25. 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处，测得顶端的仰角为（如图②所示），求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：，，，，） 26. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 27. 如图，△ABC中 （1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2＋PC2＝BC2的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BP，若BC＝15，AC＝14，AB＝13，求BP的长． 28. 如图1，在矩形中，，动点P在线段上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作交于Q，将沿翻折得到．设点P的运动时间为． （1）用含t的代数式表示线段； （2）当t为何值时，点E落在边上； （3）如图2，以为直径作．当与边相切时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期初三数学学科12月质量调研卷 考试时间：120分钟 满分分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 2. 下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解决本题的关键． 直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，若，则不是二次函数，不符合题意； B、，满足，是二次函数，符合题意； C、，是分式函数，不是整式，故不是二次函数，不符合题意； D、 ，是一次函数，故不是二次函数，不符合题意． 故选B． 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求正切值，解题的关键是熟练掌握勾股定理和正切的定义，先根据勾股定理求出，再根据即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为 ，由 可得结果． 【详解】解： 内接正n边形的边长与⊙O的半径相等， 正n边形的中心角为， ， n的值为6， 故选：C． 【点睛】本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定义是解决本题的关键． 5. 若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式，列出关于a的方程即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，记住二次函数的对称轴公式是解题的关键． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 7. 共享单车是一种“绿色出行”方式，道路交通法规定未满16周岁不得驾驶电动自行车．振兴初中为了加强交通安全教育，引导学生文明出行，随机调查了部分出行学生一周内使用共享单车的情况，并整理成如下表： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 46 22 12 12 6 2 根据以上表格信息，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 12，12 B. 1，1 C. 0，0 D. 1，0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数．将一组数据从大到小（或从小到大）排序，如果数据有奇数个，则处于中间位置的数是中位数；如果数据有偶数个，则处于中间位置的两个数的平均数是中位数．一组数据中出现次数最多的数据，就是这组数据的众数． 先算出总数，然后根据中位数、众数的定义即可解答． 【详解】解：本次调查的人数为， ∵，， ∴这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数为1，1，平均数为，即中位数是1． 这组数据中出现次数最多的是0次，因此众数是0． 故选：D 8. 已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先理解题意，再直接计算出各点的函数值，最后比较大小，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象上有，，三点， ∴对于点：； ∴对于点：； ∴对于点：； ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】连接，，延长交于D， ∵等边三角形是， ∴，，， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∴ 则的面积是 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 10. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、、，交于，作交BC于点G，利用 ，求出，进一步可得，求出，设⊙的半径为，利用，求出，求出，进一求出，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案． 【详解】解：连接、、，交于，作交BC于点G，如图， ∵AB＝6，AC＝5，BC＝7， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设内切圆的半径为r， 则，解得：， 的内切圆⊙与，，分别相切于点，，， ∴∠ODB=∠OEB=90°， 又∵OD=OE， OB=OB， ∴， ∴BD=BE， 同理， CE=CF，AD=AF， ∵BE+CE=BC=7， ∴BD+BE+CE+CF=14， ∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2， ∴， ∴， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质和分式运算；解题的关键是利用比例关系，将变量用同一参数表示，再代入所求分式化简求值根据比例关系设参数表示未知数，代入目标表达式化简求值． 【详解】由 ，设 ，（），则 ． 故答案为 ． 12. 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积等于扇形的面积，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用弧长公式建立方程求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则扇形的弧长为 ． 圆锥的底面周长为． 根据弧长相等，得， 解得． 故答案为：12． 13. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进所上升的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】设上升的高度为米， ∵上山直道的坡度为， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：，解得：或（舍去）， 故答案为：． 14. 把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，再展开整理即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∴平移后抛物线的表达式． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 15. 如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：110． 16. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求得直径的长，再根据圆周角定理得到，再根据余弦函数的定义计算即可． 【详解】解：连接， 由图可得：，，， ∵为直径，有， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，余弦函数，熟悉掌握余弦的比值关系是解题的关键． 17. 二次函数(a、b、c是常数，的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 4 4 m 该二次函数的表达式为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过观察表格数据，发现当和时，函数值均为4，可知二次函数的对称轴为，顶点为，然后利用顶点式设出二次函数表达式，再代入点求解系数a，最后得到表达式． 【详解】解：由表可知，当和时，， 根据二次函数的对称性，对称轴为直线，顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 代入点得， 即， 解得：， 因此二次函数表达式为， 故答案为：． 18. 如图，是的直径，C是上的一动点，以为边在其左侧作正方形，连接，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，根据，得到当三点共线时，的值最大，此时的值最大，设的半径为，勾股定理，求出的长，进而求出的最大值，即可得出结果． 【详解】解：将绕点旋转，得到线段，连接，如图： 则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， 设的半径为，则：， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为：， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，半径相等，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形，利用两点之间线段最短，求出的最大值． 三 解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊三角函数值是解决本题的关键． （1）先算乘方、零指数幂，再把三角函数值代入，最后进行整体计算即可； （2）将三角函数值代入后进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解； (2)利用配方法解此方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由原方程得： 得， 解得，， 所以，原方程的解为，； 【小问2详解】 解：由原方程得：， 得，， 得， 解得，， 所以，原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 21. 一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 【答案】y=-2x2+4x+6 【解析】 【分析】设一般式y=ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 根据题意得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 22. 如图所示，直线经过点和两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点，若的面积为 （1）求点的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能， 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为：，将点和，待定系数法求解析式，进而根据的面积为4，求得点的纵坐标，代入直线，即可求解； （2）把点代入，待定系数法求解析式即可求解； （3）设将抛物线上下平移后的解析式为，把点代入即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：， ∵直线l过点和两点， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 把点代入得：，解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问3详解】 能，理由如下： 设将抛物线上下平移后的解析式为， 把点代入得：，解得：， ∴能将抛物线向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A， 平移后的解析式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，二次函数解析式，二次函数图象的平移，掌握以上知识是解题的关键． 23. 某班级召开主题班会，准备从候选人中随机选主持人，候选人由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生共4人组成． （1）若选1名主持人，请直接写出甲被选中的概率______； （2）若选2名主持人，求所选主持人恰好是1名男生和1名女生的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程，并求出结果）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可直接得出答案； （2）利用画树状图法列出所有等可能的结果，再从中找出1男1女的情况数，最后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从4人中选1人，甲被选中的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意画树状图： 由图可知，共有12种等可能的情况，其中1男1女的情况有8种， 因此所选主持人恰好是1名男生和1名女生的概率为：． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，能够通过列表或画树状图列出所有等可能的结果是解题的关键． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点P，Q是的中点，连接并延长交的延长线于点D． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由： （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 直线与相切．理由如下： 连接、，如图， 是的直径， ， 又是的中点， ， ， ， ， ， ， 即， 直线与相切； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形的计算、直角三角形的性质和切线的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）首先连接、，由是的直径，根据圆周角定理可得，又由Q是的中点，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得，继而可证得，则可得直线与相切； （2）在中利用三角函数求出和的长；在中求出的长即可确定圆的半径． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 即的半径长为． 25. 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处，测得顶端的仰角为（如图②所示），求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：，，，，） 【答案】大楼部分楼体的高度约为17米. 【解析】 【分析】设楼高CE为x米，于是得到BE=x-20，解直角三角形即可得到结论． 【详解】设楼高为米. ∵在中，， ∴. ∵， ∴， 在中，， ∴. 解得（米）. 在中，， ∴（米）. 答：大楼部分楼体的高度约为17米. 【点睛】此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答． 26. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）4元或6元；（2）九折 【解析】 【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元 根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240， 化简，得 x2﹣10x+24=0， 解得x1=4，x2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元. （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客， ∴每千克核桃应降价6元 此时，售价为：60﹣6=54（元）， 答：该店应按原售价的九折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 27. 如图，△ABC中 （1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2＋PC2＝BC2的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BP，若BC＝15，AC＝14，AB＝13，求BP的长． 【答案】 （1）如图： （2）BP＝ 【解析】 【分析】（1）根据PB2＋PC2＝BC2得出P点所构成的圆以BC为直径，根据垂直平分线画法画出O点，补全⊙O，再作∠ACB的角平分线与⊙O的交点即是P点. （2）设⊙O与AC的交点为H，AH＝x，得到AH、BH，根据题意求出OP∥AC，即可得出OP⊥BH，BQ＝BH，OQ=CH,求出PQ，根据勾股定理求出BP. 【详解】(1)略 （2）由（1）作图，设⊙O与AC的交点为H，连接BH，∴∠BHC＝90° ∵BC＝15，AC＝14，AB＝13 设AH＝x ∴HC＝14－x ∴ 解得：x＝5 ∴AH＝5 ∴BH＝12. 连接OP，由（1）作图知CP平分∠BCA ∴∠PCA＝∠BCP 又∵OP＝OC ∴∠OPC＝∠BCP ∴∠OPC＝∠PCA ∴OP∥CA ∴OP⊥BH 与点Q ∴BQ＝BH＝6 又BO＝ ∴OQ＝ ∴PQ＝ ∴BP＝. 【点睛】此题主要考查了尺规作图中垂直平分线，角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识，解题的关键是构建直角三角形及找到关键相似三角形. 28. 如图1，在矩形中，，动点P在线段上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作交于Q，将沿翻折得到．设点P的运动时间为． （1）用含t的代数式表示线段； （2）当t为何值时，点E落在边上； （3）如图2，以为直径作．当与边相切时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据可得，则，进而即可求解； （2）当点E落在边上时，先证明，列比例式求，由勾股定理计算的长，由，得，得t的值； （3）设切点为H，作于G，连接并延长交于F，设，则，，证明四边形是矩形进而可得，再得到，从而得到，求出x的值，由即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点E落在边上时，连接，交于O，如图， 由题意得：， 由对折得：， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得 ， 由对折得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，设切点为H，作于G，连接并延长交于F， 设， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、切线的性质、解直角三角形的计算和勾股定理的应用，解题的关键是作出正确的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $